Projeto utilizando o ambiente computacional Logo.

1. Projeto utilizando o ambiente computacional Logo. Título:A incomensurabilidade da raiz quadrada de 5 no período pré-Euclidiano.

2. Objetivos do projeto: • Este projeto tem como objetivo fazer um resgate histórico, mostrando como foi demonstrada a incomensurabilidade da raiz quadrada de 5 utilizando um algoritmo de divisão conhecido como antifairese; • Além disso, tentaremos expor o que poderá ser explorado atualmente por professores e alunos neste processo.

3. Introdução: • No contexto da tradição matemática clássica grega sobrevivente, números (arithmos) sempre denotam um inteiro positivo; • Naquela época, carpinteiros conseguiam construir triângulos, como o da Figura1, porém eles não conseguiam medir a sua hipotenusa, que seja chamada h.

4. Figura 1: Modelo de um triângulo construído no período pré-euclidiano. h 2 1

5. Idéia inicial: • Apesar de não conseguirem encontrar o valor de h, eles tiveram a idéia de aplicar o algoritmo de antifairese entre o lado do triângulo e sua hipotenusa de modo a encontrar um fator comum C que os medisse, afimde encontrar o valor de h usando-o posteriormente.

6. Observação: • Aqui iremos aplicar o algoritmo de antifairese no lado medindo 1 e na hipotenusa h, vale ressaltar que a demonstração é feita de maneira análoga se aplicássemos o algoritmo no lado medindo 2 e em h.

7. Aplicação do algoritmo: • A antifairese aplicada no lado que mede 1 e na hipotenusa h no gera a seguinte seqüência, que será a base para a construção da figura 2: • h = 2*1 + x; • 1 = 4*x + y; • x = 4*y + z; • ...

8. Figura 2: Antifairese entre o lado medindo 1 e a hipotenusa h. h y y 1 x 1 x

9. Conclusões: • Após aplicar este algoritmo repetidas vezes, nota-se que as grandezas irão decrescer até que possa ser mostrado, usando X,1, que elas se tornam menores que o fator comum C ; • De maneira análoga demonstramos a incomensurabilidade da raiz quadrada de 3,7, 11, 13 e 17.

10. O que podemos explorar deste projeto? • Conceito de áreas; • Comparação de grandezas; • Conceito de divisão; • Construção de triângulos; • Explorar sen, cos e tg; • A importância de se ampliar o conjunto Z .

11. Quanto ao ambiente Logo: • Dentre as diversas utilizações deste ambiente destacamos: • Construção de figuras geométricas; • Algoritmo de repetição; • Fazer analogia para, por exemplo, raiz de 3; • Estimular o raciocínio dos alunos de maneira construtivista.

12. Como foram desenhadas as figuras?? • Neste momento iremos mostrar os programas utilizados no ambiente Logo de modo a se desenhar as figuras exibidas anteriormente:

13. Figura 1: • ap triangulo; • pe 90 pf 50 pd 90 pf 100 pd 153.345 pf 111.80; • Fim.

14. Figura 2: • ap qua1 • Repita 4 [ pf 100 pd 90] • pd 90 pf 100 pe 90 • Fim • ap qua2 • Repita 4[ pf 23.606 pd 90] • pf 23.606 • Fim

15. Figura 2: • ap qua3 • Repita 4 [ pf 5.576 pd 90] • pd 90 pf 5.576 pe 90 • Fim • Ap ret • Repita 2 [ pf 1.302 pd 90 pf 5.576 pd 90 • Fim

16. Figura 2: • ap figura • Repita 2[qua1] • Repita 4[qua2] • Repita 4[qua3] • Ret • fim Voltar