UNIDAD IV

1. UNIDAD IV DETERMINANTES DE UNA MATRIZ

2. con Determinantes Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de la permutación que indican sus filas y columnas. Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número: (Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la signatura de la permutación)

3. æ ö a a 11 12 ç ÷ A = a a è ø 21 22 æ ö a a a 11 12 13 Dada una matriz cuadrada de segundo orden: ç ÷ a a a A = Dada una matriz cuadrada de orden 3 21 22 23 è ø a a a se llama determinante de A al número real: 31 32 33 Se llama determinante de A, det (A) o |A|, al número real siguiente: = a11· a22 – a12· a21 Det( A) = |A| = a a a 11 12 13 a a a = a a a + a a a + a a a – a a a – a a a – a a a 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33. 3 2 a a a Ejemplo: a = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1 31 32 33 2 1 a 11 12 a a 21 22 Determinantes de orden 2 y 3

4. Regla de Sarrus La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas cambiadas de signo.

5. æ ö 3 5 1 ç ÷ ç ÷ 4 – 2 – 1 ç ÷ = El determinante de la matriz A es ç ÷ 2 – 3 – 4 è ø Aplicaciones a la regla de Sarrus det(A) = 3 . (–2). (–4) + 4 . (–3). 1 + 5 . (–1). 2 – [ 1 . (–2). 2 + (–1). (–3). 3 + 5 . 4. (–4)] = 24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77

6. Cálculo de determinantes usando desarrollo por los elementos de una fila o columna • Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima. • Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.

7. a a a 11 12 13 a a a a a a 22 23 12 13 12 13 a a a . 1+1 . 2+1 . 3+1 = a (-1) + a (-1) + a (-1) 21 22 23 11 a a 21 a a 31 a a 32 33 32 33 22 23 a a a 31 32 33 a a a 11 12 13 a a a a a a 12 13 11 13 11 12 a a a . 3+1 . 3+2 . 3+3 = a (-1) + a (-1) + a (-1) 21 22 23 31 a a 32 a a 33 a a 22 23 21 23 21 22 a a a 31 32 33 Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3 Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3 Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3

8. 2 – 1 1 2 2 1 2 – 1 1 2 1 6 1 0 2+2 3 – 1 3 2+1 6 · ( – 1) + – 1 – 1 3 1 · ( – 1) + Por ejemplo : = 3 – 1 – 1 3 2 0 1 – 1 0 1 2 – 1 0 1 –1 –1 –3 5 2 – 1 2 2 – 1 1 2+3 3 – 1 3 2+4 + 1 · ( – 1) + 3 – 1 – 1 0 · ( – 1) = 2 – 1 1 2 – 1 0 Determinante de cualquier orden El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos: det (A) = ai1 . Ai1 + ai2· Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j· A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna 34 = 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) =

9. Ejemplos: – 1 4 – 1 æ ö ç ÷ 3 2 3 El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la tercera y · ç ÷ è ø 2 5 2 primera columnas son iguales. 2 4 – 1 æ ö ç ÷ 1 – 2 3 El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la tercera fila · ç ÷ è ø 3 – 6 9 es igual a la segunda multiplicada por 3. Ejemplo: – 1 0 – 1 æ ö ç ÷ 3 0 3 El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la segunda columna ç ÷ è ø 2 0 2 es nula. Cálculo inmediato de determinantes (I) I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero. II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.

10. Ejemplo: 2 4 0 æ ö ç ÷ 1 3 – 1 El determinante de una matriz A = es igual a cero porque la tercera columna es ç ÷ è ø 3 1 5 igual al doble de la primera menos la segunda. Ejemplo: – 1 0 – 1 æ ö ç ÷ 0 2 3 El determinante de la matriz A = es igual – 4. ç ÷ è ø 0 0 2 Cálculo inmediato de determinantes (II) III.El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero. IV.El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

11. Ejemplos: 1 0 0 æ ö ç ÷ 0 1 0 El determinante de la matriz I = es igual a 1. · ç ÷ 3 è ø 0 0 1 æ 1 0 0 0 0 ö ç ÷ 0 1 0 0 0 ç ÷ 0 0 1 0 0 El determinante de la matriz I = es igual a 1. · 5 ç ÷ 0 0 0 1 0 è ø 0 0 0 0 1 Cálculo inmediato de determinantes (III) V.El determinante de la matriz unidad es 1

12. Ejemplo: 2 3 2 3 2 3 = = 4 . . 4 20 1 5 4 1 4 5 Ejemplo: 1 – 4 – 4 1 = – 2 5 5 2 Propiedades: operaciones con filas y columnas (I) I.Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número. II.Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

13. 2 3 – 1 1 5 2 Ejemplo: Si en A = sumamos a la tercera fila la primera mult i plicada por – 1 más 4 13 4 la segunda multiplicada por – 2, obtenemos: 2 3 – 1 1 5 2 B = 4 + 2 ( – 1 ) + 1 ( – 2 ) 13 + 3 ( – 1 ) + 5 ( – 2 ) 4 + ( – 1 ) ( – 1 ) + 2 ( – 2 ) = A B y se cumple que ambos determinantes son iguales: Propiedades: operaciones con filas y columnas (II) III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente, el valor del determinante no varía.

14. Ejemplo: 2 0 4 1 æ ö æ ö Sean A = y B = . Se tiene que |A| = – 2 y |B| = 5. · ç ÷ ç ÷ 1 – 1 3 2 è ø è ø 8 2 æ ö . . . . Como A B = y | A B | = – 10 se observa que | A B | = |A| |B| · ç ÷ 1 – 1 è ø Ejemplo: 3 0 1/3 0 æ ö æ ö – 1 Sea A = ; entonces A = ç ÷ ç ÷ · 1 1 – 1/3 1 è ø è ø – 1 . – 1 Como | A | = 3 y | A | = 1/3, se observa que | A | | A | = 1 · Determinantes de operaciones con matrices (I) I.El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas. II.El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.

15. Ejemplo: 2 0 – 2 2 1 3 æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ t 1 1 3 0 1 0 · Sea A = . Entonces A = è ø è ø 3 0 2 – 2 3 2 t · Se cumple que | A | = | A | Ejemplo: 2 0 – 2 4 0 – 4 2 0 – 2 æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 1 1 3 2 2 6 1 1 3 Se cumple que: 2 = = 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 3 0 2 6 0 4 3 0 2 Operaciones con matrices (II) III. Al trasponer una matriz su determinante no varía. VI.Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.

16. æ ö a a a + b 11 12 12 13 ç ÷ a a a + b Si A = se cumple que: 21 22 22 23 è ø a a a + b 31 32 32 33 a a a a a a a a + b b 11 12 12 13 11 12 13 11 12 13 a a a a a a a a + b b = + 21 22 22 23 21 22 23 21 22 23 a a a a a a a a + b b 31 32 32 33 31 32 33 31 32 33 Ejemplo: 2 3 – 1 æ ö ç ÷ 1 5 2 Sea A = . Entonces se cumple que | A | = 7 · ç ÷ è ø 4 13 4 Y se tiene que: · 2 3 – 1 1 + 1 3 – 1 1 3 – 1 1 3 – 1 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 5 2 3 – 2 5 2 3 5 2 – 2 5 2 = = + = ( - 70) + 77 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø 4 13 4 1 + 3 13 4 1 13 4 3 13 4 Operaciones con matrices (III) V.- Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos determinantes como sumandos haya

17. Rango de una matriz por determinantes I Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A). En una matriz cualquiera A m×n  puede haber varios menores de un cierto orden p dado. Definición: El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A). Consecuencias El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero.

18. Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz • El rango de la matriz nula es 0. • Si la matriz A no es nula rang(A)  1. En caso contrario rang(A) = 1 • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A)  2. • Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3. • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A)  3. En caso contrario rang(A) = 2 • Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4. En caso contrario rang(A) = 3 • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A)  4. Y así hasta que no sea posible continuar

19. 2 - 2 2 æ ö ç ÷ 2 1 0 Ejemplo: Dada la matriz (A) = , su adjunta sería: ç ÷ è ø 3 - 2 2 æ ö 1 0 2 0 2 1 ç ÷ – – 2 2 3 2 3 – 2 ç ÷ 2 – 4 – 7 æ ö – 2 2 2 2 2 – 2 ç ÷ ç ÷ 0 – 2 – 2 adj (A)= – – = ç ÷ – 2 2 3 2 3 – 2 ç ÷ è ø – 2 4 6 – 2 2 2 2 2 – 2 ç ÷ – è ø 1 0 2 0 2 1 Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I) • La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0. • Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado por (-1)i+j • Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.

20. Si se cumple que | A | ≠ 0 entonces la matriz inversa A-1 es igual a: 1 1 – 1 t t A = adj(A ) = [adj(A)] | A | | A | 2 – 2 2 æ ö ç ÷ 2 1 0 Ejemplo: Dada la matriz A = , pretendemos encontrar su inversa: ç ÷ è ø 3 – 2 2 2 – 4 – 7 æ ö ç ÷ 0 – 2 – 2 Ya hemos visto que: adj (A) = è ø – 2 4 6 2 0 – 2 æ ö ç ÷ t – 4 – 2 4 Entonces: [adj (A)] = ç ÷ è ø – 7 – 2 6 2 0 – 2 – 1 0 1 æ ö æ ö 1 1 ç ÷ ç ÷ – 1 t – 4 – 2 4 2 1 – 2 Por lo tanto: A = [adj (A)] = = ç ÷ ç ÷ | A | – 2 è ø è ø – 7 – 2 6 7/2 1 – 3 Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II) Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2  0

21. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos I

22. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos II

23. desarrollo por 1ª columna desarrollo por 1ª columna 3 5 – 2 6 0 – 1 1 3 – 1 1 3 – 1 1 3 1 2 – 1 1 1 2 – 1 1 . 0 3 3 : = . –1 = 0 3 3 Ejemplo –1 = = 2 4 1 5 0 0 3 3 • 2ª fila por (–3) + 1ª fila • 2ª fila por (–2) + 3ª fila • 2ª fila por (–3) + 4ª fila 0 9 3 1 8 0 3 7 5 3 0 1 8 0 • 1ª fila por 1 + 3ª fila 3 3 . ( = (–1) –1) = 9 3 Cálculo de determinantes por el método de Gaus • El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos. • El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.