Punkte und Kreise in der Ebene

Punkte und Kreisein der Ebene Das Problem der Punkt-Trennenden Kreise Beauty is our Business

Gliederung • Vorstellung des Problems • Erläuterung der Grundlagen • Beispiel für das Problem • Abstraktion der Problemstellung • Lösung durch ein Abzählargument Beauty is our Business

1. Vorstellung des Problems • Gegeben sei eine Ebene im R² • Auf dieser Ebene werden 5 Punkte beliebig verteilt, wobei aber gilt: • Keine 3 Punkte befinden sich auf einer Linie • Keine 4 Punkte bilden einen Kreis • Man bilde Kreise von jeweils 3 Punkten • Beweisen sie, dass es genau 4 punkttrennende Kreise gibt. Beauty is our Business

2. Erläuterung der Grundlagen 2.1. Verteilung von Punkten in der Ebene • Einige Verteilungen als Beispiel: Beauty is our Business

2.1. Verteilung von Punkten in der Ebene • Es gibt unendlich viele Möglichkeiten diese Punkte zu verteilen. • Es gibt jedoch bestimmte Muster die die Verteilung bestimmen. • Im Folgenden näher betrachtet: • Verteilung der Punkte entlang einer Linie • Verteilung der Punkte entlang eines Kreises Beauty is our Business

2.1.1 Punkte entlang einer Linie • Was passiert wenn wir Punkte in die leere Ebene einschreiben? Beauty is our Business

2.1.1 Punkte entlang einer Linie • Es lässt sich also folgendes feststellen: • Man kann immer einen weiteren Punkt hinzufügen, ohne dabei 3 Punkte auf eine Linie zu setzen. Begründung: • Die Ebene R² ist unendlich  man kann immer die Linie zwischen jeweils 2 Punkten „verfehlen“ • Punkte haben keine Ausdehnung  man kann beliebig viele in einen beliebig kleinen Raum einzeichnen Beauty is our Business

2.1.2 Punkte entlang eines Kreises • Was passiert wenn wir Punkte in die leere Ebene einschreiben? Beauty is our Business

2.1.2 Punkte entlang eines Kreises • Kann man drei Punkte, die nicht auf einer Linie liegen, einfügen, ohne einen Kreis zu bilden? • Dazu betrachten wir die Freiheitsgrade des Kreises Beauty is our Business

2.1.2 Punkte entlang eines Kreises • Es lässt sich also feststellen: • 3 Punkte die keine Linie bilden, bilden immer genau einen Kreis • 4 Punkte kann man immer so legen, dass sie keinen Kreis bilden. Begründung: • Die Ebene R² ist unendlich  man kann die Punkte so setzen dass ein 4er-Kreis nicht möglich ist • Punkte haben keine Ausdehnung  man kann beliebig viele in einen beliebig kleinen Raum einzeichnen Beauty is our Business

2.1.3 Was ist ein Punkttrennender Kreis? • Wir setzen 5 Punkte in die Ebene • Ein Punkttrennender Kreis ist ein Kreis, der: • 3 der Punkte umschließt und • dabei die verbleibenden 2 voneinander trennt • Jeder Kreis wird dabei nur einmal und minimal gezählt. Beauty is our Business

3. Beispiel für das Problem • Wir fassen dass Problem noch mal zusammen und bewerten die Machbarkeit: • 5 Punkte in der Ebene • Keine 3 Punkte auf einer Linie • Keine 4 Punkte bilden einen Kreis • Zu beweisen: • Es gibt nur 4 Punkttrennende Kreise, d.h. Kreise die mindestens 3 Punkte enthalten und die anderen 2 trennen • Wir werden also im folgenden Beispiel die Punkte mit 1 – 5 durchnummerieren. Beauty is our Business

3. Beispiel für das Problem • Beobachtung:Es gibt10 Möglichkeiten bei 5 Punkten jeweils 3 durch Kreise zu umschreiben Enthaltene # Punkte Kreis 3 4 5 123 124 125 2 1 134 135 145 5 234 3 235 4 245 345 Beauty is our Business

4. Abstraktion des Problems • Anstatt gleich das ganze Problem zu lösen, betrachten wir zuerst ein vereinfachtes Problem: • Es seien 4 beliebig gewählte Punkte im R² gegeben für die gilt: • Es liegen nie mehr als 3 Punkte auf einer Linie • Welche Situation stellt sich jetzt dar? Beauty is our Business

4.1 Das Vereinfachte Problem • 4 Punkte im Raum, nie 3 auf einer Linie • Sie bestimmen 6 Linien die je 2 Punkte enthalten Beauty is our Business

4.1 Das Vereinfachte Problem • Punkttrennende Linien sind genau die Linien, die zwei Punkte so verbinden, dass die übrigen zwei Punkte auf verschiedenen Seiten der Linie liegen. • In diesem Fall sind dies die folgenden Linien: Beauty is our Business

4.1 Das Vereinfachte Problem • Die Konvexe Hülle der Punkte ist die größtmögliche Fläche die von den 6 Linien umschlossen wird • Sie kann entweder viereckig oder dreieckig sein. • In diesem Fall ist sie viereckig, wie man sieht: Beauty is our Business

4.1 Das Vereinfachte Problem • Bezüglich der punkttrennenden Linien gilt: • Im Viereck-Fall gibt es immer 2 derartige Linien • Im Dreieck-Fall gibt es immer 3 derartige Linien Beauty is our Business

4.1 Das Vereinfachte Problem • Es lässt sich folgendes feststellen: • Im Vierecksfall liegt jeder Punkt auf genau einer punkttrennenden Linie • Im Dreiecksfall liegt ein Punkt auf drei dieser Linien und die anderen drei Punkte liegen jeweils auf einer dieser Linien Beauty is our Business

4.1 Das Vereinfachte Problem • Durch Kombinieren der beiden Beobachtungen erhalten wir: • Es gibt mindestens 2 punkttrennende Linien und mindestens 3 nicht-punkttrennende Linien. (1a) • Jeder Punkt liegt entweder auf einer oder drei punkttrennenden Linien. (2a) Beauty is our Business

4.2 Anpassung des Problems • Kehren wir nun zu unserem Ursprungsproblem mit den 5 Punkten zurück. • Wir wählen einen der Punkte aus und nehmen ihn als Mittelpunkt einer Inversion. Dieser Punkt wird mit A bezeichnet. • Das heißt, wir zeichnen eine Linie zwischen A und jedem anderen Punkt (P) und setzen jeweils einen neuen Punkt (P‘) auf diese Linie. B A C E D Beauty is our Business

4.2 Anpassung des Problems • Dabei gilt für die neuen Punkte folgendes: • A liegt nicht zwischen P und P‘ • Der Wert |AP| * |AP‘| ist für alle Punkte P gleich • Beides ist immer möglich (ohne Beweis) Beispiel: Es sei AB = 1 = AE AC = 2 = AD Sei AB‘ = 0,5 = AE‘ AC‘ = 0,25 = AD‘ Wichtig: Inversion betrifft alle Punkte im R² B B‘ A C‘ C D‘ E‘ E D Beauty is our Business

4.2 Anpassung des Problems • Nur, was macht diese Transformation? • Sie übersetzt Kreise die A enthalten nach Linien die A nicht enthalten, und vice versa. • Hier als Beispiel des punkttrennenden Kreises ACE B A B‘ A C‘ C D‘ E‘ E D Beauty is our Business

4.2 Anpassung des Problems • Wir können sogar noch weiter gehen: • Wenn ein Kreis der A enthält die Punkte Q und R trennt, so trennt die gewonnene Linie die Punkte Q‘ und R‘ B A B‘ A C‘ C D‘ E‘ E D Beauty is our Business

4.2 Anpassung des Problems • Wenn ein Kreis der A enthält die Punkte Q und R trennt, so trennt die gewonnene Linie die Punkte Q‘ und R‘. • Aus 4.1 (1a) und (1b) wissen wir: • Es gibt mindestens 2 punkttrennende Linien und mindestens 3 nicht-punkttrennende Linien. (1a) • Jeder Punkt liegt entweder auf einer oder drei punkttrennenden Linien. (2a) • Durch unsere neue Beobachtung können wir schließen: • A ist von mindestens 2 trennenden und 3 nicht-trennenden Kreisen umschlossen. (1b) • Jedes Paar von Punkten, welches A enthält, liegt entweder in einem oder drei nicht-trennenden Kreise (2b) Beauty is our Business

4.2 Anpassung des Problems • Da wir A unter unseren 5 Punkten beliebig gewählt haben gilt also auch: • Jeder der 5 Punkte befindet sich in mindestens 2 trennenden und höchstens 3 nicht-trennenden Kreisen (1c) • Jedes Paar von Punkten das aus den 5 Punkten gebildet werden kann liegt entweder innerhalb von einem trennenden oder dreier trennenden Kreise. Beauty is our Business

5. Lösung durch Abzählen • (1c) Jeder der 5 Punkte befindet sich in mindestens 2 trennenden und höchstens 3 nicht-trennenden Kreise. • (2c) Jedes Paar von Punkten das aus den 5 gebildet werden kann liegt entweder innerhalb von einem trennenden oder dreier trennenden Kreise. • Wir können nun den Beweis dafür, dass es genau 4 punkttrennende Kreise gibt, durch ein Abzählargument antreten. • Wir benutzen dabei, dass jeder der trennenden Kreise 3 Punkte enthält, also wird jeder Kreis bei (1c) und (2c) jeweils dreimal gezählt. Beauty is our Business

5. Lösung durch Abzählen • (1c) Jeder der 5 Punkte befindet sich in mindestens 2 trennenden und höchstens 3 nicht-trennenden Kreise. • (2c) Jedes Paar von Punkten das aus den 5 gebildet werden kann liegt entweder innerhalb von einem trennenden oder dreier trennenden Kreise. • Jeder Kreis wird 3-fach gezählt. • Wir nehmen an, es gibt K trennende und L nicht-trennende Kreise. Aus (1c) gewinnen wir: 3 • K ≥ 5 * 2 = 10 sowie 3 • L ≥ 5 * 3 = 15 • Da aber K + L = 10, da es insgesamt 10 Kreise gibt, gilt: K = 4 oder K = 5 • Das heißt, es gibt entweder 4 oder 5 trennende Kreise. Beauty is our Business

5. Lösung durch Abzählen • (1c) Jeder der 5 Punkte befindet sich in mindestens 2 trennenden und höchstens 3 nicht-trennenden Kreise. • (2c) Jedes Paar von Punkten das aus den 5 gebildet werden kann liegt entweder innerhalb von einem trennenden oder dreier trennenden Kreise. • Jeder Kreis wird 3-fach gezählt und es gibt 4 oder 5 trennende Kreise. • Angenommen, es gäbe M Punktpaare innerhalb dreier trennender Kreise und N = 10 – M Punktpaare die nur Teil von einem trennenden Kreis sind, so folgt aus (2c): 3 • K =3 • M + N =2 • M + (M+N) = 2 • M + 10 • Dies muss offenbar eine gerade Zahl ergeben, also ist3 • K gerade und daher muss K = 4 sein. Beauty is our Business

Quellen „A Curious Property of Points and Circles in the Plane“ Karel A. Post Beauty is our Business

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