Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario

1. Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario Area: Poligoni, Circonferenza, Figure Irregolari Didattica della Matematica Relatore:Dott. Geol. Cristiano Villari Docente:Prof. Maurizio Pennisi Classe 59/A – Anno Primo CATANIA, 23 FEBBRAIO 2007

2. Mappa Concettuale Prerequisiti: • Eseguire e riconoscere il disegno di figure geometriche; • Conoscere e saper utilizzare le unità di misura delle superfici. Obiettivi: • Conoscere e saper utilizzare l’area dei poligoni e del cerchio; • Conoscere le formule per il calcole delle aree. Metodologie: • Esposizione dei concetti tramite analogie con il mondo reale; • Verifica tramite esercizi di quanto appreso; • Complementarietà con il software Cabrì.

3. Concetto di superficie ed area La superficie è una porzione di piano; Ha una lunghezza ed una larghezza; E’ priva di spessore (bidimensionale). L’area è un numero; Indica la misura di una superficie. Gli alunni spesso fanno confusione tra i due termini perché nel linguaggio comune sono usati come sinonimi (vedi area di rigore).

4. Misura di una superficie La superficie é una grandezza cioè può essere misurata. Per misurare la superficie dobbiamo scegliere l’unita di misura, cioè un’altra superficie con cui confrontarla. = unità di misura L’unità di misura che usiamo abitualmente è un quadrato di lato 1 m (metro quadro) od un multiplo o sottomultiplo decimale del metro. Misurare una superficie significa scoprire quante volte essa contiene l’unità di misura.

5. Area di figure irregolari Disegniamo su un foglio di carta millimetrata la figura di cui vogliamo conoscere l’area; Disegniamo sulla nostra figura solo i quadrati che entrano per intero (cm2); Resteranno porzioni ( ) non coperte dai quadrati rossi; Disegniamo in queste parti i quadratini più piccoli (mm2); La somma totale ci da l’area. = unità di misura (cm2)

6. Area: rettangolo e quadrato Consideriamo un rettangolo qualunque, per esempio uno avente dimensioni: base = 8 cm ; altezza = 3 cm. Disegniamo i quadrati (cm2) contenuti nel rettangolo: Il numero totale è 24  Area = 24 cm2 = unità di misura (cm2) AREA = BASE X ALTEZZA Il quadrato è un rettangolo particolare dove base e altezza sono uguali al lato. AREA = LATO2 Nell’esempio consideriamo un quadrato di lato = 3 cm (area = 9 cm2)

7. Area: parallelogramma e rombo Consideriamo un parallelogramma di cui conosciamo base e altezza. Ritagliamo uno dei due triangoli spostandolo dalla parte opposta. Otteniamo un rettangolo avente la stessa area del parallelogramma. AREA = BASE X ALTEZZA AREA = PRODOTTO DELLE DUE DIAGONALI DIVISO DUE Consideriamo un rombo di cui conosciamo la misura delle diagonali. Inscrivo il rombo in un rettangolo che avrà come dimensioni le diagonali.

8. Area: triangolo Sappiamo che una diagonale divide una parallelogramma in due triangoli uguali. Consideriamo un triangolo qualunque. Consideriamo un secondo triangolo uguale a quello dato. Unisco questo triangolo al primo per formare un parallelogramma. b c Calcolo l’area del parallelogramma. L’area del triangolo è la metà. a A = BASE X ALTEZZA/2

9. Area: trapezio Consideriamo un trapezio qualunque. B B = base maggiore b = base minore h = altezza A = area h b Affianchiamo al trapezio un secondo trapezio uguale al primo, capovolgendolo. Otteniamo un parallelogramma. A = (B+b) x h 2 L’area del trapezio è la metà dell’area del parallelogramma.

10. Area: poligoni regolari Per calcolare l’area di un poligono si può dividerlo in triangoli, tracciando le diagonali, e calcolare l’area di ciascun triangolo noto il lato l. Non sempre sono note le altezze dei triangoli in cui è suddiviso il poligono. Consideriamo il caso di un poligono circoscritto ad una circonferenza. Unendo i vertici del poligono con il centro della circonferenza dividiamo il poligono in n triangoli le cui altezze corrispondono al raggio della circonferenza (apotema a). At = l x a/2 A = n x l x a/2 A = P x a/2 L’area è la somma delle aree dei triangoli.

11. Considerazioni sui parallelogrammi Anche il quadrato è un poligono circoscrivibile ad una circonferenza per cui si può applicare la formula relativa per il calcolo dell’area. E i parallelogrammi? Un quadrilatero è circoscrivibile a un cerchio se e solo se la somma delle lunghezze dei lati opposti è costante. A = ½ P x a A = ½ (4 lato) x ½ lato A = ½ 4 lato x ½ lato A = lato x lato = lato2 Quindi, tra i parallelogrammi solo i rombi sono circoscrivibili ad una circonferenza. Possiamo quindi applicare la formula dell’area per i poligoni circoscrivibili.

12. Circonferenza Procuriamoci dei dischi di raggi (r) diversi ed un filo di ferro flessibile. + Adagiamo il filo a partire da un punto, lungo ogni circonferenza (C), e tagliamolo dove si ricongiunge al punto. Tendiamolo in modo da disporlo in linea retta e misuriamolo con la riga. A B C / d = K (costante) K = 3,14… =π d = 2r C = 2πr Misuriamo di ciascun disco il suo diametro (d) e facciamone il rapporto con la circonferenza. Per ciascun disco il rapporto circonferenza / diametro è costante.

13. Area: cerchio (I) Consideriamo un cerchio di raggio di lunghezza r. Decomponiamo questo mediante due diametri ortogonali tra loro in quattro settori uguali. Ricomponiamolo come in figura. 4 1 1 2 3 4 3 2 8 1 7 2 5 6 7 8 Ripetiamo la stessa operazione dividendo il cerchio in otto settori. 6 3 1 2 3 4 5 4 Aumentando le suddivisioni del cerchio e ricomponendo i triangoli la figura ottenuta si avvicina sempre più ad un parallelogramma avente come base la semicirconferenza e altezza il raggio del cerchio. A = ½ C x r A = ½ (2πr) x r A = π r2

14. Area: cerchio (II) Disegniamo alcune circonferenze aventi tutte lo stesso raggio r ed in esse inscriviamo rispettivamente un quadrato, un esagono, un ottagono. Al crescere del numero dei lati: • Il perimetro di avvicina sempre più a quella della circonferenza; • La misura dell’apotema si avvicina sempre più a quella del raggio; • L’area del poligono si avvicina sempre più a quella del cerchio; A = (P x a)/2 A = (C x r)/2 A = (2 π r x r)/2 A = π r2

15. Verifiche proposte Utilizzando le unità di misura indicate, trovare l’area di ciascuna figura. = unità di misura

16. Quesiti concettuali Scrivere la formula per il calcolo della misura richiesta a partire dai dati. A = …… l = …… A h b l D A = …… A = …… h d b h a = …… l = …… P = …… b = …… h = …… A A a b

17. Esercizi da svolgere Rettangolo Base Altezza Area 12 8 …… 18 …… 45 …… 9 55 Rombo Diagonale diagonale Area 8 14 …… 22 …… 275 … 50 1100 Parallelogramma Base Altezza Area 3 15 …… 7 …… 56 …… 5 210 Cerchio Raggio Area 7,5 …… …… 20,25 π …… 162,7776

18. Test a risposta multipla • In una circonferenza si indica con la lettera greca π: a) il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro; b) la differenza tra la lunghezza di un diametro e quella del raggio di una circonferenza; c) il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del raggio. • La formula che permette di calcolare l’area di un poligono circoscritto ad una circonferenza di raggio r è: a) A = C x r /2 b) A = P x r / 2 c) A = P x r • Qual è l’area di un cerchio avente il diametro lungo 14 cm? a) 56 π cm2 b) 196 π cm2 c)392 π cm2

19. Verifica con Cabrì

20. Bibliografia Daniele Valenti, Claudio Gori Giorgi - Matematica per immagini Geometria – Editore Zanichelli. Teresa Genovese, Lorenza Manzone Bertone, Giorgio Rinaldi – Geometria – Editore Lattes. Dispense del Professore Milici – Geometria prima rappresentazione del mondo fisico.