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Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-kommutativen Moyal Ebene

Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-kommutativen Moyal Ebene. Oberseminar über spezielle Methoden in der Feldtheorie 18. Januar 2005. (mit J. Loikkanen, Universität Helsinki). Ergebnis . Klein-Gordon-Operator auf nichtkommutativer Moyal-Ebene

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Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-kommutativen Moyal Ebene

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Presentation Transcript

  1. Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-kommutativen Moyal Ebene Oberseminar über spezielle Methoden in der Feldtheorie 18. Januar 2005 (mit J. Loikkanen, Universität Helsinki)

  2. Ergebnis • Klein-Gordon-Operator auf nichtkommutativer Moyal-Ebene • Asymptotische Entwicklung der effektiven Wirkung im Impulsregulator • Logarithmisch divergenter Term

  3. Motivation • Determinanten von Differentialoperatoren entstehen auf Ein-Schleifen-Niveau der QFT • Regularisierung notwendig • „log det B = tr log B“ • Regularisierung der Spur • Asymptotische Entwicklung in Λ ergibt Term • Wichtige Rolle bei Renormierung • Verbindung zum Wodzicki-Residuum von Pseudodifferentialoperatoren • In diesem Vortrag:

  4. Moyal-Ebene • Integralformel • „Moyal multiplier algebras“ [Gayral et al. `03] • Ausdehnung der Integralformel auf Distributionen • Spektrales Tripel der Dimension 4 • Eigenschaften • kommutatives Produkt auf R4 • Unschärferelation

  5. Homogenitätsgrad Pseudodifferentialoperatoren • Integralformel • Asymptotische Entwicklung • Beispiel: -Multiplikation

  6. Regularisierte Spur • Spur eines PsDO B • Wodzicki-Residuum  |p| ≤ 

  7. Asymptotische Entwicklung der Determinante • Integraldarstellung des Logarithmus • Rekursionsformel für die Resolvente • Reihenentwicklung • Praktische Kurzformel • Mischung von x- und p-Abhängigkeit

  8. Divergente Beiträge • Term n=1: • Naive Substitution „relevante“ und „irrelevante“ p-Abhängigkeiten • Für Schwartz-Felder A(x) gilt • Welche Terme tragen bei?

  9. Probleme auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten • Beispiel: Betrachte den Glättungsoperator mit Symbol • x-Integration liefert →Spur existiert nicht! • Auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten räumliches Abfallverhalten wichtig

  10. Spur existiert Abschätzung des Restterms • Betrachte trunkiertes Symbol • Beobachtungen • erfüllt • die Resolvente R ist beschränkt →Trunkierung erlaubt

  11. Der logarithmisch divergente Anteil • Trunkierte Reihe • Power-counting: in 4D nur Beiträge von N≤4 zum logarithmisch divergenten Term • Regularisierte Spur hat asymptotische Entwicklung in Λ • Koeffizient clog ergibt sich zu

  12. Bemerkungen • Angepasstes power-counting • Kommutative Variable • Eichinvarianz des Ergebnisses mit naivem Argument: Wodzicki-Residuum verschwindet auf Kommutatoren (Vorsicht: Randterme!)

  13. Zusammenfassung • Asymptotische Entwicklung der effektiven Wirkung im Abschneide-Parameter • Heuristische Formel • Angepasstes power-counting • Probleme mit Nicht-Kompaktheit, Trunkierung abschätzbar

  14. Ausblick • Weitere Beispiele für nicht-kommutative Mannigfaltigkeiten • Abelsche, isometrische Wirkungen auf Mannigfaltigkeiten • Kotangentenbündel auf Lie-Gruppen • Variable Metrik • Funktionenkalkül bei variablem Hauptsymbol? • Residuumskalkül für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten • Randterme bei partieller Integration • Indextheoreme • ζ-Funktions-Regularisierung

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