Přístrojová technika

1. Přístrojová technika Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. Obsah přednášky • Obecná teorie měření - chyby měření a zpracování dat • Chyby měření závislých veličin, chyby při měření závislostí, fitování • Techniky měření nejzákladnějších veličin • Kalibrace a kalibrační křivka • Měření elektrických veličin, převody měření jiných veličin na ně • Použití multimetrů, čítačů a osciloskopů • Zpracování elektrických signálů, modulární elektronika • Spektroskopie ionizujícího i neionizujícího záření • Urychlovačová technika a experimenty se svazky částic • Experimenty částicové fyziky • Cvičení : měření elektrických veličin, použití základních přístrojů, • Cvičení : základní elektronika • Cvičení : program Gnuplot

3. Teoretický popis tvorba matematického modelu Fyzikální práce • Teoretická fyzika • Experimentální fyzika Pozorování a experiment ověření matematického modelu

4. Jak ověřit experimentální model? Předpovědi téhož jevu od různých teoretických fyziků se mohou lišit. Teorie je třeba srovnat se skutečností - provést experiment či pozorování. Předpověď Měření Měření 2 F = 100 N F = 103 N F = 292 N F = 300 N

5. Jak ověřit experimentální model? Předpovědi téhož jevu od různých teoretických fyziků se mohou lišit. Je potřeba učinit více měření ... Předpověď Měření F = 100 N F = 300 N 103, 292, 98, 115, 152, 87, 109, 76, 32, 94, 114, 152, 5, 201, 141, 101 N ... a z rozdělení naměřených hodnot je třeba usoudit na hodnotu měřené veličiny.

6. Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Při měření fyzikální veličiny se můžeme dopustit mnoha chyb – a vždy se nějakých dopustíme. Každé měření je zatíženo chybou. Chyby jsou v zásadě tří druhů: • Hrubé chyby • Systematické chyby • Náhodné chyby (fluktuace)

7. Hrubé chyby Kolik měří tato úsečka? 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Hrubé chyby jsou zaviněny nepromyšleností experimentu, nepozorností fyzika nebo poruchou na přístrojích. Lze na ně přijít použitím šedé kůry mozkové – jako u každé jiné činnosti, i u měření vždy pomůže, když při něm myslíme. l = 8 cm

8. Systematické chyby Kolik měří tato úsečka? 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Systematické chyby vznikají obvykle špatnou kalibrací přístrojů nebo působením neznámého vlivu, který k měření trvale přidává (odebírá) nějakou hodnotu. Příkladem budiž měření se špatně označeným pravítkem. Systematické chyby se hledají a odstraňují těžko – tím se nebudeme zabývat. l = 14 cm

9. Náhodné chyby - fluktuace I když odhlédneme od chyb hrubých či systematických, nikdy se nelze zbavit tzv. fluktuací. Fluktuace naměřené vznikají součtem mnoha vlivů okolního prostředí na experiment. Jejich základní vlastnosti jsou : • Jsou velmi malé • Je jich velmi mnoho různých druhů • Každá sama o sobě je zcela náhodná a nezávislá na ostatních • Jsou se stejnou pravděpodobností kladné či záporné Příklad vidíte na obrázku vpravo – na přístroji odečítáme hodnotu cca 3 A, ačkoliv ve skutečnosti ručička ukazuje -3 A (viz stín přímého osvětlení). Tato chyba závisí na úhlu, pod jakým se na přístroj díváme – a ten může být pokaždé jiný. Této chybě se lze vyvarovat pečlivostí měření, ale fluktuace mají kořen až v kvantové povaze mikrosvěta, kde děje probíhají náhodně. Předpokládáme, že samotná veličina se během měření nemění!

10. Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Δa Δb Δc Δa + Δb + Δc -0.5 -0.5 -0.5 -1.5 -0.5 -0.5 +0.5 -0.5 -0.5 +0.5 -0.5 -0.5 -0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 -0.5 -0.5 -0.5 +0.5 -0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 -0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +1.5 Jako nejjednodušší příklad předpokládejme, že při měření působí jen tři různé vlivy, a každý z nich měření náhodně upraví o +0.5 nebo o -0.5. Sepišme si tabulku možných oprav výsledku, víme-li, že naměřený výsledek je x0– reálný výsledek, Δa – oprava za první vliv, Δb – oprava za druhý, Δc – oprava za třetí. Rozdělení chyby měření Vidíme, že celková změna výsledku o +0.5 je stejně pravděpodobná jako o -0.5 a třikrát pravděpodobnější než změna o ±1.5 .

11. Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Rozdělení chyby měření Jako další příklad předpokládejme, že při měření působí opět jen tři různé vlivy, a.e každý z nich měření náhodně upraví o +0.5, -0.5, nebo jej neupraví vůbec. Sepišme si tabulku možných oprav výsledku, víme-li, že naměřený výsledek je x0– reálný výsledek, Δa – oprava za první vliv, Δb – oprava za druhý, Δc – oprava za třetí. Δ Δ Δ Δa Δb Δc Δa Δb Δc Δa Δb Δc

12. Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Budeme-li přidávat další fluktuace a rozšíříme-li jejich možnosti, budou se rozdělení dále komplikovat: Co nám toto připomíná?

13. Gaussovo normální rozdělení Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Gaussovo normální rozdělení (hustota pravděpodobnosti) je jedno z nejdůležitějších statistických rozdělení vůbec. Je popsáno konstantami μ (poloha maxima na ose x) a σ (pološířka křivky v přibližně polovině výšky). Přesněji je to vzdálenost μ a inflexních bodů. Plocha, kterou křivka pod sebou uzavírá, je rovna jedné (to zajišťuje výraz před exponenciálním členem). Dokažte tato tvrzení.

14. Gaussovo normální rozdělení výběrový průměr směrodatná odchylka (parametr rozdělení chyb) Gaussovo rozdělení tedy popisuje rozdělení naměřených hodnot s tím, že hledaná hodnota je v místě vrcholu, tedy x0 = μ. Dá se ukázat, že uděláme-li n měření xi, pak Tj. lze nalézt konkrétní Gaussovo rozdělení, podle kterého se měření veličiny řídí.

15. Gaussovo normální rozdělení Při každém měření je třeba nějakým způsobem vyjádřit, jak velkou chybu jsme udělali. Samotný výsledek (aritmetický průměr) je k ničemu, pokud nevíme, jak moc mu můžeme věřit. Šířka gaussiánu udává rozptyl měřených výsledků - tj. v podstatě kvalitu přístrojů a měřící metody. Čím užší je gaussián, tím větší má přístroj rozlišení (dovede od sebe rozlišit dvě blízké hodnoty veličiny). Přístroj s dobrým rozlišením (σ = 0.1)

16. Gaussovo normální rozdělení Při každém měření je třeba nějakým způsobem vyjádřit, jak velkou chybu jsme udělali. Samotný výsledek (aritmetický průměr) je k ničemu, pokud nevíme, jak moc mu můžeme věřit. Šířka gaussiánu udává rozptyl měřených výsledků - tj. v podstatě kvalitu přístrojů a měřící metody. Čím užší je gaussián, tím větší má přístroj rozlišení (dovede od sebe rozlišit dvě blízké hodnoty veličiny). Přístroj se špatným rozlišením (σ = 0.4)

17. Gaussovo normální rozdělení Z parametru σ lze také určit, z jakou pravděpodobností padne další měření do určeného okolí μ. Plocha pod křivkou v páse symetrickém kolem středu a širokém σ nalevo i napravo od středu je veliká přibližně 0.683 a s touto pravděpodobností tedy každé další měření padne do intervalu (μ - σ, μ + σ). Do intervalu (μ - 2σ, μ + 2σ) se každé další měření vejde s pravděpodobností 0.954 0.683 0.954 0.997 Do intervalu (μ - 3σ, μ + 3σ) se každé další měření vejde s pravděpodobností 0.997

18. Aritmetický průměr Rozlišení nás ale obvykle moc nezajímá (pokud neměříme spektroskopické veličiny). Mnohem více nás zajímá, co se děje s aritmetickým průměrem (tj. naměřenou hodnotou veličiny) při opakovaných měřením. Díky fluktuacím si můžeme být jisti, že uděláme-li několik sad měření téže veličiny za týž podmínek, dostaneme aritmetický průměr pokaždé jiný : 2. měření 1. měření 3. měření

19. Chyba aritmetického průměru Směrodatnou chybu aritmetického průměru lze spočítat pomocí vzorce Tato chyba vyjadřuje, že se při dalším měření znovu vypočítaný aritmetický průměr do intervalu (μ - Δx, μ + Δx) trefí s pravděpodobností 68.3 %. Jako odhad chyby při měření jedné konstantní veličiny se pak obvykle udává interval (μ - 3Δx, μ + 3Δx) , ve kterém každý další aritmetický průměr skončí s pravděpodobností 99.7 %. Každé fyzikální měření musí mít odhadnutou svou chybu - bez toho nemá vůbec žádnou výpovědní hodnotu!

20. Zápis naměřeného výsledku Výsledek zapisujeme ve tvaru Použijeme-li předchozí vzorce, pak je hodnota měřené veličiny v tomto intervalu s pravděpodobností 99,7 % . Chyba aritmetického průměru Pozn. : čísla je třeba zaokrouhlit na nějaký rozumný počet desetinných míst – a hlavně obě na stejný počet desetinných míst!

21. Zpracování výsledků v programu MS Excel Uvedené výpočty sice nejsou těžké, ale zdlouhavé a otravné. Je proto výhodné na ně použít výpočetní techniku. Pokud jsme udělali desítky tisíc či dokonce milióny měření, nic jiného nám ani nezbývá. Pro malý počet měření (desítky) se dobře hodí nějaký tabulkový procesor (MS Excel, Open Office Calc). Dejme tomu, že jsme 20x měřili vzdálenost Praha-Brno a vyšly nám násle-dující hodnoty zapsané v rámečku vpravo. Zpracu-jme je v programu MS Excel.

22. Zpracování výsledků Výsledky nejprve zapíšeme do jednoho sloupce. Můžeme je opatřit i pořadovými čísly, i když ta pro další výpočet nejsou důležitá. Lze na nich ale dobře demonstrovat funkci automatického rozkopírovávání obsahu buněk. Klikneme myší na pravý dolní roh buňky a roztáhneme ji do sloupce. Program bude při této operaci automaticky měnit číslo řádků v zapsaném vzorci. Každá nová buňka tak bude mít o 1 větší hodnotu než předchozí. Pořadové číslo 1 zapíšeme normálně, pořadové číslo 2 pak jako vzorec - součet předchozí buňky s číslem 1.

23. Zpracování výsledků Spočítáme aritmetický průměr (v jednom kroku) a chybu měření (ve více krocích). První krok je výpočet druhých ocnin rozdílů aritmetického průměru a naměřených hodnot. Aritmetický průměr zapíšeme pomocí funkce součtu SUMA() dělené počtem měření. Forma zápisu je zřejmé z obrázku. Zadáme vzorec pro druhou mocninu rozdílů jednotlivých měření a průměrů. Pro rozkopírování do všech řádků použijeme stejnou funkci, jako u pořadových čísel. Musíme ale zajistit, aby se neměnilo číslo buňky, ve které je uložen průměr. To zajistíme zapsáním znaku dolar před číslo řádku (popř. písmeno sloupce)

24. Zpracování výsledků Další krok je druhé mocniny sečíst … Dokončíme výpočet. Druhé mocniny pro všechna měření je nejprve třeba sečíst … Provedeme rozkopírování jako v případě pořadových čísel.

25. Zpracování výsledků … pak podělit n*(n-1), odmocnit a vynásobit třemi. Dostaneme absolutní chybu. Pokud bychom chtěli relativní, museli bychom do další buňky zapsat vzorec „ = 100 * ( 2 * D30 ) / D29 “ . Dokončíme vzorec. Vydělíme výrazem n*(n-1), odmocníme a vynásobíme třemi. V buňce D30 je nyní absolutní chyba měření a tedy

26. Zpracování výsledků Pozn.: během zpracování dat můžete použít tzv. 3σ kritérium pro odstranění hrubých chyb. Provedete-li hrubou chybu, velikost příslušné naměřené hodnoty patrně bude hodně daleko od ostatních. Vesměs tedy můžete hodnoty, které jsou vzdálené o 3σn a více od aritmetického průměru z naměřených dat vyhodit (a přepočítat průměr a σn) . Je-li ale takových hodnot příliš, je třeba se zamyslet, zda za jejich výskytem neleží nějaký hlubší problém, než jen nepozornost při měření! V předchozím příkladu je σn = 4.067, tedy všechny naměřené hodnoty menší než 199.69 a větší než 207.81 z naměřené sady dat vyhodit - zbytečně by nám kazily výsledek.

27. Chyby závislých veličin Bývá častým případem, že měříme více různých veličin a na jejich základě pak stanovujeme požadovanou hodnotu. V rámečku napravo je například schéma úlohy měření konstanty e/m, kdy změříme urychlovací napětí elektronů (U), poloměry kružnic (R), které opisují v magnetickém poli a intenzitu pole (B). Předchozím postupem můžeme určit chybu měření pro každou z veličin, tj. a víme, že konstantu lze spočítat ze vzorce Jak lze nyní získat ?

28. Chyby závislých veličin Předpokládejme, že máme naměřeno n hodnot od U, R i B. Častou chybou je dopočítat podle známého vzorce deset hodnot K a pak spočítat průměr a odchylku. TO JE VŠAK ŠPATNĚ! Takto vzniklé hodnoty nemají gaussovské rozdělení N(x) a vzorce proto nelze použít. Lze ovšem ukázat, že máme-li naměřeny veličiny x1 ... xn a známe průměry a odchylky, pak platí

29. Chyby závislých veličin Pro funkci K(U,R,B) to pak tedy bude : Do derivací dosadíme střední hodnoty. Je zjevné, že velikost výsledné chyby bude nesmírně citlivé pro malá R a B, tj. budou-li malé poloměry nebo malé pole, pak se i drobné chyby jejich měření podepíší obrovskou měrou na chybě celkové. Dosadíme a získáme Všimněte si, že pořád sedí jednotky!

30. Chyby závislých veličin Chyba součtu Chyba rozdílu je stejná díky druhým mocninám Chyba násobku Chyba podílu

31. Měření závislostí Gaussovo rozdělení mají veličiny, jejichž vlastní hodnota se během měření nemění (podepisují se na ní pouze fluktuace). Pokud si ovšem veličiny během experimentu záměrně pozměňujeme (nebo se pozměňují samy), nelze vzorce pro průměr a odchylku použít. Při měření odporů měříme proud a napětí. Obě veličiny si měníme regulací napětí zdroje. Výsledný odpor R je sice jen jeden a principiálně se nemá co měnit, měřené veličiny ale ano. Pokud bychom pro každou měřenou dvojici spočítali Ri = Ui Ii a z výsledných čísel dopočítali průměr a odchylku, bylo by to ŠPATNĚ, protože v takovém případě rozdělení Ri opět není gaussovské. R A V C o s t í m ?

32. Měření závislostí Protože měříme dvojice bodů, je možné je vynést jako naměřenou závislost. Víme, že platí Ohmův zákon U = RI, kde R je konstanta a o naměřených datech lze tedy předpokládat, že budou ležet na přímce popsané funkcí R A Z naměřených hodnot vidíme, že opravdu zhruba zachovávají lineární vzrůst, kvůli chybám měření jsou ale "rozsypané" kolem nějaké přímky. Když najdeme nejlepší možnou přímku, kolem které se body motají, její směrnice nám určí naměřené R. V

33. Měření závislostí Protože měříme dvojice bodů, je možné je vynést jako naměřenou závislost. Víme, že platí Ohmův zákon U = RI, kde R je konstanta a o naměřených datech lze tedy předpokládat, že budou ležet na přímce popsané funkcí R A Z naměřených hodnot vidíme, že opravdu zhruba zachovávají lineární vzrůst, kvůli chybám měření jsou ale "rozsypané" kolem nějaké přímky. Když najdeme nejlepší možnou přímku, kolem které se body motají, její směrnice nám určí naměřené R. V

34. Metoda nejmenších čtverců Jak tuto přímku určit? Intuitivně tušíme, že by měla být zvolena tak, aby vzdálenosti bodů od ní byly co nejmenší. Tento princip je možnost, ale není úplně nejvhodnější. Vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky totiž obsahuje absolutní hodnotu a s tou se špatně pracuje - a tato metoda má i další nevýhody. li+1 li Používá se tzv. Metoda nejmenších čtverců. Její princip je jasný z obrázku - přímka se položí tak, aby součet čtverců naznačených v nákresu byl minimální. Strana čtverce je rozdíl funkční hodnoty U(Ii) a naměřené hodnoty Ui . Si+1 Si

35. Metoda nejmenších čtverců Toto je součet čtverců v závislosti na R. Jak jej udělat nejmenším? Používá se tzv. Metoda nejmenších čtverců. Její princip je jasný z obrázku - přímka se položí tak, aby součet čtverců naznačených v nákresu byl minimální. Strana čtverce je rozdíl funkční hodnoty U(Ii) a naměřené hodnoty Ui . Si+1 Zderivovat a položit rovno nule. Si

36. Měření závislostí Dopočítáme : R A V

37. Fitování Postup se dá zobecnit na libovolné funkce s libovolným počtem parametrů (v předcho-zím příkladu byl parametr jeden - R). Tento postup se nazývá fitování. Výraz chí kvadrát určuje kvalitu fitu, tj. jak moc křivka do bodů sedí. Spočítá se jako tj. pro předchozí příklad je Čím menší je toto číslo, tím lépe křivka do bodů "sedí".

38. Fitování Proložení naměřených bodů přímkou či křivkou se dnes již obvykle dělá s pomocí počítače (hledejte v programech výrazy fit, fitování, regrese, spojnice trendu a podobně). Křivka, kterou naměřené body proložíte, ale vždy musí mít fyzikální smysl ! Na obrázcích vlevo je také nějaké měření, u kterého se dá předpokládat, že závislost je lineární. Kvůli velkým chybám měření je ale u lineárního fitu mnohem větší chí2 než u fitu polynomem 9. stupně. Fit takovým polynomem ale nemá žádný fyzikální smysl. Při tomto postupu je samozřejmě také třeba určit chybu nafitovaného parametru (či parametrů). Nebudeme zabíhat do podrobností, stačí vědět, že velikost chyb je nějakým způsobem úměrná velikosti čtverců (a tedy chí2). Chybu nám specializované programy (třeba GnuPlot) spočítají. Pozn.: ovšem třeba MS Excel počítat chyby fitů neumí, takže má ve fyzice jen omezené použití.

39. Měření rozdělení Je celkem častou úlohou zjistit, jaké má nějaká veličina rozdělení. To nás zajímá zejména ve spektroskopických úlohách. Spektrum udává, kolik událostí nastane v nějakém určeném intervalu vzhledem k ostatním - na předchozích dvou obrázcích konkrétně kolik fotonů dané energie se vyskytuje v záření emitovaným nějakým zdrojem. Teoreticky se vlastně jedná o rozdělení pravděpodobnosti. Rozdělení pravděpodobnosti je ovšem spojité - jak jej tedy naměřit, máme-li k dispozici pouze omezený čas a tedy omezený počet naměřených událostí (fotonů nějaké energie)?

40. Histogram a měření v kanálech Mějme N naměřených hodnot (energií fotonů). Z nich si vytvoříme tzv. histogram. n1 nk n3 n2 a b Měříme-li na intervalu <a, b> , vytvoříme rozdělení tohoto intervalu na k částí. Ke každé části přiřadíme počet událostí (fotonů), které do tohoto interválku padly. Tím získáme jakési zobrazení, které lze zobrazit v grafu.

41. Co je histogram Počet událostí Hodnota události

42. Co je histogram Nafitujeme křivkou a rozdělení je hotovo. Počet událostí Hodnota události

43. Co je histogram Nafitujeme křivkou a rozdělení je hotovo. Počet událostí Hodnota události

44. Teorie pravděpodobnosti a chyby měření Histogram s 500000 naměřenými hodnotami veličiny, která má normální rozdělení (fluktuace). Silně připomíná tvar Gaussova normálního rozdělení a lze jej gaussiánem snadno nafitovat.

45. Shrnutí • Fyzikální práce • Druhy chyb měření • Chyby jedné veličiny a Gaussovo normální rozdělení • Aritmetický průměr a chyba aritmetického průměru • Zpracování v programu MS Excel • Chyby závislých veličin • Měření závislostí • Fitování metodou nejmenších čtverců • Měření rozdělení Cvičení Práce s programem GnuPlot