Riconoscimento di Grafi Bipartiti Certificati di (non) bipartizionabilità

1. Riconoscimento di Grafi BipartitiCertificati di (non) bipartizionabilità • Il grafo è orientato ma si considera come non orientato • Per brevità svolgiamo in parallelo due casi: • Senza archi rossi: il grafo è bipartito • Con gli archi rossi: il grafo non è bipartito • Tipologia di esercizio per il caso bipartito • (1) Fornire un certificato di bipartizionabilità, mostrando l’albero alternante determinato dalla procedura Bipartito; • Tipologie di esercizio per il caso non bipartito • (2) Fornire il certificato di non bipartizionabilità determinato dalla procedura Bipartito; mostrare l’albero alternante determinato fino al momento in cui la procedura termina, evidenziando nella figura il certificato trovato; • (3) Fornire l’insieme di archi da eliminare (per ottenere un grafo bipartito) determinato dalla procedura Bipartito; mostrare l’albero alternante determinato. Attenzione: non è detto che gli archi da eliminare siano quelli rossi!

2. Specifiche per la procedura Bipartito • Il nodo scelto come radice è il nodo 1; • L’insieme di nodi candidati è gestito come fila; • Per ciascun nodo esaminato, la forward star è esaminata prima della backward star; • Gli archi in ciascuna forward star sono esaminati in ordine crescente di indice del nodo testa; • Gli archi in ciascuna backward star sono esaminati in ordine crescente di indice del nodo coda; • Oppure: l’ordine in cui gli archi in ciascuna backward star sono esaminati è ininfluente. Attenzione: il risultato dell’esercizio comprende solo ciò che è esplicitamente richiesto, non i passaggi intermedi!

3. 1 1 2 3 4 2 5 5 6 7 8 9 10 11 12 1, 2, 5 Iterazione 1: estrazione ed elaborazione del nodo 1

4. 1 1 2 3 4 2 5 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 1, 2, 5, 3, 6 Iterazione 2: estrazione ed elaborazione del nodo 2

5. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 1,2,5, 3, 6, 9 Iterazione 3: estrazione ed elaborazione del nodo 5

6. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 1,2,5,3, 6, 9, 4, 7 Iterazione 4: estrazione ed elaborazione del nodo 3

7. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3,6, 9, 4, 7, 10 Iterazione 5: estrazione ed elaborazione del nodo 6 Iterazione 6: il nodo 9 viene estratto senza raggiungere alcun nodo, né modificare l’albero

8. Tipologia (1) (senza archi rossi): normale iterazione

9. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9,4, 7, 10, 8 8 Iterazione 7: estrazione ed elaborazione del nodo 4

10. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9, 4,7, 10, 8, 11 8 11 Iterazione 8: estrazione ed elaborazione del nodo 7 Iterazione 9: il nodo 10 viene estratto senza raggiungere alcun nodo, né modificare l’albero

11. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9, 4, 7, 10,8, 11, 12 8 11 12 Iterazione 10: estrazione ed elaborazione del nodo 8 Iterazioni 11 e 12: i nodi 11 e 12 vengono estratti ed elaborati senza raggiungere alcun nodo, né modificare l’albero

12. Risultati per la tipologia 1 • l’albero finale ottenuto • la partizione dei nodi in due insiemi: {1,3,6,9,8,11} e {2,4,5,7,10,12} Possibile variante: • Si richiede solo il certificato, e cioè la partizione, non l’albero

13. Tipologia (2) (con archi rossi): si rileva un conflitto, si determina il certificato e si termina

14. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9,4, 7, 10, 8 8 Iterazione 7: estrazione ed elaborazione del nodo 4 Si rileva un conflitto con il nodo 10 Si determina il ciclo dispari (2,3,4,10,6,2)

15. Risultati per la tipologia 2 • l’ultimo albero determinato, e disegnato su di esso, il ciclo dispari • è comunque opportuno indicare anche il ciclo, cioè la sequenza nodi (2,3,4,10,6,2) Possibile variante: • Si richiede solo un certificato, e non l’albero: in questo caso basta fornire un qualunque ciclo di lunghezza dispari, senza preoccuparsi del fatto che possa essere identificato dalla procedura Bipartito; ad esempio, basterebbe fornire il ciclo (7,11,12)

16. Tipologia (3) (con archi rossi): si rileva un conflitto, si marca un arco come “da cancellare” e si prosegue

17. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9,4, 7, 10, 8 8 Iterazione 7: estrazione ed elaborazione del nodo 4 L’arco (4,10) crea un conflitto (ciclo dispari) e deve essere eliminato.

18. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9, 4,7, 10, 8, 12, 11 8 11 12 Iterazione 8: estrazione ed elaborazione del nodo 7

19. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9, 4,7, 10, 8, 12, 11 8 11 12 Iterazione 9: estrazione ed elaborazione del nodo 10, l’albero non si modifica Iterazione 10: estrazione ed elaborazione nodo 8, l’arco (8,12) forma un ciclo dispari e deve essere cancellato.

20. 1 1 2 3 4 2 5 9 5 6 7 8 3 6 9 10 11 12 4 7 10 1,2,5,3, 6, 9, 4,7, 10, 8, 12, 11 8 11 12 Iterazione 11: estrazione ed elaborazione nodo 12, l’arco (12,11) forma un ciclo dispari e deve essere cancellato. L’ultima iterazione (nodo 11) non modifica l’albero.

21. Risultati per la tipologia 3 • l’albero finale determinato • l’insieme di archi eliminati: (4,10), (8,12), (11,12) • è opportuno fornire esplicitamente la bipartizione determinata per il grafo rimanente, nel nostro caso {1,3,6,8,9,11,12} e {2,4,5, 7,10} Possibile variante: • Si richiede solo un insieme di archi da eliminare, e non l’albero: in questo caso basta fornire • un qualunque insieme di archi la cui eliminazione rende il grafo bipartito; • una bipartizione per il grafo rimanente. Ad esempio, avremmo potutofornire l’insieme di archi rossi (4,10) e (7,12), e quindi la stessa bipartizione trovata perla tipologia 1, cioè {1,3,6,9,8,11} e {2,4,5,7,10,12}