SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

1. SISSISScuola Interuniversitaria Siciliana diSpecializzazione per l’Insegnamento Secondario Indirizzo 1 Scienze Naturali Classe 59/A Laboratorio di matematica Docente: Specializzanda: Prof. Lizzio Melania Russo

2. Tema Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

3. Unità didattica PREREQUISITI: • Essere in grado di svolgere le quattro operazioni e l’elevamento a potenza in N ed avere padronanza delle loro proprietà • Conoscenza dei Sottoinsiemi e Diagrammi di Venn • Sapere cos’è l’intersezione tra due insiemi OBIETTIVI: • Individuare i multipli e dei divisori di un numero • Acquisire il concetto di divisibilità • Riconoscere i numeri primi da quelli composti • Apprendere le tecniche di scomposizione di un numero in fattori primi e saperla applicare • Possedere i concetti di MCD e mcm • Conoscere le tecniche di calcolo del MCD e mcm • Risolvere semplici problemi con l’uso del MCD e mcm METODI: La trattazione verrà fatta con osservazioni, descrizioni, manipolazioni di oggetti (Es: Lego colorati). Si possono sottoporre ad un test gli alunni per valutare il possesso dei prerequisiti richiesti. Classe I media

4. PREMESSA INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DIVISORE E CONCETTO DI MULTIPLO Le operazioni aritmetiche fondamentali che si possono eseguire con i numeri naturali e decimali sono: • l’addizione e la sua inversa, la sottrazione • La moltiplicazione e la sua inversa, la divisione • L’elevamento a potenza. Esistono altre relazioni, e in particolare le relazioni “essere divisore di” e “essere multiplo di” anch’esse una inversa dell’altra.

5. RELAZIONE DI DIVISIBILITA’ Facciamo degli esempi: Dalla divisione di due numeri naturali a e b si può avere come resto 0 oppure un altro numero naturale che è minore rispetto a b. nel primo caso si dice che la divisione è esatta e il numero a è divisibile per b. Nel secondo caso si dice che la divisione non è esatta e a non è divisibile per b Ritornando all’esempio, dai risultati ottenuti, possiamo concludere che: 125 è divisibile per 5 37 non è divisibile per 15

6. Sulla base di queste considerazioni si possono introdurre i concetti di multiplo e sottomultiplo di un numero. DEF: un numero a è multiplo di un numero b quando a è divisibile per b, cioè quando la divisione di a x b dà resto 0. Si dice anche che b è sottomultiplo di a. Le espressioni “è multiplo di” “è divisore di” in matematica sono dette RELAZIONI. Una relazione tra due numeri può essere rappresentata da una freccia

7. I MULTIPLI DI UN NUMERO Consideriamo un numero naturale ≠ da 0, ad es. il 4. Quali sono i suoi multipli? Basterà moltiplicare per tutti i numeri della successione naturale 0, 1, 2, 3, 4, ecc. e avremo quindi: In questa tabella, lo 0 non è considerato. Sappiamo però che ogni numero moltiplicato per lo 0 da per risultato 0. Quindi lo 0 è multiplo di qualunque numero. M(0)= 0 Cioè lo 0 ha un solo multiplo

8. Dal momento che è possibile continuare a costruire i passi seguenti della successione, moltiplicando il numero-base per i numeri della serie dei naturali, i multipli di un numero sono illimitati, quindi, in altre parole sono infiniti. L’insieme dei multipli di un numero a si può indicare col simbolo M(a). Se consideriamo il numero 3 e i suoi multipli, avremo:

9. I DIVISORI O SOTTOMULTIPLI DI UN NUMERO Consideriamo un altro numero naturale n=12. Volendo trovare i divisori di 12, basta individuare per mezzo della tabella quali numeri moltiplicati tra loro danno come prodotto 12. 1x12 2x6 3x4 4x3 6x2 12x1 Come si nota, i divisori di 12, sono un numero limitato, per cui un numero naturale ≠ da 0 ha un numero limitato (finito) di divisori. OSSERVAZIONI: il quoziente fra 0 e un qualsiasi altro numero naturale ≠ da 0, dà per risultato 0; quindi lo 0, ha un insieme infinito di divisori: D(0)= {1,2,3,4,ecc.} OSSERVAZIONI: come si sarà notato, tutti i numeri sono divisibili per se stessi e per 1. questi due divisori, proprio perché comuni a tutti i numeri, sono stati chiamati divisori banali

10. L’insieme dei divisori di un numero a si può indicare con il simbolo D(a). Supponiamo che a=124

11. Alcune proprietà dei divisori di un numero

13. NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI I numeri che hanno come divisori solo se stessi e 1 possono essere considerati come il risultato della moltiplicazione di questi 2 fattori banali. Es 15 = 5x3 Questi numeri sono chiamati Numeri Primi DEF: Un numero è primo se è divisibile solo per se stesso e 1 Gli altri numeri vengono definiti come numeri non primi o numeri Composti. Essi si possono ottenere come il prodotto di fattori non banali, oltre che di fattori banali.

14. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI DEF: L’operazione che trasforma un numero composto nel prodotto di fattori primi è detta Fattorizzazione o Scomposizione in fattori primi. Per scomporre in fattori primi un numero composto bisogna determinare tutti i suoi divisori primi. REGOLA: Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più piccolo numero primo che è suo divisore, poi si divide il quoto ottenuto per il più piccolo numero primo che è suo divisore, e così via finché si ottiene per quoto 1

15. Il numero dato, è uguale al prodotto di tutti i numeri primi utilizzati come divisori Dunque la scomposizione in fattori del numero 630 è: 630= 2x3x3x5x7= 2x32x5x7 OSSERVAZIONI: nella scomposizione in fattori primi, uno o più di questi fattori possono comparire per più volte. In quest’ultimo caso si usano le potenze per indicare un prodotto di fattori primi.

16. OSSERVAZIONI: effettuando la scomposizione di due numeri, nel primo numero scomposto, è possibile che compaiano tutti i fattori del secondo, con esponente maggiore o uguale a quello del secondo. Si dice allora che quel numero è divisibile per l’altro numero preso in considerazione.

18. MCD Consideriamo due numeri: (es: 48 e 60) e troviamo i loro fattori effettuando la scomposizione L’insieme dei divisori o fattori che 48 e 60 hanno in comune è l’intersezione tra l’insieme D (48), formato dai divisori di 48, e l’insieme D (60), formato dai divisori di 60. Il MCD appartiene a quest’insieme ed è il più grande dei numeri che formano l’intersezione tra D (48) e D(60). DEF: il MCD di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni

19. METODI PER TROVARE IL MCD • Metodo basato sulla scomposizione in fattori. DEF: il MCD di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è il prodotto di tutti i loro fattori primi comuni, presi ciascuno una sola volta, con il minimo esponente

20. Metodo basato sulle divisioni successive o algoritmo euclideo delle divisioni successive.

21. OSSERVAZIONI: Può capitare che due numeri non abbiano divisori comuni ≠ da 1. Es: 30 e 49 30= 2x3x5 49= 72 non hanno divisori comuni. In questo caso si dice che due numeri sono primi fra loro. DEF: due numeri si dicono primi fra loro , se non hanno divisori comuni ≠ da 1.

22. DEF: Dati 2 o più numeri, se il minore di essi è divisore di tutti gli altri, esso è il loro MCD

24. mcm Consideriamo due numeri qualsiasi: es. 8 e 10 e consideriamo pure l’inizio della successione dei loro multipli M (8)= {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80…} M(10)={10,20,30,40,60,60,70,80,90,100…} Rappresentiamo attraverso i diagrammi di Venn: Il mcm (8;10)=40 DEF: il mcm di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni

25. Regola: dati due numeri, se il maggiore è multiplo di tutti gli altri, esso è il mcm dei numeri dati Es: 9, 27 M(9)= {9,18,27,36…} M(27)= {27,54,81…} mcm(9,27)=27 • Regola: il mcm di due o più numeri primi fra loro, è il loro prodotto Es: 4, 5 M(4)= {4,8,12,16,20…} M(5)= {5,10,15,20…} mcm (4,5)=20 dove 20=4x5; 4 e 5 sono primi fra loro

26. METODI PER TROVARE IL mcm TRA DUE NUMERI • Metodo basato sulla scomposizione in fattori DEF: per calcolare il mcm di due numeri, si scompongono in fattori i numeri, poi si moltiplicano fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente

27. Metodo basato sul MCD METODI PER TROVARE IL mcm TRA TRE O PIU’ NUMERI • Metodo basato sulla scomposizione in fattori

28. Metodo basato sul MCD

29. Verifiche:

33. BIBLIOGRAFIA - M. Pellerey IL NUOVO COSTRUIAMO LA MATEMATICA SEI 2001 • P.Lazzarini FARE E RAGIONARE CON LA MATEMATICA LA NUOVA ITALIA 2001 • T. Genovese ARITMETICA ALATTES 2006 • G. Colosio IMPARIAMO ARITMETICAEDITRICE LA SCUOLA 2000 • G. Flaccavento MATEMATICA SU MISURA FABBRI EDITORI 2002 • E. Bovio ARITMETICA MODERNA LATTES 1979