Chapitre 2

1. Chapitre 2 Triangles

2. I. Construction de triangles 1. Construction de triangles connaissant les longueurs des 3 côtés Construction n°1 : ABC est un triangle tel que : AB = 2 cm ; AC = 3 cm ; BC = 4 cm.

3. Peut-on tracer tous les triangles ? Quelles conditions doivent avoir les mesures d’un triangle ?  Activité

4. 2. Inégalité triangulaire Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Exemple: Dans le triangle ABC, on a : AB< AC + CB AC< AB + BC BC< BA + AC.

5. Conséquence : a, b et c sont trois longueurs données, a est la plus grande de ces longueurs. Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de côtés a, b et c. Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de côtés a, b et c. Exemple: Peut-on construire un triangle EDF sachant que ED = 1 cm, EF = 1,5 cm et DF = 3 cm ? On compare la longueur du plus grand côté et la somme des longueurs des deux autres côtés : ED + EF = 1 + 1,5 = 2,5 et DF = 3 On a DF > ED + EF. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, donc on ne peut pas construire un tel triangle.

6. 3. Construire un triangle connaissant un angle et les longueurs de ses côtés communs. Construction n°2 : DEF est un triangle tel que : DE = 3 cm ; DF = 4 cm et = 30°

7. 4. Construire un triangle connaissant deux angles et la longueur du côté commun. Construction n°3 : IJK est un triangle tel que : IJ = 4 cm ; = 60° et = 45°

8. 5. Somme des angles dans un triangle Propriété : La somme des angles dans un triangle est égale à 180°. Exemple : Dans ce triangle, l’angle mesure 180 – ( 30 + 80 ) = 180 – 110 = 70°

9. Cas particulier : Un triangle isocèle est un triangle qui à deux angles à la base égaux. Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses 3 angles de même mesure, c’est-à-dire 180 : 3 = 60°. Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit, c’est-à-dire de 90°.

10. II. Droites remarquables dans un triangle 1. Médiatrice Définition : On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. ( d ) passe par O milieu de [MN] . ( d ) est perpendiculaire à [MN] .

11. Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. P appartient à (d) d'où PM = PN. Propriété : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. PM = PN donc P appartient à la médiatrice de [MN] Remarque : Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés de ce triangle.

12. Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point). Leur point de concours est le centre du cercle passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

13. 2. Hauteurs Définition: Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

14. Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

15. 3. Médianes Définition: Dans un triangle, on appelle médianeune droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

16. Propriété : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé centre de gravitédu triangle.

17. 4. Bissectrices Définition: On appelle bissectrice une droite qui partage un angle en deux angles égaux.

18. Propriété : Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.