calcolo delle probabilità, STATISTICA e ricerca operativa

1. Introduzione a R “Quick Guide for R” calcolo delle probabilità, STATISTICA e ricerca operativa Prodotto da Enrico Properzi - enrico.properzi3@unibo.it Riedizione di Sergio Capone – ITIS Leonardo Da Vinci – capone.s@itisvinci.com Edito A.A. 2010-2011

2. R è un ambiente integrato di svilluppo1che permette di elaborare dati, eseguire calcoli ed effettuare rappresentazioni grafiche. Caratteristiche principali: • Si compone di un insieme di strumenti di calcolo per l’analisi statistica dei dati • È un linguaggio object-oriented2(come Java o C++) • È open source e libero nella distribuzione e nell’uso • E’ multipiattaforma (Windows, MacOsX, Linux, Unix…) Cos’è R?

3. Non ha una GUI1 (Interfaccia Grafica verso l’Utente) • Non ha servizi di supporto commerciali Risorse WEB • R dispone di un ampia documentazione sul in rete: • “An introduction to R”, distribuito con R, ed è un buon punto di partenza in autoapprendimento. • FAQ2 : http://cran.r-project.org/other-docs.html Alcuni svantaggi

4. Oltre a molte guide disponibili sul sito www.r-project.org e più in generale su internet è possibile chiamare alcune funzioni di aiuto mentre si sta lavorando con il programma: help.stat() mostra una pagina web attraverso la quale si accede a manuale e informazioni generali ?comando o help (comando) consentono di accedere direttamente all’aiuto in linea di un determinato comando help.search(argomento) permette di cercare informazioni su comandi di cui non si conosce il nome o su gruppi di comandi. Funzioni di aiuto

5. Workspace Workspace: è lo spazio di lavoro che contiene tutti gli oggetti creati. All’avvio R carica il file .RData e quando esce ti viene data la possibilità di salvare il workspace in questo file. Alcuni comandi per la gestione del workspace: > source("comandi.R") legge il file comandi.R ed esegue i comandi in esso contenuti > sink("output.txt") reindirizza i risultati, che di solito appaiono a video, verso il file output.txt > ls() elenca gli oggetti contenuti nel workspace corrente > rm() elimina uno o più oggetti dallo spazio di lavoro > save.image() salva il workspace corrente nel file ".RData“ > save(x, y, file = "xy.Rdata") salva solo gli oggetti x e y nel file indicato > load("xy.Rdata") legge il file indicato e ripristina gli oggetti precedentemente salvati

6. È possibile verificare quale sia il la directory di lavoro attiva con il comando getwd() > getwd() [1] "C:/Documents and Settings/utente/Documenti" Per modificare la directory di lavoro si utilizza invece il comando setwd() > setwd("c:/laboratorioR/") In alternativa da menù andate in "File|Cambia directory. . . “ Ognuno imposti come directory attiva z:\laboratorio R\cognome.nome . DIRECTORY DI LAVORO

7. Funzioni somma: sum() prodotto: prod() valore assoluto: abs() segno: sign() • esponenziale: exp() • logaritmo: log() • logaritmo in base 2: log2() • logaritmo in base 10: log10() • radice quadrata: sqrt() Operatori logici e di confronto • < minore • > maggiore • <= minore o uguale • >= maggiore o uguale • == uguale • != diverso • & AND • | OR • ! NOT

8. Operazioni elementari con R La console di R può essere utilizzata come semplice calcolatrice. Per le quattro operazioni base si utilizzano i segni: + - * / Per l'elevamento a potenza si utilizza ^ oppure **. Esempio: 3^2 Per la radice quadrata si impiega il comando sqrt(). > (2 - 3)/6 [1] -0.1666667 > 2^2 [1] 4 > sqrt(9) [1] 3 Attenzione: R è case sensitive > Sqrt(9) Errore: non trovo la funzione "Sqrt"

9. Gli oggetti di R R è un linguaggio di programmazione a oggetti. I principali tipi di oggetto che possono essere creati in R sono: Vettori Matrici Array Liste Data Frames

10. Tipologie elementari dei dati: Logici > x <- T > y <- F > x; y [1] TRUE [1] FALSE Numerici > x <- 4; y <- sqrt(7) > a; b [1] 4 [1] 2.645751 Numeric, Integer, Complex • Stringhe • > x <- "string" • > y <- “x"; z <- x • > x; y; z • [1] "string" • [1] “x" • [1] "string" • Fattori:I fattori possono assumere solo valori discreti, definiti come livelli. Es: dati qualitativi o dati ordinali • > vProv <- c("BO", "BO", "FC", "RA", "FC") • > vProv • [1] "BO" "BO" "FC" "RA" "FC” • > fProv <- factor(vProv) • > fProv • [1] BO BO FC RA FC FC RA • Levels: BO FC RA • > summary(fProv) • BO FC RA > x <- "1"; y <- 1 > x; y [1] "1" [1] 1

11. Un vettore di dimensione n può essere definito come una sequenza ordinata di n elementi dello stesso tipo Assegnazione: > x<-7 > x [1] 7 > y <- c(2,7,4,1) > y [1] 2 7 4 1 Un vettore può anche contenere valori logici o caratteri nomi <- c("Alberto","Laura","Mario","Ugo","Martina","Andrea") z <- c(TRUE,TRUE,FALSE,TRUE) È possibile definire un dato mancante all’interno del vettore con NA Y <- c(3, 6, 2, NA) VETTORI

12. > x <- c(2,3,4) > y <- c(5,6,7) > x*y [1] 10 18 28 > x+y [1] 7 9 11 > x-y [1] -3 -3 -3 > x+y-3 [1] 4 6 8 > x>y [1] FALSE FALSE FALSE > x <- c(-1, 2, 3, 4) > length (x) [1] 4 > max (x) [1] 4 > min(x) [1] -1 > sum (x) [1] 8 > prod(x) [1] -24 > mean(x) [1] 2 > sqrt(x) [1] NaN 1.414 1.732 2.000 Operazioni con i vettori:

13. > z <- seq(-3,8,2) > z [1] -3 -1 1 3 5 7 > y <- seq(1,8) > y [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 > x <-1:8 > x [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 Il comando 1: 8 è equivalente al comando seq(1,8) solo che questa seconda versione offre in più la possibilità di specificare il passo della successione: > x <- seq(-3,8) > x [1] -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Se vogliamo accedere al terzo elemento del vettore x scriveremo: > x[3] [1] -1 Indicizzazione:

14. Un altro comando utile per cercare elementi all’interno di un vettore è which. Se, ad esempioo, vogliamo sapere quali sono gli indici corrispondenti agli elementi del vettore x minori di 2, scriveremo: > which (x<2) [1] 1 2 3 4 5 oppure quelli compresi tra -1 e 5: > which ((x>=-1) &(x<5)) [1] 3 4 5 6 7 8 o quelli più grandi di 1 o più piccoli di -2: > which ((x < -2)|(x>1)) [1] 1 6 7 8 9 10 11 12

15. MATRICI > sum(A) [1] 81 > length(A) [1] 6 > nrow(A) [1] 3 > ncol(A) [1] 2 Una matrice e un insieme di elementi dello stesso tipo con due dimensioni. Il comando per generare una matrice è: A <- matrix(x, nrow = n, ncol = m, byrow = ...) dove: • x è un vettore di dati; • nrow e ncol sono, rispettivamente il numero di righe e di colonne • byrow e un operatore logico. Di default e FALSE, per cui la matrice viene costruita per colonna > A <- matrix (11:16, 3,2) > A [,1] [,2] [1,] 11 14 [2,] 12 15 [3,] 13 16 Matrice trasposta > t(A) [,1] [,2] [,3] [1,] 11 12 13 [2,] 14 15 16

16. Una matrice può anche essere generata unendo più vettori o matrici. I comandi cbind e rbind, rispettivamente, generano una matrice unendo ivettori (le matrici) per colonna e per riga. > x <- c(1, 2, 3, 4) > y <- c(2, 1, 4, 5) > cbind(x,y) x y [1,] 1 2 [2,] 2 1 [3,] 3 4 [4,] 4 5 > rbind(x,y) [,1] [,2] [,3] [,4] x 1 2 3 4 y 2 1 4 5 Le matrici possono essere numeriche, di stringhe di caratteri o logiche

17. Indicizzazione: > A [,1] [,2] [1,] 11 14 [2,] 12 15 [3,] 13 16 Voglio selezionare solo alcuni elementi di interesse dalla matrice A: > A[1,2] [1] 14 (Ho selezionato l’elemento della prima riga e seconda colonna) > A[1,] [1] 11 14 (Ho selezionato tutti gli elementi della prima riga) > A[,2] [1] 14 15 16 (Ho selezionato tutti gli elementi della seconda colonna) > A==11 [,1] [,2] [1,] TRUE FALSE [2,] FALSE FALSE [3,] FALSE FALSE (Ho creato una matrice logica)

18. Operazioni con le matrici: > x <- matrix (4, 2, 3) > x [,1] [,2] [,3] [1,] 4 4 4 [2,] 4 4 4 Come per i vettori, anche per le matrici le operazioni aritmetiche e di confronto vengono eseguite elemento per elemento > x+y [,1] [,2] [,3] [1,] 5 7 9 [2,] 6 8 10 > x*y [,1] [,2] [,3] [1,] 4 12 20 [2,] 8 16 24 N.B.: Per le operazioni elementari le matrici debbono avere le stesse dimensioni > y <- matrix (1:6, ncol=3) > y [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 5 [2,] 2 4 6 > x-y [,1] [,2] [,3] [1,] 3 1 -1 [2,] 2 0 -2 > x/y [,1] [,2] [,3] [1,] 4 1.333333 0.8000000 [2,] 2 1.000000 0.6666667

19. > X <- matrix(4:13, ncol=2) > y <- matrix(1:6, nrow=2) > x %*% y [,1] [,2] [,3] [1,] 22 48 74 [2,] 25 55 85 [3,] 28 62 96 [4,] 31 69 107 [5,] 34 76 118(ho effettuato il prodotto tra due matrici) > z <- t(x) %*% x > z [,1] [,2] [1,] 190 340 [2,] 340 615 solve(z) [,1] [,2] [1,] 0.492 -0.272 [2,] -0.272 0.152il comando solve(z) consente di calcolare l’inversa di una matrice quadrata non singolare

20. Assegnare nomi a righe e colonne: È possibile assegnare un nome alle righe ed alle colonne di una matrice con i comandi: rownames(), colnames(), dimnames() > y [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 5 [2,] 2 4 6 > rownames(y) <- c("peso", "altezza") > y [,1] [,2] [,3] peso 1 3 5 altezza 2 4 6 > colnames (y) <- c("a", "b", "c") > y a b c peso 1 3 5 altezza 2 4 6

21. ARRAY Così come le matrici possono intendersi come estensioni dei vettori, gli array costituiscono una estensione delle matrici. Sono necessari tre indici per definire un array > z <- array(1:16,dim=c(2,3,2)) > z In questo caso z è composto da 2 matrici 2x3 , , 1 [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 5 [2,] 2 4 6Questa è la prima matrice , , 2 [,1] [,2] [,3] [1,] 7 9 11 [2,] 8 10 12Questa è la seconda matrice

22. Indicizzazione: Estrazione dell’elemento sulla prima riga e terza colonna della prima matrice: > z[1,3,1] [1] 5 Estrazione di tutti gli elementi della seconda colonna della seconda matrice: > z[,2,2] [1] 9 10

23. LISTE Una lista è un contenitoregenerico in cui è possibileinserirevettori di vario tipo. > lista <- list(1:3, "pippo", matrix(1:4,2)) > lista [[1]] [1] 1 2 3 [[2]] [1] "pippo" [[3]] [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 2 4 Ho creato una lista di 3 elementi di tipo diverso

24. Indicizzazione: Glielementi di una lista si estraggono con le doppieparentesiquadre [[..]] Glielementi di una lista possonoessereidentificati con nomiunivoci Se un elemento di una lista ha un nome, puòessereindicato con la sintassi: nomelista$nomeelemento > lista <- list(primo=1:3, secondo="pippo", terzo=matrix(1:4,2)) > lista[["terzo"]] [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 2 4 > lista$quarto <- 0 > names(lista) [1] "primo" "secondo" "terzo" "quarto" > lista$terzo [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 2 4

25. Matrici e array possono essere nominati facendo uso di liste: Se consideriamo una matrice, può essere utile assegnare dei nomi alle righe e alle colonne; questa operazione viene effettuata utilizzando liste di nomi in cui ciascuna componente si riferisce ad una dimensione: > A <- matrix (1:20, nrow=4) > dimnames(A)<-list(c("PRIMO","SECONDO", "TERZO", "QUARTO"),NULL) > A [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] PRIMO 1 5 9 13 17 SECONDO 2 6 10 14 18 TERZO 3 7 11 15 19 QUARTO 4 8 12 16 20 In questo modo vengonoassegnati i nomisoltantoallerighe

26. DATA-FRAME I data-frame sono delle matrici in cui le colonne possono essere di natura differente È un oggetto di particolare importanza in un’ottica di gestione e analisi dei dati. Il data frame rappresenta infatti la matrice dei dati in cui ad ogni riga corrisponde una osservazione e ad ogni colonna una variabile Viene trattato come una lista ed ogni elemento di tale lista rappresenta una variabile statistica Il comando per generare un data frame è data.frame

27. Voglio creare un dataframe con una variabile `quantitativa' ed una qualitativa': > D <-data.frame(eta=21:24, sesso=c("M","F","F","M")) > D eta sesso 1 21 M 2 22 F 3 23 F 4 24 M > dim(D) indica la `dimensione' (numero dei casi e di variabili) [1] 4 2 > D$altezza <- c(175, 164, 170, 182) > D eta sesso altezza 1 21 M 175 2 22 F 164 3 23 F 170 4 24 M 182 Ho aggiunto una variabile di nome altezza

28. Nelle applicazioni µe spesso utile selezionare soltanto una parte del dataframe iniziale: > D[D$sesso=="M","eta"] [1] 21 24 seleziona i valori della variabile eta per i maschi: > D$sesso[D$eta<=23] [1] M F Fseleziona i valori della variabile sesso per cui eta<=23: Levels: F M > D$altezza[D$eta<=25 & D$eta>23] [1] 182 seleziona i valori di "altezza" se eta<=25 e eta>23 Sostanzialmente la condizione di selezione dei record µe un vettore logico (ottenuto combinando altri vettori logici) che quando utilizzato come filtro fa in modo che solo gli elementi in corrispondenza di TRUE vengano selezionati.

29. Costruiamo la matrice voti con 2 colonne contenente interi casuali compresi tra 18 e 30, utilizzando il comando sample: voti <- matrix((sample(18:30,8,replace=TRUE)),nrow=4) E ora creiamo un nuovo data frame: > D <- data.frame(D,Voti=voti) (o, in alternativa: D$Voti <- voti) > D eta sesso altezza Voti.1 Voti.2 1 21 M 175 29 27 2 22 F 164 22 22 3 23 F 170 24 20 4 24 M 182 23 24 > D1 <- data.frame (eta=D$eta, sesso=D$sesso, voti=voti) > D1 eta sesso voti.1 voti.2 1 21 M 29 27 2 22 F 22 22 3 23 F 24 20 4 24 M 23 24

30. Per selezionare parti di un data-frame si può anche utilizzare la funzione subset(), in cui gli argomenti subset e select specificano rispettivamente i casi e le variabili da includere (o escludere). > subset(D,subset=(sesso=="F" & altezza >=170),select=c(Voti.1,Voti.2)) Voti.1 Voti.2 3 24 20 > subset(D,subset=(sesso=="F" & altezza >=170), select=c(-sesso)) eta altezza Voti.1 Voti.2 3 23 170 24 20

31. Per avere una descrizione del data frame si possono usare i comandi str() esummary() > str(D) 'data.frame': 4 obs. of 5 variables: $ eta : int 21 22 23 24 $ sesso : Factor w/ 2 levels "F","M": 2 1 1 2 $ altezza: num 175 164 170 182 $ Voti.1 : int 29 22 24 23 $ Voti.2 : int 27 22 20 24 > summary(D) eta sessoaltezza Voti.1 Voti.2 Min. :21.00 F:2 Min. :164.0 Min. :22.00 Min. :20.00 1st Qu.:21.75 M:2 1st Qu.:168.5 1st Qu.:22.75 1st Qu.:21.50 Median :22.50 Median :172.5 Median :23.50 Median :23.00 Mean :22.50 Mean :172.8 Mean :24.50 Mean :23.25 3rd Qu.:23.25 3rd Qu.:176.8 3rd Qu.:25.25 3rd Qu.:24.75 Max. :24.00 Max. :182.0 Max. :29.00 Max. :27.00

32. Importazione di dati In R è possibileleggeredati da diversiformati: file di testo (txt o csv) S-PLUS, SAS, SPSS, Stata, Systat pagine web databaseesterni N.B.: per importare dati in formatidiversi da quello testo è necessario usare appositipacchetti. Informazionidettagliate si possono trovare nelmanuale “Data Import/Export”, accessibile da menu File di testo: Uno deiformatipiùsemplici contiene i nominella prima riga, ed i datinellerighesuccessive, con i campiseparati da spazi: X <- read.table(file="c:/documenti/salary.txt“, header=TRUE) A volte le colonne sono separate da tabulazioni o virgole: X <- read.table(file="c:/documenti/salary.txt“, header=TRUE, sep=“,”)

33. Opzioni del comando read.table() il percorso del file viene scritto come negli ambienti Unix (o Linux) con /, oppure con \\; l'argomento header=TRUE specifica che la prima linea del file contiene i nomi delle variabili; l'argomento sep="\t" indica che i diversi campi sono separati da un tab. Avremmo potuto specificare sep="," nel caso di una virgola e così via; l'argomento na.strings="NA" può essere particolarmente utile se nel file sono presenti valori mancanti, in questo caso individuati con NA; l'argomento dec="." specifica il tipo di carattere utilizzato nel file per separare i decimali, in questo caso un punto È possibile importare direttamente anche file in formato .csv (creati ad esempio da Excel). Il comando da utilizzare è read.csv(), che ha una sintassi simile a quella appena vista.

34. I Pacchetti Molte funzioni di R vivono in ”pacchetti” opzionali. Il comandolibrary() carica i pacchetti dalla libreria dei pacchetti: > library(nomepacchetto) In alternativa, dal menù "Pacchetti" si sceglie l'opzione "Carica pacchetto": Si apre una finestra con la lista dei pacchetti già installati tra cui scegliere quale caricare Per installare un pacchetto non presente nella versione di R, dal menù "Pacchetti" si seleziona "Installa pacchetti". Viene quindi mostrato l’elenco dei mirror tra cui selezionare quello da cui scaricare il pacchetto. Dalla lista si seleziona il pacchetto da installare

35. Il pacchetto foreign è nella distribuzione standard di R. Contiene funzioni per gestire l’importazione e l’esportazione dei dati. Più di 1000 pacchetti sono disponibili su http://cran.us.r-project.org (e decine di mirror sparsi per il mondo: il CRAN). Per verificare i pacchetti disponibili si può utilizzare il comando: > .packages(all.available = TRUE) [1] "abind" "acepack" "AER" "akima" [5] "ape" "aplpack" "base" "biglm" [9] "bitops" "boot" "car" "caTools" [13] "chron" "class" "cluster" . . . . . Mentre per elencare i pacchetti caricati utilizzare il comando: > (.packages()) [1] "stats" "graphics" "grDevices" "utils" "datasets" "methods" [7] "base"