1 / 42

Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)

Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE). Yang di bahas : Hasil kali dalam Panjang vektor , jarak vektor dan besar sudut dalam RHD Basis ortonormal : Metode Gramm- Schimdt Perubahan basis. Hasil kali dalam.

tynice
Download Presentation

Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)

  2. Yang dibahas : • Hasil kali dalam • Panjangvektor, jarakvektordanbesarsudutdalam RHD • Basis ortonormal : Metode Gramm-Schimdt • Perubahan basis

  3. Hasil kali dalam Definisi : adalahfungsi yang mengkaitkansetiappasanganvektordiruangvektorV ( misalkanvektorudanv dengannotasi <u,v> )denganbilangan riel, danmemenuhi 4 aksiomaberikutini : • Simetris : <u,v> = <v,u> • Aditivitas : <u+v, w> = <u,w> + <v,w> • Homogenitas : <ku,v> = k<u,v> , k : scalar • Positivitas : <u,v> ≥ 0 dan ( <u,u> = 0 u = 0) Ruangvektor yang dilengkapihasil kali dalamdisebut : Ruanghasil kali dalamyang disingkatRHD

  4. Contohsoal : 1. TunjukkanbahwaoperasiperkaliantitikstandardiR3merupakanhasil kali dalam ! Jawab : Misalkan : a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3) danc(c1, c2, c3) beradadalamR3. Akanditunjukkanbahwaperkaliantitikstandarmemenuhi 4 aksiomahasil kali dalamyaitu : 1. Simetri : <a, b> = (a.b) = (a1b1 + a2b2 + a3b3) = (b1a1 + b2a2 + b3a3) = <b,a> (terpenuhi)

  5. 2. Aditivitas : <a+b, c> = ((a + b) . c) = ((a1+b1, a2 + b2, a3 + b3) . (c1, c2, c3)) = ((a1c1 + b1c1) + (a2c2 + b2c2) + (a3c3 + b3c3)) = (a1c1 + a2c2 + a3c3) + (b1c1 + b2c2 + b3c3) = <a,c> + <b,c> (terpenuhi) 3. Homogenitas : <ka, b> = (ka.b) = (ka1b1 + ka2b2 + ka3b3) = k(a1b1 + a2b2 + a3b3) = k(a.b) = k< a,b > (terpenuhi)

  6. 4. Positivitas : <a, a> = (a.a) = (a12 + a22 + a32)≥ 0 terpenuhi) dan <u,u> = (a12 + a22 + a32)= 0 u =(0,0,0) = 0 (terpenuhi) 2. Diketahui <u,v> = ad + cfdenganu = (a,b,c) dan v = (d,e,f). Apakah <u,v> tersebutmerupakanhasil kali dalam ? Jawab : Akanditunjukkanapakah <u,v> memenuhi 4 aksiomahasil kali dalamberikutini :

  7. Simetri <u,v> = ad + cf = da + fc = <v, u> (terpenuhi)  2. Aditivitas Misalkanw = (g,h,i) <u + v, w> = ((a + d, b + e, c + f), (g,h,i)) = (a + d)g + (c + f)i = (ag+ ci) + (dg + fi) = <u,w> + <v,w> (terpenuhi)

  8. Homogenitas <ku,v> = (kad + kcf) = k(ad + cf) = k<v,u> (terpenuhi) 4. Positivitas <u ,u> = (u.u) = (a2 + c2) ≥0 (terpenuhi) dan <u,u> = (a2 + c2) = 0 tidakselaluu =(0,0,0), karenanilai u =(0,b,0) dengan b ≠0, makanilai <u,u> = 0tidakterpenuhi Karenaaksiomapositivitastidakterpenuhi, maka <u,v> = ad+ cfdengandenganu = (a,b,c) danv = (d,e,f) bukanmerupakanhasil kali dalam

  9. Panjangvektor, jarakantarvektordanbesarsudutdalam RHD JikaVmerupakanruanghasil kali dalam, u,vdalamV, maka : • Panjangu = <u,u>1/2 • Jarakudanv : d(u,v) = <u – v, u – v >1/2 • Misalkansudut θ dibentukantaraudanvdalam RHD, maka : jikaudanv salingtegaklurus, maka

  10. Bukti : Contoh soal : Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam <u,v> = (u1v1 + 2 u2v2 + u3v3) dengan u =(u1,u2,u3), v =(v1,v2,v3). Jika vektor-vektor a, b dalam V dengan a = (1,2,3) dan b = ( 1,2,2), tentukan : a. Besar cos Ѳ dengan Ѳ adalah sudut antara a dan b b. Jarak antara a dan b !

  11. Jawab : a. b. Jarak a dan b : d(a,b) = <a – b, a – b >1/2 (a – b ) = (0,0,1)

  12. Basis ortonormal DiketahuiVruanghasil kali dalam danv1, v2 ……., vnadalahvektor-vektordalamV Beberapadefinisipenting • H = {v1, v2 ……., vn} disebuthimpunanortonormalbilasetiapvektordalamVsalingtegaklurus, yaitu <vi, vj> = 0 untuki ≠ jdani,j = 1,2,…..,n b. G = {v1, v2 ……., vn} disebuthimpunanortonormalbila : - G himpunanortogonal - Norm darivi = 1, i = 1,2,….natau <vi,vi>=1

  13. Proyeksiortogonalvektorterhadapruang yang dibangunolehhimpunanvektor. H = {v1, v2, ….., vn} adalahhimpunanvektorbebas linier dariruangvektordengandim≥ndan S = {w1, w2, ….., wn} merupakanhimpunan yang ortonormal. JikaWadalahruang yang dibangunolehw1, w2, …., wn, makauntuksetiapvektorz1dalamw1dapatdituliskansebagai : dengank1, k2, …., kn:skalar. z1 = k1w1 + k2w2 + …. + knwn

  14. u = z1 + z2. JikauadalahsembarangvektordalamV, makadapatdinyatakansebagaijumlahdari 2 vektor yang salingtegaklurus : Karenaz1dalamW, makaz1merupakanproyeksiortogonaluterhadapW. Sedangkanz2merupakankomponenu yang tegaklurusterhadapW. Jadiuntukmenentukanz1perluditentukannilaik1 yang merupakanpanjanguterhadapw1. Proyeksiortogonal u terhadap w1 adalah : w1, w2, ……, wnmerupakanvektor-vektorortonormal. proy w1(u) = <u, w1>

  15. Proyw (u) = z1 = <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn JadipenulisanproyeksiortogonaluterhadapWadalah : (w1, w2, ……, wnmerupakanhimpunanvektorortonormal) Komponenu yang tegaklurusterhadapW dituliskansebagai : z2 = u – z1 = u – <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn

  16. Metode Gramm – Schmidt • Mengubahsuatuhimpunanvektor yang bebas linier menjadihimpunan yang ortonormal Syarat: Himpunan yang ditransformasikankehimpunanortonormaladalah yang bebas linier. • Jika yang ditransformasikanadalahhimpunanvektor yang merupakan basis dariruangvektorV, makametodeGramm – Schmidt akanmenghasilkan basis ortonormaluntukV

  17. Jikadiketahui K = {v1, v2, …..,vn} merupakanhimpunan yang bebas linier, maka K dapatdiubahmenjadihimpunan S = {w1, w2, …..,wn} yang ortonormaldenganmenggunakanmetode Gramm – Schimdtyaitu : 1. , iniprosesnormalisasi yang paling sederhanakarenamelibatkanhanya 1 vektorsaja. Pembagiandenganbertujuan agar w1memilikipanjang = 1, padaakhirlangkahinidiperolehbahwaw1ortonormal

  18. 2. Padaakhirlangkahinidiperolehduavektor w1dan w2 yang ortonormal. 3. . . . n.

  19. Secaraumum : W merupakanruang yang dibangunolehw1, …., wi-1 Padametodeini, pemilihan v1, v2, …., vntidakharusmengikutiurutanvektorkarena basis suaturuangvektortidaktunggal. Jadidenganmengubahurutan v1, v2, …., vnsangatmemungkinkandiperolehjawaban yang berbeda-beda. Pemilihanurutandari v1, v2, …., vn yang disarankanadalahyang mengandunghasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu <vi, vj>= 0. Dalamkasusinibisadiambil v1 = vidan v2 = vjdanseterusnya.

  20. Contohsoal : Diketahui H = {a, b,c} dengana = (1, 1, 1), b = ( 1, 2, 1) danc (- 1, 1, 0). a) Apakah H basis R3 ? b) Jikaya, transformasikan H menjadi basis ortonormaldenganmenggunakanhasil kali dalamEuclides ! Jawab : a) Karena dim (R3) = 3 danjumlahvektordalam H = 3, makauntukmenentukanapakah H merupakan basis R3ataubukanyaitudengancaramenghitungdeterminanmatrikkoefisiendari SPL Ax = b denganbadalahsembarangvektordalam R3. Jikadet = 0 berarti H bukanmerupakan basis R3, sedangkanjikadet ≠ 0, makavektor-vektordi H bebas linier danmembangun R3, sehingga H merupakan basis R3.

  21. Matrikkoefisiendari SPL adalah : Denganekspansikofaktorsepanjangbarisketiga, didapatkan : Karenadet = 1, berarti H merupakan basis dari R3 b) Hasil kali dalamantaraa, bdanc <a,b>=4, <a,c> 0, <b,c> = 1 Untukmemilih basis yang perhitungannyalebihsederhanadapatdiambil : v1 = a, v2 = b, v3 = c

  22. {Karena <a,c> = 0 maka <c,w1> }

  23. Normalisasihimpunan orthogonal kehimpunanortonormal DiketahuiV RHD dan H = {v1, v2, …., vn} dalamV merupakanortogonaldengan v1≠ 0, makabisadiperolehhimpunanortonormal yang didefinisikansebagai : S = { s1, s2, …., sn} dengan Kalaudicermati, sebenarnyainiadalahrumusan Gramm – Schimdt yang telahdireduksiyaituuntuknilaiproyw(vi) = 0, akibatdari v1, v2, …. vn yang saling orthogonal. Prosesuntukmendapatkanvektor yang ortonormaldisebutmenormalisasikanvektor. Jika dim (V) = n, maka S jugamerupakan basis ortonormaldari V

  24. Contohsoal : Diketahui a, b, c dalam R3dengan a = (2,-1,1), b = (2, 5, 1) dan c =(-1,0,2). Jika R3merupakan RHD Euclides, transfor-masikan a, b, c ke basis ortonormal ! Jawab : <a,b> = 0, <a,c> = 0, <b,c> = 0 Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakanhimpunanortonormal. Dim (R3) = 3 jadidapatditentukan basis ortonormaluntuk R3.

  25. Misalkan : Basis ortonormal untuk R3 adalah :

  26. Perubahan basis • Suaturuangvektordapatmemilikibeberapa basis • JikaterdapatsembarangvektorxdalamruangvektorV yang memilikihimpunanvektorA danBsebagaibasisnya, makaxtentunyamerupakankombinasi linier darivektorAdanB

  27. y y u1 v2 Gambardiatasmenunjukkan 2 sistemkoordinatdalam R2 yang berbedayaitu : basis B = {u1, u2} dan basis C = {v1, v2} Dengan : 6v1 v1 x x x u2 -v2 x 3u2 (a) (b)

  28. Untuk vektor x yang sama pada setiap sistem koodinat, maka penulisan koordinat vektor x yang sesuai dengan B dan C adalah : Untuk menghitung x dengan mengunakan x = u1 + 3u2 = Dengan menuliskan bentuk u1 danu2 ke v1 danv2 diperoleh : x = (-3v1 + 2v2) + 3(3v1 –v2) = 6v1 – v2 diperoleh : dan

  29. x = k1s1 + k2s2 +……+ kxsn JikaVruangvektor, S={s1, s2, ….,sn} merupakan basis V, makauntuksembarangxdalamV dituliskan: dengank1, k2, ….knskalar yang jugadisebutkoordinatxrelatifterhadap basis S disebutmatrikx relatifterhadap basis S

  30. JikaSmerupakan basis ortonormal, maka : JikaA ={x1,x2} danB = {y1, y2} berturut-turutmerupakan basis dariV, makauntuksembarangzdalamVdidapatkan : Bagaimanahubungan ?

  31. Misalkan : Dari (1) Dari (2) Untuk (3) Denganmensubstitusikanpersamaan (1) dan (2) ke (3) diperoleh :

  32. Iniberarti : Pdisebutmatriktransisidari basis Ake basis B. Secaraumum, jika A = {x1, x2, …xn} dan B = {y1, y2, ….yn} berturut-turutmerupakana basis dariruangvektor V, makamatriktransisi basis A ke basis B adalah : JikaPdapatdibalik, makaP-1merupakanmatriktransisidari basis Bke basis A

  33. Contohsoal : Diketahui : A = { v, w} dan B = {x, y} berturut-turutmerupakan basis R2dengan v =(2,2), w = (3,-1), x = (1,3) dan y = (-1,-1). Tentukan : • Matriktransisidari basis A ke basis B • Hitung • Hitungdenganmenggunakanhasildari b • Matriktransisidari basis B ke basis A

  34. a. Misalkan Dan untuk Jadimatriktransisidari basis A ke basis B adalah : b. Misalkan

  35. c. Dari (a) dan (b) didapatkan sehingga d. Matriktransisidari basis B ke basis A adalah P-1dengan P merupakanmatriktransisiterhadap basis A ke basis B. merupakanmatriktransisi Jadi dari basis B ke basis A

  36. Perhitungan perubahan basis suatu matrik dengan metode Gauss-Jordan Anggap B = {u1….., un} dan C = {v1….., vn}merupakan basis dariruangvektor V dan P adalahmatriktransisi basis B ke C. Kolomkeidari P adalah : Sehingga : ui = p1i v1 + …. + pnivn . Jikaεadalahsembarang basis di V, maka :

  37. Dapatditulisdalambentukmatriksebagaiberikut : Persamaaninidapatdiselesaikandenganeliminasi Gauss – Jordan darimatrik augmented : Diperolehhasil :

  38. Contohsoal : Dalam M22 diketahui basis B = {E11, E21, E12, E22}dan basis C = {A, B, C, D} dengan : Tentukanmatriktransisidari basis B ke basis C ! Jawab : Jikaεadalah basis sembaranguntuk M22merupakan basis standar, makadapatdiperoleh :

  39. Denganmetode Gauss – Jordan diperoleh :

  40. Jadi matrik transisi P diperoleh :

  41. Soallatihan : • Periksaapakahoperasiberikutmerupakanhasil kali dalamataubukan : • <u,v> = u12+u2 v22di R2 • <u,v>= u1 v1 + 2 u2v2 – u3v3di R3 • <u,v>= u1v3 + u2v2 + u3v1di R3 • <u,v>= 2u1v1 +u2v2 +3u3v3 2. Tentukannilai k sehinggavektor (k, k, 1) danvektor (k, 5, 6 ) adalahortogonaldalamruangEuclides 3. W merupakansubruang RHD euclidesdi ℜ3 yang dibangunolehvektor (1,1,0) dan (1,0,-1) Tentukanproyeksiortogonalvektor (-1,1,2) pada W 4. Diketahui B={u1, u2} dan C ={v1, v2} adalah basis ruangvektor V dengan u1 =(2, 2), u2= (4, -1), v1=(1, 3) dan v2= (-1, -1). Tentukanmatriktransisi P dari basis B ke basis C

More Related