Interval

1. ≤  [  ● <  ‹  ○ Interval opgave 5 ● ○ a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d 3 < x≤ π ‹ 3 , π ] l l -8 3 ○ ● l l 4 4½ ● ● l l 5,1 7,3 ○ ● l l 3 π 4.1

2. Intervallen met oneindig ● ax≤ 4½ l ‹  , 4½ ] 4½ ○ bx > -8 l ‹ -8 , › -8 4.1

3. Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging afnemende stijging constante daling toenemende daling afnemende daling 4.1

4. opgave 7 toenemend stijgend op < -4 , -2 > toenemend dalend op < 1 , 3 > afnemend dalend op < -6 , -4 > 5 -6 -4 -2 toenemend stijgend op < 5 ,  > 1 3 afnemend dalend op < 3 , 5 > afnemend stijgend op < -2 , 1 >

5. opgave 9 C a voer in y1 = x³ - 16x² + 64x neem bijvoorbeeld Xmin = 0 , Xmax = 8 , Ymin = -10 , Ymax = 100 b optie maximum x ≈ 2,67 dus na 2 minuten en 40 seconden c voer in y2 = 20 optie intersect x ≈ 0,3 en x ≈ 6,2 dus in het tijdsinterval < 0,3 ; 6,2 > d Ongeveer bij t = 5 gaat de grafiek over van toenemend dalend naar afnemend dalend. Dus na 5 uur neemt de daling af. 0,67 × 60 = 40 seconden 20 0 t 0,3 2,67 6,2 5

6. Toenamendiagram • De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een • toenamendiagram • 1. kies een stapgrootte • 2. bereken voor elke stap de toename of afname • 3. teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname • 4. teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 4.2

7. opgave 11a . ∆x = 1 [-1,0] [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] 4 2 0,5 -0,5 2 ∆y . . y 4 . 3 . 2 1 x Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. -1 0 1 2 3 4 -1 4.2

8. . . . opgave 15a y . . Er zijn meerdere grafieken mogelijk. . . . x 0

9. opgave 19 +3 a Op [0,24] is ∆T = -2 -2,5 +1 +3 +2,5 -0,5 -1,5 -2 = -2 Mieke heeft gelijk. b Op [12,21] is ∆T = 2,5 -0,5 -1,5 = 0,5 dus om 21.00 uur is T = 20 + 0,5 T = 20,5°C. Op [0,12] is ∆T = -2 -2,5 +1 +3 = -0,5°C. dus om 0.00 uur is T = 20 + 0,5 T = 20,5°C. +2,5 +1 om 12 uur is het 20°C. -0,5 -1,5 -2 -2 -2,5 van 0.00-12.00 uur is het 0,5°C. gedaald

10. . . opgave 19c T . . 23 . om 0.00 uur is het 20,5°C. -0,5 22 +2,5 -1,5 . . 21 20 . -2 -2 19 . +3 18 -2,5 17 +1 16 t 3 6 9 12 15 18 21 24 0

11. . . opgave 21 ∆y 3 m.b.v. GR kun je voor elke stapgrootte een tabel met x, y en ∆y opstellen om een toenamendiagram te tekenen. 2 . y = -x² + 2x + 4 1 x y ∆y -1 1 x 0 1 2 3 4 5 . 0 4 3 -1 1 5 1 -2 2 4 -1 . 3 1 -3 -3 4 -4 -5 -4 5 -11 -7 -5 -7

12. Gemiddelde verandering per tijdseenheid • De gemiddelde verandering van N per tijdseenheid is • ∆N : ∆t • Bij een tijd-afstand grafiek is • ∆s : ∆t de gemiddelde snelheid. 4.3

13. opgave 25 a ∆N op het interval [10,14] ∆N = 2356 – 1993 = 363 ∆t = 14 – 10 = 4 ∆N : ∆t = 363 : 4 = 90,75 b gemiddelde toename op [2,8] ∆N = 1646 – 462 = 1184 ∆t = 8 – 2 = 6 ∆N : ∆t = 1184 : 6 ≈ 197 c Op het interval [2,8] is de grafiek steiler dan op het interval [10,14]. d Op het interval [4,8] het grootst daar is de grafiek het steilst. Op het interval [10,20] het kleinst daar is de grafiek het minst steil. t N 0 250 2 462 2 462 4 791 197 6 1214 8 1646 8 1646 10 1993 10 1993 90,75 12 2223 14 2356 14 2356 16 2427 18 2464 20 2482

14. herhaling Hoofdstuk 1 rechts ∆x y omhoog ∆y · B yB yB – yA= ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x 0 xA xB x xB – xA= ∆x 4.3

15. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y . B f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆x b xB differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA,xB] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 4.3

16. opgave 28 ∆K K(b) – K(a)∆P P(b) – P(a) = a Gemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = -4 - -6 = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 Gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = 2 - -2 = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 b Differentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = 0 - -5 = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = 2 - -5 = 7 ∆K : ∆P = 2/7 12 6 6 6 4 4 0 -6 -5 -5 -4 -2 0 2 2

17. opgave 33 y a Voer in y1 = x³ - 3x + 5 b Gemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 c Differentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = 4 - -2 = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 d Hellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16 ∆x = 1 - -3 = 4 ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4 f x 0

18. Snelheid bij een tijd-afstand grafiek Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval. [a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 4.3

19. opgave 35 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 3 op [3 ; 3,01] ∆s 0,4 · 3,01² - 0,4 · 3² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 3 is 2,40 m/s = 2,404 = s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 5 op [5 ; 5,01] ∆s 0,4 · 5,01² - 0,4 · 5² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 5 is 4,00 m/s = 4,004 =

20. . opgave 38 . Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . . tijd-afstand grafiek s = -t² + 10t a De gemiddelde snelheid op [2,5] ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. s 25 B2 B1 B3 = = 3 m/s 20 B4 = = 4 m/s A 15 = 5 m/s = Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k = 5,5 m/s = De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. 5 t 0 1 2 3 4 5 4.4

21. dy/dx voor x is xA y Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : k [ ] de GR bezit een optie om dydx te berekenen dy dx A x = xA • rc. van de raaklijn van de grafiek in A • helling van de grafiek in A • snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 4.4

22. opgave 41 190 at = 6 De raaklijn valt samen met de grafiek op het interval [2,10]. De raaklijn gaat door de punten (2, 80) en (10, 120). groeisnelheid is ∆l 120 – 80 ∆t 10 – 2 b De raaklijn gaat door de punten (12, 140) en (16, 190). groeisnelheid is ∆l 190 – 140 ∆t 16 - 12 140 120 = 5 cm/jaar = 80 = 12,5 cm/jaar =

23. . opgave 41 c Gemiddelde groeisnelheid van 0-18 jaar = (180-50) : 18 ≈ 7,2 cm/jaar d Teken de lijn door de punten (0, 50) en (18, 180). Deze lijn hoort bij de gemiddelde groeisnelheid van 0 tot 18 jaar. Verschuif deze lijn evenwijdig je vindt 3 raaklijnen die evenwijdig met k zijn : t ≈ 1,5 t ≈ 15 t ≈ 11 Dus bij de leeftijden van 1,5 , 11 en 15 jaar is de groeisnelheid van Lotte gelijk aan 12,5 cm/jaar. . 1,5 11 15

24. opgave 43 Voer in y1 = x² + x – 2 stel k : y = ax + b met a = = -1 dus k : y = -x + b f(-1) = -2 dus A(-1, -2) -2 = - -1 + b -2 = 1 + b -3 = b k : y = -x - 3 [ ] dy dx x = -1

25. . opgave 48 200x² + 1200x + 450 4x² + 9 a Voer in y1 = optie maximum top (1,5; 150) De inspanning duurde 1,5 minuut en de max.hartslagfrequentie is 150 slagen per minuut. b Voer in y2 = 120 optie intersect x ≈ 3,67 Het duurt 3,67 – 1,5 = 2,17 minuten ≈ 130 seconden ≈ -13,6 De hartslag neemt af met 14 slagen per minuut . F (1,5; 150) 150 120 0,17 x 60 ≈ 10 seconden t [ ] 3,67 O 1,5 dF dt x = 3,67