OPERACIONES EN EL INFINITO

1. OPERACIONES EN EL INFINITO DÍA 06 * 1º BAD CT

2. Operaciones con ± ∞ • Más infinito (+ ∞): Representa el concepto, no el número, de ser mayor que cualquier número. • Menos infinito (– ∞): Representa el concepto, no el número, de ser menor que cualquier número. • Sea a un número real cualquiera. • a + ∞ =+ ∞ , a – ∞ =– ∞ • + ∞ + ∞ =+ ∞ , – ∞– ∞=– ∞ • Si a >0  a .(+ ∞) =+ ∞ , a.(– ∞) =– ∞ • (+ ∞) / a =+ ∞ , (– ∞) / a =– ∞ • Si a <0  a .(+ ∞) =-∞ , a.(– ∞) =+∞ • (+ ∞) /a =-∞ , (– ∞) /a =+∞ • (+ ∞).(+ ∞) =(+ ∞) , (– ∞).(– ∞)=(+∞) • (+ ∞).(-∞) =(-∞) , (– ∞).(+∞)=(-∞)

3. Operaciones con ± ∞ • Sea a un número real cualquiera. • a / 0 =+ ∞ , a /± ∞ = 0 • Si a >1  a + ∞ = + ∞ , a - ∞ = 0 • Si 0 < a <1  a + ∞ = 0 , a - ∞ = + ∞ • (+oo) ∞ = + ∞ , (± ∞)- ∞ = 0 • EXPRESIONES INDETERMINADAS • [∞ - ∞] [∞ / ∞] [0. ∞] [0 / 0] • ∞ 0 0 • [1 ] [∞ ] [0 ]

4. PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LÍMITES • a) Si existe límite, éste debe ser único. • b) El límite de una suma es la suma de los límites: • lím (an ± bn) = lím an ± lím bn • n∞ n∞ n∞ • c) El límite de una constante por una sucesión es la constante por el límite de la sucesión: • lím k.an = k. lím an • n∞ n∞ • d) El límite de un producto o división es el producto de los límites: • lím (an . bn) = lím an . lím bn • n∞ n∞ n∞ • e) El límite de una potencia es la potencia de los limites : • bn lím bn • lím (an) = (lím an) n∞ • n∞n∞ • f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: • lím Log an = Log lím an • n∞ a a n∞

5. Indeterminada [oo/oo] • Sabemos que oo / k = oo siempre. • Sabemos que k / oo = 0 siempre. • Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. • Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] • Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de n elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. • N(n) / nm • Lím an = Lím -------------- • noo noo D(n) / nm • Donde m es el enponente de n entre numerador y denominador, N(n) y D(n) • Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo]

6. Ejemplo 1 2.n3 - 3n + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo • lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] • noo n3 – n2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo • Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n3 ) • 2 - (3/n2)+ (1/n3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = ------------- = 2/1 = 2 • noo 1 – (1/n) – (5/n3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0

7. Ejemplo 2 2.n3 - 3n + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo • lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] • noo 5 - n2 5 - oo2 - oo • Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n3 ) • 2 - (3 / n2) + (1 / n3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = -------------------------- = -------------- = • noo (5 / n3 ) - (1 / n) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 • = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito.

8. Indeterminada [0.oo] • Sabemos que oo . k = oo siempre. • Sabemos que k .0 = 0 siempre. • Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. • Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] • Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las dos expresiones que nos han producido dicha indeterminación. • Lím an . Lím bn = [0.oo] = Lím an.bn • noo noo noo • Y en general ello va a dar lugare a otra indeterminación de la forma [oo/oo] que ya sabemos resolver.

9. Ejemplo 1 • n – 1 1 + n • Sea las sucesiones an = -------- y bn = -------- • n 1 – n • Hallar los límites de an y bn. • Hallar el límite de an + bn. • Hallar el límite de an . bn. • Hallamos el valor de los límites: • a1 = 0, a10 = 0’9, a100 = 0’99  Lím an = 1 • noo • b1 = oo, b10 = -1’22, a100 = -1’022  Lím bn = -1 • noo • Hallamos el limite de la suma: • Lím ( an + bn ) = Lím an + Lím bn = 1 + (-1) = 0 • noo noo noo • Hallamos el limite del producto: • Lím ( an . bn ) = Lím an . Lím bn = 1 .(-1) = - 1 • noo noo noo

10. Ejemplo 2 • n2 – 1 1 • Sea las sucesiones an = -------- y bn = -------- • n n - 1 • Hallar los límites de an , bn , an + bn. , y an . bn. • Hallamos el valor de los límites: • a1 = 0, a10 = 9’9, a100 = 99’99  Lím an = oo No tiene • noo • b1 = oo, b10 = 0,11, a100 = 0,011 Lím bn = 0 • noo • Hallamos el limite de la suma: • Lím ( an + bn ) = Lím an + Lím bn = oo + 0 = oo No tiene • noo noo noo • Hallamos el limite del producto: • Lím ( an . bn ) = Lím an . Lím bn = oo. 0 = INDETERMINACIÓN • noo noo noo • Lím ( an . bn ) = Lím (n2 – 1)/n.(n – 1) = Lím (n + 1)/n = 1 • noo noo noo