Het Isis-probleem

1. Het Isis-probleemVan het oude Egypte naar de 21ste eeuwDirk De BockHogeschool-Universiteit Brussel en K.U.Leuven, België

2. Het Isis-probleem Welke rechthoeken, met gehele getallen als zijden hebben de eigenschap dat oppervlakte en omtrek (als getal) gelijk zijn?

3. Het Isis-probleem 5 7 Omtrek: 24 Oppervlakte: 35

4. Het Isis-probleem • Bepaal alle rechthoeken met gehele zijden waarvoor • oppervlakte = omtrek • 2. Bewijs je bevinding (i.e. dat dit de enige zijn) • 3. Ga op zoek naar alternatieve bewijzen • AAN HET WERK!!!

5. Oplossingen 6 4 4 3 Omtrek: 16 Oppervlakte: 16 Omtrek: 18 Oppervlakte: 18

6. The Egyptians relate that thedeath of Osiris occurred on the seventeenth (of the month), when the full moon is most obviously waning. Therefore the Pythagoreans call this day the "barricading" and they entirely abominate this number. For the number seventeen, intervening between the square number sixteen and the rectangular number eighteen, two numbers which alone of plane numbers have their perimeters equal to the areas enclosed by them, bars, discretes, and separates them one from another...(Plutarch, quoted by Davis and Hersh, 1981)

7. Wat maakt dit probleem voor sommigen interessant? • Osiris stierf op de 17de dag van de 3de maand, na 28 jaar koningschap • 77: 2 x 30 + 17 = 77ste dag van het jaar 28: maangetal e: getal van groei  √ e  “root of new growth” Phi: gulden snede

8. Wat maakt dit probleem VOOR ONS interessant? • De oplossingen zijn erg eenvoudig. Maar ook het bewijs kan erg eenvoudig.  Er zijn heel diverse bewijzen / types van argumentatie • Balans in routine en creativiteit • Toegankelijk voor groot leeftijdsbereik en technische wiskundige kennis • Verband met dimensionaliteit • Interessante uitbreidingen

9. Ons onderzoek Aanpak van verschillende groepen (met verschillende wiskundige expertise) Spanning tussen routine en creativiteit Waardering van diverse types bewijs / argumentatie

10. Opbouw workshop Inleiding Aan het werk 1: vind bewijzen Intermezzo Aan het werk 2: evalueer bewijzen Terugkoppeling Uitbreidingen naar andere figuren Dimensionaliteit Onderzoeksresultaten

11. Opbouw workshop Inleiding Aan het werk 1: vind bewijzen Intermezzo Aan het werk 2: evalueer bewijzen Terugkoppeling Uitbreidingen naar andere figuren Dimensionaliteit Onderzoeksresultaten

12. Evalueer de bewijzen Bundel met 5 bewijzen Doornemen Rangschikken van “beste” naar “slechtste”

13. Opbouw workshop Inleiding Aan het werk 1: vind bewijzen Intermezzo Aan het werk 2: evalueer bewijzen Terugkoppeling Uitbreidingen naar andere figuren Dimensionaliteit Onderzoeksresultaten

14. Empirische benadering Met ruitjespapier Jonge kinderen kunnen het probleem ontdekken door voorbeelden te zoeken.

15. Zelfs heel jonge kinderen zou je, met een set van kartonnen tegeltjes en staafjes, kunnen vragen rechthoeken te vinden waarvoor het aantal tegeltjes gelijk is aan het aantal staafjes.

16. Een systematischere uitwerking van een empirische benadering en een opstap naar een bewijs door een tabel van “oppervlakte – omtrek”.

17. lengte 1 2 3 4 5 6 7 1 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 -6 -4 -2 0 2 4 6 breedte -7 -4 -1 2 5 8 11 5 -8 -4 0 4 8 12 16 6 -9 -4 1 6 11 16 21 7

18. x x 1 y y Opp neemt toe met y Omtr neemt toe met 2 Opp - Omtr neemt toe met y - 2

19. lengte 1 2 3 4 5 6 7 1 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 -6 -4 -2 0 2 4 6 breedte -7 -4 -1 2 5 8 11 5 -8 -4 0 4 8 12 16 6 -9 -4 1 6 11 16 21 7

20. De tabel • Toont de 3 oplossingen • Is rijk aan “patronen” • Kan de basis zijn van een rigoureus bewijs dat het de enige oplossingen zijn • suggereert dat xy sneller toeneemt dan 2x + 2y, en dus een fundamenteel principe van dimensionaliteit

21. Dus, jonge kinderen kunnen het probleem al exploreren, en • gaandeweg meer systematisch exploreren, patronen ontdekken • begrijpen hoe oppervlakte sneller groter wordt dan omtrek • een begrip opbouwen van wat een bewijs is

22. Algebraische benaderingenIemand die een beetje algebra kent, zal misschien routinematig de vergelijking schrijven: xy = 2x + 2yMaar wat dan? De uitdrukking moet herschreven worden om de gehele oplossingen te vinden.

23. Twee stappen kunnen “routinematig” worden gezet. Mogelijkheid 1. Druk één variabele uit in functie van de andere: y = 2x / (x-2) of nog y = 2 + 4/(x-2) Iemand kan inzien dat dit de vergelijking van een hyperbool is. De oplossingen kunnen dan snel gevonden worden, en ook het bewijs...

25. Mogelijkheid 2. “Breng alles naar de linkerkant” : xy - 2x - 2y = 0 Maar wat dan? Hier zou je analoog aan het “vervolledigen van het kwadraat (vierkant)” kunnen denken aan “vervolledigen van de rechthoek” : xy - 2x - 2y + 4 = 4

26. Dat geeft via factoriseren: (x - 2)(y - 2) = 4 Nu kan je redeneren dat, als x - 2 en y - 2 getallen zijn (als x en y gehele getallen zijn) de enige oplossingen zijn: 1 x 4, 2 x 2, 4 x 1  Het resultaat is duidelijk…

27. y = 2 + 4/(x - 2) (x - 2)(y - 2) = 4 xy = 2x + 2y xy - 2x - 2y = 0

28. Er zijn oneindig veel manieren om xy = 2x + 2y te herschrijven De truuk is om nuttige manieren te vinden Bijvoorbeeld: Wat is het nut van het herschrijven als : yx + xy = 4x + 4y

29. Als je flexibel denkt dat y in yx en x in xy coëfficiënten zijn in plaats van variabelen, dan wordt uit de vergelijking yx + xy = 4x + 4y duidelijk dat x en y niet tegelijk groter dan 4 kunnen zijn … en zo kan je gaan bewijzen

30. 2 = 4 1/x + 1/y Of nog …. xy = 2x + 2y • Het harmonisch gemiddelde van x en y is 4 • x en y allebei 4 • of ene >4 en andere <4  uittesten van alle gevallen

31. Of …. xy = 2x + 2y 1/x + 1/y = 1/2

32. Deze vorm van uitdrukking met stambreuken geeft aan dat Ofwel 1/x en 1/y allebei = ¼ Ofwel is de ene > ¼ en de andere < ¼ . Er zijn dan nog weinig mogelijkheden, die je allemaal kan testen.

33. Als x = y, dan volgt uit xy = 2x + 2y onmiddellijk dat x = y = 4 de oplossing is. Als x ≠ y veronderstel je – zonder verlies aan algemeenheid – dat y < x. Uit xy = 2x + 2y en y < x volgt dan dat xy < 2x + 2x en dus dat y < 4. Er blijven dan nog drie gevallen te onderzoeken, opnieuw dus een bewijs door uitputting.

34. 2 = 4 1/x + 1/y y = 2 + 4/(x - 2) (x - 2)(y - 2) = 4 xy = 2x + 2y xy - 2x - 2y = 0 1/x + 1/y = 1/2 yx + xy = 4x + 4y

35. Meetkundige oplossingen Idee: deel een figuur op in driehoeken en vierkanten die evenveel bijdragen tot de omtrek en de oppervlakte van de gehele figuur.

37. 2 2 2 2

38. x 2 2 y 2 2

39. En nu onze persoonlijke favoriet

40. “dikke omtrek”

41. Opp. = G + W Omtr. = G + 4 Als opp. = omtr. W = 4

43. Opbouw workshop Inleiding Aan het werk! Terugkoppeling Uitbreidingen naar andere figuren Dimensionaliteit Onderzoeksresultaten

44. Uitbreidingen • Naar ruimtefiguren (balken, …), met oppervlakte = volume • Naar andere vlakke figuren: driehoeken, cirkels, veelhoeken

45. Manteloppervlak = volume • 2yz + 2zx + 2xy = xyz • te herschrijven met stambreuken 1/x + 1/y + 1/z = 1/2 • Dan geldt ofwel x = y = z = 6, óf, zonder aan algemeenheid in te boeten, x < 6

46. Opp. = Omtr. = 24 10 8 6 Bewijs mogelijk – maar redelijk lastig – op basis van de formule van Heron Oppervlakte =

47. Uitbreiding naar andere vlakke figuren mogelijk, bijv. elke regelmatige veelhoek met straal ingeschreven cirkel = 2 heeft de eigenschap (maar, voorzover we konden nagaan, heeft geen enkele ervan gehele zijden). De cirkel met straal twee is dus een limietgeval!

48. Opbouw workshop Inleiding Aan het werk! Terugkoppeling Uitbreidingen naar andere figuren Dimensionaliteit Onderzoeksresultaten

49. Dimensionaliteit xy ‘groeit’ sneller dan 2x + 2y In het bijzonder, als x en y beide verdubbelen, dan neemt xy toe met factor 4, terwijl 2x + 2y slechts verdubbelt.

50. Dimensies Inzicht dat bij lineaire vergroting oppervlakte kwadratisch toeneemt en volume met derde macht In Vlaamse eindtermen Blijkbaar zeer moeilijk voor leerlingen (onterecht lineair redeneren) Zeer mooie toepassingen/voorbeelden in (fysica/biologie)