Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli

1. Politechnika Warszawska Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli Instytut Informatyki

2. x X Pojęcie pochodnej Gdy ciało porusza się po linii prostej, współrzędna jego położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t. Przypuśćmy, że w pewnym przedziale czasu t położenie zmieniło się o x. Powiemy, że w przedziale czasut ciało miało prędkość średnią:

3. x x x Interesuje nas więc granica zwana pochodną położenia x względem czasu t. Pojęcie pochodnej Jednak w czasie t ciało mogło zwalniać i przyspieszać. Można zatem zadać pytanie: jaka była prędkość chwilowa na początku omawianego przedziału czasu? Aby uzyskać odpowiedź na tak postawione pytanie, należałoby zmierzyć zmianę położenia ciała w krótszym przedziale czasu.

4. X Y Definicja pochodnej Przypuśćmy, że określona jest funkcja y(x), która przyporządkowuje wielkości x (zmiennej niezależnej) pewną inną wielkość y (zmienną zależną). Pochodną funkcji y(x) w punkcie xo nazywamy granicę „ilorazu różnicowego”:

5. y y(x+x) Dy y(x) Dx x x+x x Interpretacja geometryczna Wartość ilorazu różnicowego y/x jest tangensem kąta, określającego nachylenie siecznej, czyli linii, która przecina krzywą w punktach (x, y(x)) i (x+x, y(x+x)). Kiedy x0, sieczna dąży do stycznej do krzywej w punkcie (x,y(x)). Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi OX.

6. Funkcje potęgowe Funkcje potęgowe mają postać y(x) = xn. x2 x3 x1 x0

7. y y x x Pochodne funkcji potęgowych Funkcja stała y(x) = c Funkcja liniowa y(x)=a·x Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = y(x+ x) - y(x) = c-c = 0 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna funkcji stałej jest równa zero. Pochodna funkcji liniowej jest stała i wynosi a.

8. y(x)=x2 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja kwadratowa y=a·x2 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x0 i wynosi y’(x)=2ax Kąt nachylenia stycznej dowykresu funkcji rośnie wraz ze wzrostem x.

9. y y’(x)=x2 x y(x)=x3 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja trzeciego stopnia y(x) = a·x3 Iloraz różnicowy jest równy: Pochodna , czyli granica tego ilorazu dla x dążącego do zera, wynosi y’(x)=3ax2

10. y y(x)=1/x x y’(x)=-1/x2 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja stopnia -1 y(x) = x-1 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x dążącego do zera i wynosi y’(x) = (-1)·x-2 Funkcja jest malejąca, więc jej pochodna jest ujemna.

11. Pochodne funkcji potęgowych

12. y(x)=sin(x) y 2 0  x y y’(x)=cos(x) 1 x  0 2 Pochodna funkcji sinus Funkcja y(x) = sin(x) Iloraz różnicowy wynosi: Czyli sin’(x) = cos(x)

13. y y(x)=cos(x) 0  2 x y y’(x)=-sin(x) 0  2 x Pochodna funkcji cosinus Funkcja y(x) = cos(x) Iloraz różnicowy wynosi: Pochodną funkcji cosinus jest -sinus

14. 4x ex y 2x 1 x ex y 4xln4 1 2xln2 x Pochodna funkcji wykładniczej Funkcja y(x) = ax Iloraz różnicowy wynosi: Po obliczeniu granicy tego ilorazu dla x dążącego do zera, otrzymamy wzór pochodnej: (ax)’= ax lna

15. y 4xln4 ex 4x 2x 1 2xln2 x Pochodna funkcji wykładniczej Pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalnado samej funkcji.

16. Pochodna funkcji y(x)=a·f(x) y 2sin(x) 2 1  2 x 0 y 2cos(x) 2 1 0  2 x Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą y(x) = af(x) Iloraz różnicowy ma postać: Jeśli obliczymy granicę tego ilorazu, otrzymamy wzór: y’(x) = a  f’ (x)

17. Pochodna sumy funkcji Pochodna sumy funkcji y(x) = f(x) + g(x) Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = y (x+x) - y(x) = = (f(x+x) + g(x+x)) - (f(x) + g(x)) = = (f(x+x)-f(x)) + (g(x+x)–g(x)) Cały iloraz różnicowy ma więc postać sumy dwóchilorazów różnicowych: Pochodna sumy funkcji jest równa sumie ich pochodnych: y’(x) = f’(x) + g’(x)

18. y y(x) = x+sin(x) 10 5 2 -5 -4 -3 -2 - 0  2 3 4 5 x -5 -10 Pochodna sumy funkcji Funkcja y(x) = x + sin(x) i jej pochodna y’(x) = 1+cos(x)

19. y = f(x+x)g (x+x) -f(x)g (x) = = (f(x+x) – f(x))g(x+x) – f(x)(g(x+x)–g(x)) Pochodna iloczynu funkcji Pochodna iloczynu funkcji y(x) = f(x)•g(x) Licznik ilorazu różnicowego jest równy: Iloraz różnicowy ma postać: Dla x0 otrzymujemy: y’(x) = f’(x)•g(x)+f(x) •g’(x)

20. y -4 -4 - - -2 -2 -5 -5 -3 -3 -6 -6 2 2   4 4 3 3 5 5 6 6 x y x Pochodna iloczynu funkcji y=x·sin(x) y’=sin(x)+x·cos(x)

21. f’(x)· g(x) - f(x)· g’(x) y’(x) = g(x)2 Pochodna ilorazu funkcji Pochodna ilorazu funkcji y(x) = f(x)/g(x) Iloraz różnicowy można zapisać następująco: Dla x0 mamy: Pochodna ilorazu funkcji f(x) przez g(x) jest równa różnicy iloczynu pochodnej pierwszej funkcji przez drugą i iloczynu pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji, podzielonej przez kwadrat drugiej funkcji.

22. -  -3 3 -5 5 x -  -3 3 -5 5 x Pochodna ilorazu funkcji

24. Pochodną funkcji y(x) = cos(x) jest funkcja: -sin(x) -tg(x)·cos(x) Obie odpowiedzi są poprawne

25. Pochodną funkcji y(x) = tg(x) jest funkcja: ctg(x) 1/cos2(x) 1/x2

26. Pochodną funkcji y(x) = 2x3+ 4 jest funkcja: 3x2+4 6x2+4 6x2

27. Pochodną funkcji y(x) = 1/x jest funkcja: -1/x/x -1/x2 Obie odpowiedzi są poprawne

28. Pochodną funkcji y(x) = ex jest funkcja: x·ex ex ex/x

30. 1. Wielka internetowa encyklopedia multimedialnahttp://www.encyklopedia.pl 2. Dydaktyka w Interneciehttp://www.szkoly.edu.pl/dydaktyka.html 3. K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników. Klasa III. 4. H. Łubowicz, B. Wieprzkowicz: Matematyka. Podstawowe wiadomości teoretyczne i ćwiczenia dla studentów studiów inżynierskich. 5. K. Litewska, J. Muszyński: Analiza matematyczna, cz.1. 6. W. Żakowski: Matematyka, cz. 1. Neto- i bibliografia