1 / 45

Árvore Binária & AVL

Árvore Binária & AVL. Equipe: Felipe Pontes Gustavo Márcio Márcio de Medeiros. Árvore Binária & AVL. Sumário Introdução Conceitos Básicos Algoritmos Árvores Binárias Balanceadas e AVL Aplicações . Introdução. Inserir em Array Ordenado: Achar o Local da inserção: O(log N);

wilson
Download Presentation

Árvore Binária & AVL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Árvore Binária & AVL Equipe: • Felipe Pontes • Gustavo Márcio • Márcio de Medeiros

  2. Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicações

  3. Introdução • Inserir em Array Ordenado: • Achar o Local da inserção: O(log N); • Inserir: Mover os elementos para frente (N/2 movimentos); • Procurar em Lista Encadeada: • Comparar cada elemento da lista: N/2 comparações; • Tempo necessário: O(N); • Solução para os problemas? • SIM!!  ÁRVORE BINÁRIA

  4. Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicações

  5. Conceitos Básicos • Raiz; • Caminho; • Nó; • Folha; • Pai e Filho; • Sub-árvore; • Níveis; • Árvores Binárias.

  6. Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicativos e Aplicações

  7. Algoritmos Inserção Função Insere ( Elemento , Árvore )  Árvore começar se EvaziaArv ( Árvore ) devolver CriarArv (Árvore, NULL, NULL ) senão começar se ( Elemento < No ( Árvore )) devolver CriarArv ( No ( Árvore ), Insere ( Elemento, fe ( Árvore )), fd ( Árvore)) senão devolver CriarArv ( No ( Árvore ), fe ( Árvore ), Insere ( Elemento, fd ( Árvore )) acabar acabar

  8. Algoritmos Deleção Função eliminar (Elemento, Árvore)  Árvore; começar se EvaziaArv ( Árvore ) eliminar = NULL senão começar se No ( Árvore )=x começar se EvaziaArv (fd(a)) eliminar=fe(a) senão se EvaziaArv (fe(a)) eliminar=fd(a) senão eliminar = CriarArv (min(fd(a)),fe(a),eliminar(min(fd(a))),fd(a)) acabar senão começar Se x < No(Árvore) eliminar = CriarArv (no(a),eliminar(x,fe(a),fd(a)); senão elimina = CriarArv (no(a),fe(a),eliminar(x,fd(a)); acabar acabar devolver Árvore acabar

  9. Algoritmos Busca O algoritmo de busca é idêntico ao algoritmo de inserção, com pequenas modificações: Função Busca (Elemento, Árvore)  Árvore começa enquanto (Nó(Árvore) != Elemento) se (Nó (Árvore) = NULL) devolva NULL se (Elemento < Nó (Árvore)) Busca (Elemento, fe(Árvore)) senão começa se (Elemento > Nó(Árvore)) Busca (Elemento, fd(Árvore)) Senão começa se (Elemento = Nó(Árvore)) devolve Nó(Árvore) acaba acaba acaba_enquanto acaba

  10. Algoritmos Percurso - InOrder • O percurso InOrder fará com que todos os nós sejam visitados na ordem ascendente, baseada em seus valores chaves Algoritmo Simplificado • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore esquerda do nó; • Visita o nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore a direita do nó.

  11. Algoritmos Percurso - PreOrder • O percurso PreOrder fará com que todos os nós sejam visitados de modo a gerar uma expressão algebrica prefixa. Algoritmo Simplificado • Visita o nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore esquerda do nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore a direita do nó.

  12. Algoritmos Percurso - PostOrder • O percurso PostOrder fará com que todos os nós sejam visitados de modo a gerar uma expressão algebrica posfixa. Algoritmo Simplificado • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore esquerda do nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore a direita do nó. • Visita o nó;

  13. * + A C B A * (B + C) Infixa: A*(B+C) Posfixa: ABC+* Prefixa: *A+BC

  14. Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicativos e Aplicações

  15. 20 40 10 25 35 50 Árvores Binárias Balanceadas e AVL Inserindo os nós 30, 20, 40, 10, 25, 35 e 50 nesta ordem, teremos: 30

  16. 20 30 40 50 Árvores Binárias Balanceadas e AVL Inserindo os nós 10, 20, 30, 40 e 50 nesta ordem, teremos: 10

  17. Árvores Binárias Balanceadas • Existem ordens de inserção de nós que conservam o balanceamento de uma árvore binária. • Na prática é impossível prever essa ordem ou até alterá-la. • Algoritmos para balanceamentos.

  18. Árvores Binárias Balanceadas • A vantagem de uma árvore balanceada com relação a uma degenerada está em sua eficiência. • Por exemplo: numa árvore binária degenerada de 10.000 nós são necessárias, em média, 5.000 comparações (semelhança com arrays ordenados e listas encadeadas). • Numa árvore balanceada com o mesmo número de nós essa média reduz-se a 14 comparações.

  19. Árvores Binárias Balanceadas • Uma árvore binária balanceada é aquela na qual, para cada nó, as alturas de suas sub-árvores esquerda e direita diferem de, no máximo, 1. • Fator de balanceamento de um nó é a diferença entre a altura da sub-árvore esquerda em relação à sub-árvore direita. FB(p) = altura(sub-árvore esquerda p) - altura(sub-árvore direita p) • Em uma árvore binária balanceada todos os Fatores de Balanceamento de todos os nós estão no intervalo -1 <= FB <= 1

  20. AVL • Algoritmo de balanceamento de árvores binárias. • A origem da denominação AVL vem dos seus criadores: Adel’son-Vel’skii e Landis. • Ano de divulgação: 1962.

  21. AVL • Inicialmente inserimos um novo nó na árvore normalmente. • A inserção deste pode degenerar a árvore. • A restauração do balanceamento é feita através de rotações na árvore no nó “pivô”. • Nó “pivô” é aquele que após a inserção possui Fator de Balanceamento fora do intervalo.

  22. 3 2 1 AVL • Primeiro caso: • FB > 1 (subárvore esquerda maior que subárvore direita) • E a subárvore esquerda desta subárvore esquerda é maior que a subárvore direita dela • Então realizar uma rotação simples para a direita.

  23. 3 2 2 3 1 1 AVL • Primeiro caso:

  24. 1 2 3 AVL • Segundo caso: • FB < -1 (subárvore esquerda menor que subárvore direita) • E a subárvore direita desta subárvore direita é maior que a subárvore esquerda dela • Então realizar uma rotação simples para a esquerda.

  25. 1 2 3 1 2 3 AVL • Segundo caso:

  26. 1 3 2 AVL • Terceiro caso: • FB > 1 (subárvore esquerda maior que subárvore direita) • E a subárvore esquerda desta subárvore esquerda é menor ou igual que a subárvore direita dela • Então realizar uma rotação dupla para a direita.

  27. 2 1 3 1 1 3 3 2 2 AVL • Terceiro caso:

  28. 3 1 2 AVL • Quarto caso: • FB < -1 (subárvore esquerda menor que subárvore direita) • E a subárvore direita desta subárvore direita é menor que a subárvore esquerda dela • Então realizar uma rotação dupla para a esquerda.

  29. 2 3 2 3 1 3 1 1 2 AVL • Quarto caso:

  30. Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicações

  31. Aplicações • Para que servem as Árvores Binárias? • Exemplos de aplicações: • Redes de Comunicação de Dados • Envio de pacotes ordenados e/ou redundantes • Codificação de Huffman • Compressão e Descompressão de arquivos

  32. 1) Redes de Comunicação • A maioria dos protocolos de comunicação fragmenta as mensagens em pacotes que são numerados e enviados através da rede • Não há garantia da chegada em ordem dos pacotes • Perdas de pacotes geram novos envios e estes podem causar duplicatas dos mesmos

  33. Reconstrução da Mensagem • Como reconstruir a mensagem corretamente? • Descartar os pacotes repetidos • Ordenar os pacotes • Como implementar tal algoritmo? • Utilizando Árvores Binárias

  34. P3 P3 P3 P2 P2 P2 P1 P1 P2 P1 P1 Exemplo: R R P1 Ok P2 ? A B P3 Ok R R R Ordem de Chegada: Confirmação de envio: P1 e P3. Reenvio de P2. P3 P1 P2 Problemas: ordens e redundância dos pacotes

  35. Algoritmo • O primeiro pacote é colocado na raiz da árvore. Cada pacote sucessivo é comparado com o da raiz • Se for igual, descarta-se a réplica. Se for menor ou maior, percorre-se os lados esquerdo ou direito da árvore • Sub-árvore vazia implica inserção do novo pacote • Sub-árvore não vazia implica comparação dos pacotes com a mesma

  36. Problemas resolvidos? • Problema da ordenação • A ordenação dos pacotes pode ser feita trivialmente com apenas uma chamada ao método inOrder() da árvore binária • Problema da redundância • Solucionado com o algoritmo de inserção na árvore, visto que o pacote, antes de ser inserido, é comparado com os demais que já se encontram na árvore binária

  37. 2) Codificação de Huffman • Algoritmo utilizado para comprimir arquivos • Todo o algoritmo é baseado na criação de uma Árvore Binária • Programas como Winzip e WinRAR utilizam este algoritmo • Criado por David Huffman em 1952

  38. b c = 2 ASCII (7 bits) Extended ASCII (8 bits) 8 7 2 = 256 caracteres 2 = 128 caracteres Códigos e Caracteres • Caracteres são letras, números e símbolos • Códigos são seqüências de bits que podem representar de maneira ÚNICA um caracter • b bits para representar c caracteres: • Exemplos:

  39. Como comprimir arquivos? • No código ASCII, todos os caracteres têm um número fixo de bits • Números variáveis de bits implica menor capacidade de armazenamento • Associações com bits variáveis podem comprimir consideravelmente o arquivo • Como comprimir arquivos desta maneira? • Utilizando a Codificação de Huffman!

  40. Exemplo: • Freqüências: A = 10; B = 8; C = 6; D = 5; E = 2 • Construção da Árvore Binária • Comparação do número de bits • Tamanho Fixo (8 bits)  Total = 248 bits • Tamanho Variável  Total = 69 bits • Considere o arquivo com o seguinte texto: AAAAAAAAAABBBBBBBBCCCCCCDDDDDEE

  41. Compressão • Depois da geração da árvore, o arquivo é percorrido novamente e cada caracter do arquivo é substituído pelo código binário contido na árvore, gerando uma cadeia de bits • Criação da tabela de caracteres e códigos binários • O que é armazenado? • Cadeia de bits gerada • Tabela de caracteres e códigos

  42. Descompressão • Regeneração da árvore binária através da tabela de caracteres e códigos • A cadeia de bits é percorrida e, à medida que uma sub-cadeia é encontrada na tabela de caracteres e códigos, a mesma é substituída pelo caracter correspondente

  43. Conclusões • As árvores binárias são uma das estruturas de dados mais importantes devido a grande aplicabilidade das mesmas. • A maioria dos algoritmos das árvores binárias são de simples entendimento, facilitando sobremaneira o desenvolvimento de sistemas.

  44. Bibliografia • http://w3.ualg.pt/~hshah/ped/ • http://www.geocities.com/grupotrees/AVL/avl.htm • http://inf.unisinos.br/~anibal/prog2avl.rtf • http://www.inf.unisinos.br/~osorio/lab2/lab2-a09b.pdf • http://www.howtodothings.com/showarticle.asp?article=313 • http://www.ppgia.pucpr.br/~laplima/aulas/materia/arvbin_m.html • Material disponível em http://www.gmmc.kit.net/bd

  45. Dúvidas

More Related