Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

1. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Proporcionalidade e raciocínio proporcional Isilda Marques Sara Costa Didáctica da Álgebra Prof. Dr. João Pedro Ponte 27 de Maio de 2006

2. Raciocínio proporcional O raciocínio proporcional é a capacidade que conduz ao deslocamento conceptual significativo dos níveis operacionais do pensamento concreto para os níveis operacionais formais do pensamento. Piaget & Beth, 1966 O raciocínio proporcional é uma forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de co-variância e múltiplas comparações, assim como a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos de informação. O raciocínio proporcional está relacionado com inferência e predição e envolve o pensamento qualitativo e quantitativo. Lesh, Post & Behr, 1988

3. Perspectivas sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional nos alunos • Psicologia do desenvolvimento • Estádios considerados: • Ignoram parte dos dados da equação; • Observam relações qualitativas entre os quatro termos da proporção; • Começam a quantificar, envolvendo mais diferenças aditivas do que relações multiplicativas (A-B=C-D); • O uso do raciocínio multiplicativo é, inicialmente, baseado no “modelo de reconhecimento e replicação”/estratégia de “acumulação” - estádio “pré-proporcional”; • As relações multiplicativas entre os dois termos são identificadas, sendo a relação então aplicada aos outros dois termos - “proporções lógicas”.

4. Perspectivas sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional nos alunos O nível de raciocínio utilizado pelas crianças não é sempre consistente para todas as tarefas ou análogo dentro de uma dada tarefa. No âmbito da Psicologia (Piaget e outros), o raciocínio proporcional é caracterizado como uma aptidão global ou uma manifestação de uma estrutura cognitiva geral enquanto que outros investigadores (Lesh, Post e Behr, 1987; Tourniaire & Pulos, 1985; Karplus et al. 1983a, 1983b) caracterizam a evolução deste raciocínio como um aumento progressivo de competência local.

5. Perspectivas sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional nos alunos Lesh, Post & Behr Este tipo de raciocínio é o culminar dos conceitos de aritmética elementar, números e medida e a base da álgebra e de outras áreas avançadas da matemática. Envolve conhecimentos algébricos relacionados com equivalências (razões, expressões ou equações equivalentes), variáveis e transformações. • Tipos de tarefas: • Problemas de valor omisso; • Problemas de comparação; • Problemas de transformação; • Problemas de valor médio; • Proporções que envolvem a conversão entre razão, taxa e fracções; • Proporções que envolvem unidades de medida e números; • Problemas de conversão entre sistemas de representação.

6. Projecto CMP • Projecto CMP (Connected Mathematics Project) • Desenvolver um currículo matemático com materiais de suporte para 6th, 7th, 8th grades; • Influenciado pelos Standards (1989, 1991, 1995); • Problemas sobre situações reais, fora do vulgar ou situações matematicamente interessantes; • Resolver problemas, observar, conjecturar, testar, discutir, verbalizar e generalizar; • Pretende-se que os alunos desenvolvam estratégias próprias de cálculo e de resolução de problemas de modo a produzir soluções e explanações criativas; • Métodos de ensino, livros de texto e organização da sala diferentes.

7. Projecto CMP “Proportional reasoning among 7th grade students with different curricular experiences” – 1994/95 Objectivo: Descrever as características e a eficácia do raciocínio proporcional dos alunos, com experiências curriculares diferentes, na forma como resolvem problemas de taxas. • Metodologia: • Amostra CMP: 8 turmas – 187 alunos, 7 professores; • Amostra Controlo: 6 turmas – 128 alunos, 6 professores; • Foram efectuados testes estandardizados e verificou-se que a amostra CMP teve resultados inferiores à amostra controlo no início do ano e ligeiramente superior no final do ano; • Cerca de 25% dos alunos de cada amostra foram entrevistados.

8. O estudo • "Proportional reasoning among 7th grade students • with different curricular experiences” – 1994/95 • Metodologia: (continuação) • Avaliação: foram analisados os testes escritos segundo 3 categorias: - Resposta Correcta: só a resposta correcta; resposta correcta com trabalho suporte correcto; resposta correcta com trabalho suporte incorrecto; - Resposta Incorrecta: só a resposta incorrecta; resposta incorrecta com parcial entendimento pensamento incorrecto - Não responde

9. Problemas e resultados 1. Max and Eliza bought supplies for snacks and reported the following expenses: Gatorade cost $2.00 for 16 ounces. Cran-raspberry juice cost $1.60 for 12 ounces. They bought Cran-raspberry juice. Did they make the most economical choice? Show the calculations that lead you to that answer. • 9 estratégias diferentes utilizadas na resolução deste problema: • Razões externas / método funcional; • Razões internas / método escalar; • Comparar custo relativo à mesma quantidade; • Comparar quantidades relativo ao mesmo custo; • Construção; • Relações de diferença; • Ignoram o contexto; • Ignoram parte dos dados; • Respostas afectivas.

10. Problemas e resultados 1. Max and Eliza bought supplies for snacks and reported the following expenses: Gatorade cost $2.00 for 16 ounces. Cran-raspberry juice cost $1.60 for 12 ounces. They bought Cran-raspberry juice. Did they make the most economical choice? Show the calculations that lead you to that answer.

11. Problemas e resultados 2. Cosima and Alex shopped for granola bars and apples but lost the sales slip. They did remember that granola bars cost $2.60 for 8 single bars and apples were 6 for $1.95. a) How much did they spend for 20 granola bars? Explain your reasoning. b) How much did they spend for 20 apples? How do you know?

12. Problemas e resultados 3. Cosima and Alex decided to have a contest to see who rode the fastest on the way home. Cozi rode 5 miles to her house in 20 min. Alex rode 7 miles to his house in 25 min. Who rode the fastest? How do you know?

13. Problemas e resultados 4. On the next Saturday, Max and Eliza rode their bikes the long way around the lake to a park. It was 30 miles and it took them 1.5 h of riding time. After lunch, they rode back by the short way. It was 20 miles and they made it in 3/4 of an hour of riding time. On which part of their round trip did they have the fastest riding rate? How do you know?

14. Problemas e resultados 5. In an alley near the school Max and Alex saw several feral cats. (Feral cats are undomesticated; wild, not tame). When they got home they made some phone calls and learned that there are about 1000 feral cats in their town of Smithville and about 1500 feral cats in the neighboring town of Jonesville. The area of Smithville is 60 square miles; the area of Jonesville is 100 square miles. Where is one more likely to see a feral cat? Explain your reasoning.

15. Conclusões • O melhor desempenho por parte dos alunos CMP pode dever-se: • ao currículo através do qual são incentivados a construir o seu próprio conhecimento conceptual e processual; • à frequente solicitação para darem explicações escritas e orais do trabalho que desenvolvem; • às conexões entre as várias unidades; • à preparação dos professores (factor não controlado neste estudo).