Consigli per la risoluzione dei problemi

Consigli per la risoluzione dei problemi • Individuare il punto o i punti materiali di cui si vuole studiare il moto • Introdurre un sistema di riferimento inerziale • Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti materiali • Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare forze • Tener presente che alcune forze agiscono a distanza • Altre agiscono per contatto • Attenzione ai corpi a contatto • Costruirsi il diagramma del corpo libero • Scrivere la seconda legge in forma vettoriale • Ottenere le tre equazioni scalari corrispondenti • Attenzione alla scelta delle direzioni su cui proiettare

Consigli per la risoluzione dei problemi • Utilizzare tutte le ulteriori condizioni presenti nel problema • se due corpi sono connessi da una corda ideale, di lunghezza costante, è possibile scrivere delle relazioni tra i loro spostamenti e quindi tra le loro velocità e le loro accelerazioni. • Se un corpo è fermo (x,y e z costanti), tutte e tre le componenti dell’accelerazione sono nulle. • In alcuni casi solo alcune delle coordinate del punto materiale sono costanti, ne deriva le corrispondenti componenti dell’accelerazione sono nulle. • Se la traiettoria percorsa è curva, cioè non rettilinea, allora la componente normale dell’accelerazione vale (v=modulo della velocità, r raggio di curvatura della traiettoria). • Alcune delle forze possono avere lo stesso modulo: • .Coppia di forze di azione e reazione, in base alla terza legge. • .Forze esercitate su oggetti diversi dallo stesso tratto di corda. • Etc.

Consigli per la risoluzione dei problemi • Determinare le componenti dell’accelerazione • Dedurre dall’accelerazione trovata il moto del punto materiale. • Accelerazione costante: moto uniformemente accelerato • Proporzionale all’opposto della velocità: moto smorzato • Proporzionale all’opposto della posizione:moto armonico • Scrivere le leggi orarie tenendo conto delle condizioni iniziali • Determinare le eventuali forze mancanti.

Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a 90°. Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore qs=30° il corpo inizia a muoversi. Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene costante l'angolo al valore qs=30°, si osserva che il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene rapidamente diminuita e portata al valore qd=25°, il moto risulta essere rettilineo uniforme. Determinare i valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico ms e md tra il piano inclinato e il corpo di massa m e l’accelerazione nel caso in cui l’inclinazione del piano viene mantenuta uguale a qs=30°. Applicazione

Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale. Conviene prendere l’asse y perpendicolare al piano inclinato e l’asse x parallelo al piano in modo che il piano xy sia verticale Fissiamo l’origine nella posizione iniziale del punto materiale. Applicazione N • Determiniamo le forze agenti • La forza peso • La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato • Componente Normale • Forza di attrito Fas P • Possiamo anche predire la direzione e il verso della forza di attrito: • È opposta alla componente della forza peso parallela al piano Costruiamo il diagramma del corpo libero Scriviamo la seconda legge di Newton

Applicazione Scriviamo la seconda legge di Newton Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. N Fas P Per q < qs il corpo rimane fermo: q Si ottiene:

Applicazione Se l’angolo viene mantenuto a qs Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano inclinato N Fas Si ottiene: P q L’accelerazione è costante: il moto sarà uniformemente accelerato Se il piano è liscio, md=0

Applicazione Se l’angolo viene ridotto a qc Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. N Fad P Per q = qc il corpo si muove lungo l’asse x a velocità costante q Si ottiene:

Un punto materiale di massa m=1 kg può muoversi lungo una guida orizzontale rettilinea priva di attrito. Il corpo è attaccato ad una molla di costante elastica k=400 N/m, il secondo estremo della molla è connesso ad una parete verticale, come mostrato in figura. Inizialmente il corpo viene spostato in maniera da allungare la molla di un tratto di 10 cm e lasciato da questa posizione con velocità nulla. Determinare la legge oraria, mostrare che il moto è periodico e determinarne il periodo. Applicazione • Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale. • Conviene prendere l’asse y verticale e l’asse x orizzontale coincidente con l’asse della molla • Scegliamo l’origine nella posizione in cui si trova il punto materiale quando la molla non è deformata • Questo semplifica l’espressione della forza elastica • Determiniamo le forze agenti • La forza peso • La forza elastica • La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato • solo la Componente Normale

Applicazione Scriviamo la seconda legge di Newton Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano orizzontale L’accelerazione lungo l’asse x vale: L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: il moto è un moto armonico. A e j vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali.

Applicazione A e j vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali. Le condizioni iniziali: La soluzione j=0 è l’unica che da un’ampiezza positiva, pari a A=0.1 m. Pulsazione angolare Legge oraria

Un disco di massa m sta al di sopra di un tavolo orizzontale privo di attrito ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attraverso un foro al centro del tavolo, come illustrato in figura. Si determini la velocità del disco lungo la circonferenza di raggio r in grado di mantenere fermo il cilindro. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, r=50 cm. Applicazione Innanzitutto poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. • Determiniamo le forze agenti su ciascuno dei corpi • Corpo di massa m • La forza peso • La tensione della fune • La reazione vincolare esercitata dal piano • solo la Componente Normale • Corpo di massa M • La forza peso • La tensione della fune Il diagramma del corpo libero

Scriviamo la seconda legge di Newton per i due corpi. Applicazione Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Non siamo tenuti a scegliere gli assi coordinati: qualunque direzione noi scegliamo, la relazione tra le componenti lungo la direzione fissata deve essre simile all’equazione vettoriale. Nel caso del corpo di massa m conviene utilizzare le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari: Per il corpo di massa M l’unica equazione non banale è quella lungo l’asse verticale y:

Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva piana di raggio costante r=80 m con una velocità costante di 60 km/h. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote dell’automobile necessario perché l’automobile si mantenga la traiettoria curva. Applicazione Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. • Determiniamo le forze agenti sull’automobile • La forza peso • La reazione vincolare esercitata dalla strada • La Componente Normale • La forza di attrito (statico) • La parte di ruota a contatto con la strada è ferma rispetto alla strada. • Il diagramma del corpo libero

Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile. Applicazione Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Come nel caso precedente utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari: Poiché il modulo della velocità è costante Poiché l’automobile rimane attaccata alla strada La forza di attrito statica necessaria a mantenere l’automobile in traiettoria è: La forza di attrito statico è limitata superiormente Da cui ricaviamo

Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare l’angolo di cui deve essere sopraelevato l’esterno della curva rispetto all’interno perché l’automobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza di attrito. Applicazione Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. • Determiniamo le forze agenti sull’automobile • La forza peso • La reazione vincolare esercitata dalla strada • Solo la Componente Normale • Il diagramma del corpo libero Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.Come nei casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

Applicazione Poiché l’automobile si muove su una traiettoria orizzontale L’accelerazione tangenziale è nulla: Il moto avviene con velocità di modulo costante Dalla prima ottenaimo:

Un corpo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al soffitto del Laboratorio. Determinare il periodo del pendolo nell’ipotesi che esso venga abbandonato da fermo quando l’angolo formato dalla fune con la verticale è di 5°. Si supponga che l’ampiezza delle oscillazioni possa essere considerata piccola. Determinare inoltre il valore della tensione nella fune quando passa per la posizione verticale. Applicazione Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. La posizione del pendolo può essere individuata specificando q • Determiniamo le forze agenti sull’automobile • La forza peso • La Tensione della fune • Il diagramma del corpo libero la seconda legge di Newton vale: v Preliminarmente ricordiamo che in un moto circolare antiorario: q

Applicazione N.B.Per evitare complicazioni limitiamoci a considerare la parte di moto antiorario del pendolo. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.Utilizziamo le direzioni ut ed un mostrate in figura, ed uz perpendicolare ai primi due. un Forza di richiamo, opposta a q ut Poiché az=0 è la velocità iniziale è nulla, possiamo concludere che il moto del pendolo avviene nel piano della figura. Riscrivendo l’accelerazione tangenziale in termini di accelerazione angolare si ottiene: se q è piccolo senq = q L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: il moto è armonico!

Applicazione Equazione differenziale del moto armonico con pulsazione angolare wp data da: La legge oraria è del tipo: un ut • In cui le costanti A e j vanno determinati sulla base delle condizioni inizali. • Miraccomando a non confondere la velocità angolare con cui si muove il pendolo con la pulsazione angolare. • Pur avendo le stesse unità di misura sono completamente diverse: • La pulsazione angolare è una costante • La velocità angolare varia sinusoidalmente. Il pendolo si ferma, w=0, agli estremi dell’oscillazione ed è massima per q=0.

Applicazione Determiniamo le costanti A e j: Ricordiamo le condizioni iniziali: Quindi: La scelta j=0, da una soluzione positiva dell’ampiezza: La legge oraria diventa dunque: un ut Abbiamo già verificato che la legge oraria del moto armonico è periodica con periodo T=

Applicazione Per il calcolo della Tensione riprendiamo l’equazione secondo un: Dove an è uguale a: Per q = 0 la velocità angolare è massima: pari alla sua ampiezza. Pertanto Confrontiamo questa tensione con quella che si ottiene quando il pendolo è fermo in condizioni di equilibrio: un In condizioni di equilibrio T=mg ed è verticale: il filo si dispone lungo la verticale (filo a piombo). Per q=0 la tensione nel caso dinamico è più grande che in quello statico perché essa oltre ad equilibrare il peso deve fornire la forza centripeta necessaria per far percorrere al pendolo una traiettoria circolare!! ut

Una massa M è tenuta in equilibrio da una forza F applicata ad un sistema di pulegge come mostrato in figura. Considerare le pulegge di massa trascurabile e senza attrito trovare la tensione in ciascuna delle sezioni della fune T1, T2,T3,T4,T5 e il modulo di F. Applicazione T4 T1 T3 T2 T2 T3 T5 T5 Mg M • I diagramma del corpo libero con le forze agenti T4 T1 T3 T2 T5 F Per la proprietà delle corde ideali: M Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

Applicazione T4 T1 T3 T2 T2 T3 T5 T5 Mg M • I diagramma del corpo libero con le forze agenti T4 T1 T3 T2 T5 F Per la proprietà delle corde ideali: M

Applicazione T4 T1 T3 T2 T2 T3 T5 T5 Mg M • I diagramma del corpo libero con le forze agenti T4 T1 T3 T2 T5 F M • N.B.: Quando si ha a che fare con carrucole e corde, la tensione della corda va pensata applicata alla carrucola nel punto di tangenza della corda alla carrucola. • Infatti uno può pensare che la parte di corda a contatto della carrucola sia un tutt’uno con la carrucola stessa (la corda non scorre sulla carrucola): ne deriva che il punto di attacco della corda alla carrucola è proprio il punto di tangenza.

Due molle di costante elastica k1=104 N/m e k2=2x104 N/m, rispettivamente, sono collegate come in figura. Una estremità di ciascuna molla è fissato al soffitto mentre le altre sono vincolate ad un corpo di massa m=10kg. Si calcoli l’allungamento delle due molle quando il corpo è in equilibrio. Applicazione Fel1 Fel2 m P

Due molle di costante elastica k1=104 N/m e k2=2x104 N/m, rispettivamente, sono collegate come in figura. L’estremità superiore della prima molla è fissato al soffitto mentre l’estremità inferiore è vincolata ad un corpo di massa m=10kg. Si calcoli l’allungamento di ciascuna molla e quello complessivo quando il corpo è in equilibrio. Applicazione F1s F21 Fm2 Molla 1 Molla 2 m P F12 F2m F1s = forza sulla molla 1 dovuta al soffitto F12 = forza sulla molla 1 dovuta alla molla 2 (il modulo F12=k2Dy2) F21 = forza sulla molla 2 dovuta alla molla 1 (il modulo F21=k1Dy1) F2m = forza sulla molla 2 dovuta al corpo di massa m Fm2 = forza sul corpo di massa m dovuta alla molla 2 F12 =- F21 F2m =- Fm2

Due parallelepipedi di masse m1 ed m2 sono posti uno sopra l’altro. Il coefficiente di attrito tra m1 ed il piano è m1 mentre quello tra i due corpi è m2. Studiare il moto del sistema quando ad m1 è applicata una forza orizzontale. Applicazione N Fa12 N21 m2 F N12 m1 F m2 m1 Fa21 P1 P2

Due blocchi (m=1.0 kg e M = 10 kg) e una molla (k=200 N/m) sono sistemati come in figura su una superficie orizzontale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi è 0.40. Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice per evitare lo slittamento dei due blocchi. Se l'ampiezza del moto è più piccola di quella massima quanto vale il periodo? Scrivere infine l'espressione (in funzione del tempo) della componente verticale e di quella orizzontale della reazione vincolare esercitata dal blocco di massa M su quello di massa m. Applicazione Vedi il problema precedente: sostituire la forza F con la forza elastica!

Due masse, connesse da una corda ideale e priva di massa, passante su di una carrucola assimilabile ad un disco, partono da ferme dalla posizione illustrata in figura. Qual è la loro velocità relativa quando passano l’una di fronte all’altra (stessa quota)? Quanto tempo impiegano i due corpi per raggiungere questa configurazione? Applicazione T1 T2 P1 P2 T1= T2 =T

Una lampada è sospesa ad un filo nella cabina di un ascensore. Si supponga che la cabina stia salendo e, per fermarsi al piano, rallenta con una accelerazione di modulo 2.4 m/s2. Se la tensione nel filo che sostiene la lampada è di 89 N, qual è la massa della lampada? Quale sarà la tensione nel filo quando l'ascensore riparte con una accelerazione di pari modulo, 2.4 m/s2, per raggiungere un piano più in alto? Applicazione T a P v

Una palla viene lanciata contro un muro con la velocità iniziale di 25.0 m/s a un angolo di 40° rispetto al suolo orizzontale come mostrato in figura. Il muro si trova a 22 m dal punto di lancio. • Trascurando la resistenza dell’aria determinare: • quanto tempo la palla rimane in aria prima di colpire la parete. • quali sono le componenti orizzontale e verticale della velocità all’istante in cui la palla colpisce la parete • se nel momento in cui tocca la parete ha già superato il vertice della traiettoria. Applicazione

Un treno di massa 5x105 Kg sta viaggiando orizzontalmente a 60 km/h e sta effettuando una curva il cui raggio di curvatura è 1 km. Allo stesso tempo sta decelerando ed il tasso di decrescita (accelerazione) del modulo della velocità è di 0.1 m/s2. La lunghezza del treno è trascurabile confrontata con le dimensioni della curva ed il treno può essere trattato come un punto. Che forza totale esercitano i binari sul treno? (dare la risposta all'inizio della curva, quando cioè la velocità può essere considerata ancora uguale a 60 km/h). Applicazione R=1 km ut un

Due blocchi, di massa m1=2.3 kg e m2=1.2 kg, sono poggiati su un piano orizzontale privo di attrito come mostrato in figura. Se al corpo di massa m1 viene applicata una forza di intensità pari a F=3.2 N, determinare l'accelerazione dei due blocchi e la forza di contatto tra i due. Determinare le stesse quantità nel caso in cui la forza F viene applicata al blocco di massa m2 e confrontarle con quelle determinate precedentemente. Spiegare le eventuali differenze. Applicazione N1 F N2 m1 N12 m2 N21 P2 P1

Nella figura A e B sono due blocchi rispettivamente di 4.4 kg e 2.6 kg. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra il blocco A e il piano sono rispettivamente 0,18 e 0,15. • Si determini la minima massa del corpo C che impedisce ad A di scivolare. • Improvvisamente il blocco C viene tolto da A. Valutare l'accelerazione di A e la tensione nella corda. Applicazione NCA C C PC N TA TB A NAC B PA PB

I due blocchi della figura, di massa m=16 kg e M=88 kg, non sono collegati tra loro. Il coefficiente di attrito tra i blocchi è ms=0,38, mentre la superficie su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale F necessaria per mantenere m contro M? Applicazione m F M FamM NmM NM NMm FamM F Pm PM

Consigli per la risoluzione dei problemi