UM ESTUDO SOBRE O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE

1. UM ESTUDO SOBRE O PROBLEMADO CAIXEIRO VIAJANTE Aluna: Natalle Cristina Moretti Cammarosano Kopczynski Orientadora: Profa. Lílian Kátia de Oliveira 2010

2. INTRODUÇÃO Ultimamente, problemas de roteamento, que são comuns em sistemas logísticos, vêm sendo amplamente estudados nas empresas para aumentar a eficiência da prestação de seus serviços. Para tal, são aplicados alguns métodos, dos quais pode-se obter soluções factíveis. O problema de roteamento estudado foi o Problema do Caixeiro Viajante.

3. OBJETIVOS • Estudo dos principais conceitos de Teoria de Grafos; • Estudo dos modelos matemáticos utilizados na resolução do Problema do Caixeiro Viajante; • Pesquisa sobre os principais métodos de solução da literatura; • Implementação dos métodos exatos, heurísticos e probabilísticos para sua resolução (linguagem de modelagem GAMS); • Comparação das soluções obtidas a partir dos métodos executados.

4. JUSTIFICATIVAS O Problema do Caixeiro Viajante, devido à sua potencialidade de aplicações, bem como pela dificuldade de resolução, tem sido bastante estudado na literatura em diferentes campos do saber, como a otimização, matemática, engenharia, inteligência artificial. Algumas aplicações são: programação de operações de máquinas em manufatura; programação de transporte entre células de manufatura; otimização do movimento de ferramentas de corte; maioria dos problemas de roteamento de veículos; solução de problemas de sequenciamento de DNA; solução de problemas de programação e distribuição de tarefas em plantas; trabalhos administrativos, entre outros. Portanto, procedimentos de solução para o Problema do Caixeiro Viajante que determinam boas soluções em um tempo computacional razoável são importantes.

5. PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Objetivo: cobrir todos os nós de uma rede, a fim de alcançar um objetivo pré determinado (menor distância ou menor custo), passando somente 1 vez em cada nó. Decorre de uma situação hipotética de um caixeiro, que deve sair de uma cidade, passar por várias outras e voltar ao seu ponto de origem. Considera-se que as distâncias e custos entre uma cidade e outra são conhecidos. Sua complexidade de solução aumenta de acordo com a extensão do problema. As aplicações práticas são: entrega de produtos em depósitos, reposição de materiais em postos de trabalho, roteiro de condução escolar, entre outros.

6. MODELOS Grafo Completo não Orientado Seja G(N, A) um grafo completo não orientado com n nós e δ (v) o conjunto dos arcos incidentes no nó v N . Seja cij o custo do arco (i,j) e considere: O Problema do Caixeiro Viajante não orientado pode ser modelado como: onde S é qualquer subconjunto de N, a partir de 3 elementos, que descreve os possíveis ciclos.

7. MODELOS Grafo Completo Orientado Seja G(N, A) um grafo completo orientado com n nós. Seja cij o custo do arco (i,j) e considere: O Problema do Caixeiro Viajante orientado pode ser modelado como:

8. MÉTODOS Algoritmo 1 – Problema da Mínima Árvore Geradora (MST): Consiste em encontrar uma árvore de comprimento mínimo, entre todas as possíveis árvores geradoras do grafo G(N,U). • Passo 1:Escolha arbitrariamente o nó i. Encontre o nó mais próximo de i, digamos j, e conecte-o a i. • Passo 2:Se todos os nós estiverem conectados, pare. Neste caso a MST foi encontrada. Caso contrário, vá para o passo 3. • Passo 3:Encontre o nó, entre os nós ainda não conectados, que esteja mais próximo dos nós já conectados, e conecte-o aos nós já conectados. Volte para o passo 2.

9. MÉTODOS Algoritmo 2 – TSP1 Considere um grafo com n nós, completo e satisfazendo a desigualdade triangular. • Passo 1: Encontre a mínima árvore geradora ligando os n nós. Chame-a de T. • Passo 2: Seja m o número de nós de T de grau ímpar (m sempre é par). Encontre o minimum length pairwise matching desses m nós e identifique os m/2 caminhos mínimos do casamento ótimo. Chame-o de M. • Passo 3: Crie o grafo H com a união de T e M. Note que H não contém nós de grau ímpar. Encontre um circuito de Euler em H. Este circuito é uma solução aproximada para o TSP1. • Passo 4: Caso haja nós visitados mais de uma vez no circuito de Euler, melhore o roteiro levando em conta a desigualdade triangular, de maneira a obter um ciclo Hamiltoniano para o grafo H. Este ciclo também é uma solução aproximada para o TSP1.

10. MÉTODOS TSP Probabilístico Considere n pontos que são aleatoriamente e independentemente distribuídos sobre uma área A, com a localização de cada ponto uniformemente distribuído em A. Pode ser mostrado que: Observação:Na prática, a expressão fornece boas aproximações se os n pontos estiverem razoavelmente bem espalhados sobre a região A (mesmo nos casos onde os n pontos não são tão independentemente localizados, ou quando a distribuição de probabilidade não é exatamente uniforme).

11. PRÓXIMOS PASSOS • Implementação de Algoritmos Básicos: para tal, será usada a linguagem de modelagem GAMS; • Resultados; • Relatório final.

12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS • CUNHA, C. B.; BONASSER, U. O.; ABRAHÃO, F. T. M. Experimentos computacionais com heurísticas de melhorias para o problema do caixeiroviajante. In: XVI Congresso da ANPET – Associação Nacional de Pesquisa e Ensino em Transportes. Natal, 2002. • FERNANDES, F.; MORABITO, R. Linguagens de modelagem GAMS e LINGO: Aplicação a um problema de balanceamento de linha de montagem. Cadernos de Engenharia de Produção n.20, UFSCar. São Carlos, 1993. • GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. L. Otimização combinatória e programação linear:modelos e algoritmos. 2ª edição revisada. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. • PRESTES, A. N. Uma Análise Experimental de Abordagens Heurísticas Aplicadas ao Problema do Caixeiro Viajante. 2006. Dissertação (Mestrado em Sistemas e Computação) - Pós- Graduação em Sistemas e Computação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006.