Árvore Binária & AVL

Árvore Binária & AVL Equipe: • Felipe Pontes • Gustavo Márcio • Márcio de Medeiros

Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicações

Introdução • Inserir em Array Ordenado: • Achar o Local da inserção: O(log N); • Inserir: Mover os elementos para frente (N/2 movimentos); • Procurar em Lista Encadeada: • Comparar cada elemento da lista: N/2 comparações; • Tempo necessário: O(N); • Solução para os problemas? • SIM!!  ÁRVORE BINÁRIA

Conceitos Básicos • Raiz; • Caminho; • Nó; • Folha; • Pai e Filho; • Sub-árvore; • Níveis; • Árvores Binárias.

Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicativos e Aplicações

Algoritmos Inserção Função Insere ( Elemento , Árvore )  Árvore começar se EvaziaArv ( Árvore ) devolver CriarArv (Árvore, NULL, NULL ) senão começar se ( Elemento < No ( Árvore )) devolver CriarArv ( No ( Árvore ), Insere ( Elemento, fe ( Árvore )), fd ( Árvore)) senão devolver CriarArv ( No ( Árvore ), fe ( Árvore ), Insere ( Elemento, fd ( Árvore )) acabar acabar

Algoritmos Deleção Função eliminar (Elemento, Árvore)  Árvore; começar se EvaziaArv ( Árvore ) eliminar = NULL senão começar se No ( Árvore )=x começar se EvaziaArv (fd(a)) eliminar=fe(a) senão se EvaziaArv (fe(a)) eliminar=fd(a) senão eliminar = CriarArv (min(fd(a)),fe(a),eliminar(min(fd(a))),fd(a)) acabar senão começar Se x < No(Árvore) eliminar = CriarArv (no(a),eliminar(x,fe(a),fd(a)); senão elimina = CriarArv (no(a),fe(a),eliminar(x,fd(a)); acabar acabar devolver Árvore acabar

Algoritmos Busca O algoritmo de busca é idêntico ao algoritmo de inserção, com pequenas modificações: Função Busca (Elemento, Árvore)  Árvore começa enquanto (Nó(Árvore) != Elemento) se (Nó (Árvore) = NULL) devolva NULL se (Elemento < Nó (Árvore)) Busca (Elemento, fe(Árvore)) senão começa se (Elemento > Nó(Árvore)) Busca (Elemento, fd(Árvore)) Senão começa se (Elemento = Nó(Árvore)) devolve Nó(Árvore) acaba acaba acaba_enquanto acaba

Algoritmos Percurso - InOrder • O percurso InOrder fará com que todos os nós sejam visitados na ordem ascendente, baseada em seus valores chaves Algoritmo Simplificado • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore esquerda do nó; • Visita o nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore a direita do nó.

Algoritmos Percurso - PreOrder • O percurso PreOrder fará com que todos os nós sejam visitados de modo a gerar uma expressão algebrica prefixa. Algoritmo Simplificado • Visita o nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore esquerda do nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore a direita do nó.

Algoritmos Percurso - PostOrder • O percurso PostOrder fará com que todos os nós sejam visitados de modo a gerar uma expressão algebrica posfixa. Algoritmo Simplificado • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore esquerda do nó; • Chama a si mesmo para percorrer a subárvore a direita do nó. • Visita o nó;

* + A C B A * (B + C) Infixa: A*(B+C) Posfixa: ABC+* Prefixa: *A+BC

Árvore Binária & AVL Sumário • Introdução • Conceitos Básicos • Algoritmos • Árvores Binárias Balanceadas e AVL • Aplicativos e Aplicações

20 40 10 25 35 50 Árvores Binárias Balanceadas e AVL Inserindo os nós 30, 20, 40, 10, 25, 35 e 50 nesta ordem, teremos: 30

20 30 40 50 Árvores Binárias Balanceadas e AVL Inserindo os nós 10, 20, 30, 40 e 50 nesta ordem, teremos: 10

Árvores Binárias Balanceadas • Existem ordens de inserção de nós que conservam o balanceamento de uma árvore binária. • Na prática é impossível prever essa ordem ou até alterá-la. • Algoritmos para balanceamentos.

Árvores Binárias Balanceadas • A vantagem de uma árvore balanceada com relação a uma degenerada está em sua eficiência. • Por exemplo: numa árvore binária degenerada de 10.000 nós são necessárias, em média, 5.000 comparações (semelhança com arrays ordenados e listas encadeadas). • Numa árvore balanceada com o mesmo número de nós essa média reduz-se a 14 comparações.

Árvores Binárias Balanceadas • Uma árvore binária balanceada é aquela na qual, para cada nó, as alturas de suas sub-árvores esquerda e direita diferem de, no máximo, 1. • Fator de balanceamento de um nó é a diferença entre a altura da sub-árvore esquerda em relação à sub-árvore direita. FB(p) = altura(sub-árvore esquerda p) - altura(sub-árvore direita p) • Em uma árvore binária balanceada todos os Fatores de Balanceamento de todos os nós estão no intervalo -1 <= FB <= 1

AVL • Algoritmo de balanceamento de árvores binárias. • A origem da denominação AVL vem dos seus criadores: Adel’son-Vel’skii e Landis. • Ano de divulgação: 1962.

AVL • Inicialmente inserimos um novo nó na árvore normalmente. • A inserção deste pode degenerar a árvore. • A restauração do balanceamento é feita através de rotações na árvore no nó “pivô”. • Nó “pivô” é aquele que após a inserção possui Fator de Balanceamento fora do intervalo.

3 2 1 AVL • Primeiro caso: • FB > 1 (subárvore esquerda maior que subárvore direita) • E a subárvore esquerda desta subárvore esquerda é maior que a subárvore direita dela • Então realizar uma rotação simples para a direita.

3 2 2 3 1 1 AVL • Primeiro caso:

1 2 3 AVL • Segundo caso: • FB < -1 (subárvore esquerda menor que subárvore direita) • E a subárvore direita desta subárvore direita é maior que a subárvore esquerda dela • Então realizar uma rotação simples para a esquerda.

1 2 3 1 2 3 AVL • Segundo caso:

1 3 2 AVL • Terceiro caso: • FB > 1 (subárvore esquerda maior que subárvore direita) • E a subárvore esquerda desta subárvore esquerda é menor ou igual que a subárvore direita dela • Então realizar uma rotação dupla para a direita.

2 1 3 1 1 3 3 2 2 AVL • Terceiro caso:

3 1 2 AVL • Quarto caso: • FB < -1 (subárvore esquerda menor que subárvore direita) • E a subárvore direita desta subárvore direita é menor que a subárvore esquerda dela • Então realizar uma rotação dupla para a esquerda.

2 3 2 3 1 3 1 1 2 AVL • Quarto caso:

Aplicações • Para que servem as Árvores Binárias? • Exemplos de aplicações: • Redes de Comunicação de Dados • Envio de pacotes ordenados e/ou redundantes • Codificação de Huffman • Compressão e Descompressão de arquivos

1) Redes de Comunicação • A maioria dos protocolos de comunicação fragmenta as mensagens em pacotes que são numerados e enviados através da rede • Não há garantia da chegada em ordem dos pacotes • Perdas de pacotes geram novos envios e estes podem causar duplicatas dos mesmos

Reconstrução da Mensagem • Como reconstruir a mensagem corretamente? • Descartar os pacotes repetidos • Ordenar os pacotes • Como implementar tal algoritmo? • Utilizando Árvores Binárias

P3 P3 P3 P2 P2 P2 P1 P1 P2 P1 P1 Exemplo: R R P1 Ok P2 ? A B P3 Ok R R R Ordem de Chegada: Confirmação de envio: P1 e P3. Reenvio de P2. P3 P1 P2 Problemas: ordens e redundância dos pacotes

Algoritmo • O primeiro pacote é colocado na raiz da árvore. Cada pacote sucessivo é comparado com o da raiz • Se for igual, descarta-se a réplica. Se for menor ou maior, percorre-se os lados esquerdo ou direito da árvore • Sub-árvore vazia implica inserção do novo pacote • Sub-árvore não vazia implica comparação dos pacotes com a mesma

Problemas resolvidos? • Problema da ordenação • A ordenação dos pacotes pode ser feita trivialmente com apenas uma chamada ao método inOrder() da árvore binária • Problema da redundância • Solucionado com o algoritmo de inserção na árvore, visto que o pacote, antes de ser inserido, é comparado com os demais que já se encontram na árvore binária

2) Codificação de Huffman • Algoritmo utilizado para comprimir arquivos • Todo o algoritmo é baseado na criação de uma Árvore Binária • Programas como Winzip e WinRAR utilizam este algoritmo • Criado por David Huffman em 1952

b c = 2 ASCII (7 bits) Extended ASCII (8 bits) 8 7 2 = 256 caracteres 2 = 128 caracteres Códigos e Caracteres • Caracteres são letras, números e símbolos • Códigos são seqüências de bits que podem representar de maneira ÚNICA um caracter • b bits para representar c caracteres: • Exemplos:

Como comprimir arquivos? • No código ASCII, todos os caracteres têm um número fixo de bits • Números variáveis de bits implica menor capacidade de armazenamento • Associações com bits variáveis podem comprimir consideravelmente o arquivo • Como comprimir arquivos desta maneira? • Utilizando a Codificação de Huffman!

Exemplo: • Freqüências: A = 10; B = 8; C = 6; D = 5; E = 2 • Construção da Árvore Binária • Comparação do número de bits • Tamanho Fixo (8 bits)  Total = 248 bits • Tamanho Variável  Total = 69 bits • Considere o arquivo com o seguinte texto: AAAAAAAAAABBBBBBBBCCCCCCDDDDDEE

Compressão • Depois da geração da árvore, o arquivo é percorrido novamente e cada caracter do arquivo é substituído pelo código binário contido na árvore, gerando uma cadeia de bits • Criação da tabela de caracteres e códigos binários • O que é armazenado? • Cadeia de bits gerada • Tabela de caracteres e códigos

Descompressão • Regeneração da árvore binária através da tabela de caracteres e códigos • A cadeia de bits é percorrida e, à medida que uma sub-cadeia é encontrada na tabela de caracteres e códigos, a mesma é substituída pelo caracter correspondente

Conclusões • As árvores binárias são uma das estruturas de dados mais importantes devido a grande aplicabilidade das mesmas. • A maioria dos algoritmos das árvores binárias são de simples entendimento, facilitando sobremaneira o desenvolvimento de sistemas.

Bibliografia • http://w3.ualg.pt/~hshah/ped/ • http://www.geocities.com/grupotrees/AVL/avl.htm • http://inf.unisinos.br/~anibal/prog2avl.rtf • http://www.inf.unisinos.br/~osorio/lab2/lab2-a09b.pdf • http://www.howtodothings.com/showarticle.asp?article=313 • http://www.ppgia.pucpr.br/~laplima/aulas/materia/arvbin_m.html • Material disponível em http://www.gmmc.kit.net/bd

Dúvidas

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