Les changements de numéraire dans la tarification d’options

1. Les changements de numéraire dans la tarification d’options Promoteur Pierre Devolder Benjamin Pajot Juin 2010

2. De nombreuses options existent sur le marché

3. Une option ESOP est destinée aux employés d’une entreprise Achat au prix minimum en T0 ou en T1 Ristourne de (1-ρ) % Pay-off :

4. La tarification d’une telle option n’est pas toujours simple, à priori

5. Une solution analytique du prix est toujours préférable Rapidité et facilité d’implémentation Calcul explicite de la sensibilité Evaluation de l’influence des paramètres

6. La tarification par changements de numéraire présente de nombreux avantages Simplification des calculs Obtention de certaines formules analytiques

7. Les changements de numéraire dans la tarification d’options Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

8. Les changements de numéraire dans la tarification d’options Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

9. Le marché peut se modéliser mathématiquement Espace de probabilité Intervalle de temps Actifs S0, S1, … SN Sous P : Terme de diffusion Terme de tendance

10. Un numéraire est un étalon de valeurs Bien matériel / virtuel de référence (monnaie, action, indice, … ) Actif négociable Processus numéraire S0

11. Le prix de chaque produit est exprimé dans un numéraire particulier Exemple Numéraire S1 : Numéraire S2 : Marché normalisé

12. La théorie de l’arbitrage est gouvernée par le premier théorème fondamental Modèle sans opportunité d’arbitrage (A.O.A.) si et seulement si Il existe une mesure martingale Q0 Martingales sous Q0

13. Une option doit être tarifée grâce à la formule de tarification générale Pay-off stochastique Marché A.O.A. Numéraire S0

14. Un changement de numéraire n’influence pas le prix de l’option Numéraire S1 Numéraire

15. Les changements de numéraire dans la tarification d’options Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

16. Les changements de mesure sont gouvernés par le théorème de Radon-Nikodyn Espace de probabilité Théorème de Radon-Nikodyn

17. Le théorème de Girsanov donne la nouvelle dynamique Hypothèses : Filtration Noyau de Girsanov

18. Seul le terme de tendance est modifié par changements de mesure Terme de diffusion Terme de tendance

19. La mesure martingale risque-neutre est un cas particulier de changements de mesure = 0

20. Les mesures martingales Si-neutres sont également envisageables = 0

21. Les changements de numéraire dans la tarification d’options Théorie moderne de l’arbitrage Changements de numéraire Tarification d’options ESOP Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur Pierre Devolder

22. La technique de changements de numéraires va permettre la tarification de l’option 22

23. Le numéraire choisi doit être un actif négociable strictement positif S(T0) n’est pas un actif négociable en T1 S0(t) est un actif négociable en T1 Pay-off

24. La dynamique des deux actifs sous-jacents est connue sous la mesure risque-neutre Dynamique de S sous Q Dynamique de S0 sous Q

25. L’actif S0 est choisit comme numéraire pour effectuer la tarification Prix de l’option

26. La mesure Q0 est une mesure martingale pour le choix S0 de numéraire Dynamique de S/S0 sous Q0

27. Le prix de l’option est obtenu sous cette mesure par application de la formule de B & S Prix de l’option ESOP

28. Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible

29. Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible

30. Pour les temps supérieurs à T0 un changement de mesure est inutile Prix de l’option ESOP

31. Comme la valeur S(T0) est connue la volatilité de l’option devient plus forte

32. Couverture (delta-hedging) extrêmement facile à mettre en œuvre avant la date T0

33. Les changements de numéraire comme solution adéquate de nombreux problèmes de tarification Simplification des calculs Obtention de certaines formules analytiques Restent méconnus à l’heure actuelle