Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 5: Matrizes (2)

1. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 5: Matrizes (2)

2. Determinante (1) • Seja uma matriz quadrada A, então pode-se estabelecer seu determinante, que é um escalar denotado por |A| e é definido como se segue, • Onde o elemento é o j-ésimo elemento da i-ésima linha e |Aij| é a matriz obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. (i = 1). • Obs.: Pode-se eliminar qualquer linha.

3. Determinante (2) • Exemplo 1: Seja a matriz A ao lado. • Eliminando-se a primeira linha.

4. Determinante (3) • Há alguns casos especiais de cálculo de determinantes. • Matriz A de ordem 2. • Exemplo 2: Cálculo do |A|.

5. Determinante (4) • Matriz A de ordem 3: • Exemplo 3: Cálculo do |A|.

6. Determinante (5) • Sintetizando, • Determinante de uma Matriz A de ordem 2. • Determinante de uma Matriz A de ordem 3.

7. Operações Elementares em Linhas (1) • Há três operações elementares realizadas nas linhas de uma matriz. • Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha (Li ⇔ Lj) • Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (Li ⇒ k.Li)

8. Operações Elementares em Linhas (2) • Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li ⇒ Li + k.Lj) • Matrizes Equivalentes: • Dadas duas matrizes A e B, de ordem m x n, diz-se que B é linha equivalente a A, se B é obtida de A por meio de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, e denota-se isso por A ⇒ B ou A ∼ B.

9. Operações Elementares em Linhas (3) • Seja A uma matriz m x n. Diz-se que a matriz A está em Forma de Escada (ou em Escada de Linhas) se, para cada linha da matriz se verifica: • Caso 1 – Se a linha i é nula • Então para todo r > i, a linha r é nula; e • Caso 2 – Se a linha i não é nula • Então se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i (chamado de pivot) então para todo l > i e para todo c ≤ s, alc = 0. • A matriz A está na Forma Condensada (ou em Escada de Linhas Reduzida) se está em forma de escada e para cada linha i • O pivot é a identidade; e • Se ais é o pivot, então para todo l < i, als = 0.

10. Operações Elementares em Linhas (4) • Exemplo 4: A matriz apresentada a seguir está em forma de escada. • Exemplo 5: A matriz apresentada a seguir está em forma condensada.

11. Operações Elementares em Linhas (5) • Propriedade de uma matriz qualquer: • Toda matriz pode ser transformada, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada ou em uma matriz condensada. • Exemplo 6: Transformação para a forma condensada.

12. Matriz Inversa (1) • Se |A| = 0, denomina-se a matriz A de Matriz Singular. Caso contrário, ela é chamada de Matriz Não Singular. • Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular, como apresentada a seguir. • Há uma matriz A-1, chamada de Matriz Inversa de A, de tal forma que AA-1 =A-1A = In, onde Iné a Matriz Identidade de ordem n.

13. Matriz Inversa (2) • Exemplo 7: Seja as matrizes A e A-1, dadas a seguir. • Então tem-se que

14. Matriz Inversa (3) • Caso Especial: Inversa de uma matriz A de ordem 2. • Exemplo 8: Seja a matriz A dada a seguir. Encontrar A-1.

15. Matriz Inversa (4) • Exemplo 9: Achar a inversa de matriz A de ordem 3, apresentada a seguir. • Pode-se achar a inversa dessa matriz fazendo-se uso da seguinte informação: • Uma matriz A de ordem n é inversível se e somente se A é linha equivalente a I (matriz identidade) e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma A em I também transforma I em A-1. • Caso se posicione as matrizes A e I lado a lado, formando a matriz [AI] então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e I. Ou existem operações elementares que transformam A em I e I em A-1 ou, a matriz A não é inversível.

16. Matriz Inversa (5) • O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito, como se segue, • O objetivo agora é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. • 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1. • Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda, como se segue. E os elementos  a12  e  a13  tornaram-se nulos.

17. Matriz Inversa (6) • Fazer as próximas operações: • 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1. • 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2. • Com as operações acima, os elementos a12  e  a13 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária. • 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3. • Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade.

18. Matriz Inversa (7) • Fazer as próximas operações: • 3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1. • Multiplicação executada para fazer 1 no elemento a12 da matriz esquerda. • 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1. • Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo.

19. Matriz Inversa (8) • Finalmente, •  a matriz inversa é a parte da direita da matriz [I A-1]

20. Matriz Inversa (9) • Há algumas propriedades especiais para matrizes inversas (as matrizes A, B e C são tais que as suas inversas existam e os produtos sejam definidos). • (A−1)T = (AT)−1 • (AB)−1 = A−1 + B−1 • Se a inversa de uma matriz A existe, então |A| = 0.

21. Matriz Ortogonal (1) • Uma matriz quadrada A é denominada ser uma Matriz Ortogonal se suas linhas, consideradas como vetores, são mutuamente perpendiculares e de comprimento 1, o que equivale a dizer que AAT = I. • Exemplo 10: Seja a matriz A apresentada a seguir. Ela é uma matriz ortogonal. • Obs.: • Uma matriz A é ortogonal, se e somente se, AT = A−1.

22. Matriz Ortogonal (2) • Exercício 1: Seja a matriz A apresentada a seguir. Mostrar que ela é uma matriz ortogonal. Lembrar que uma matriz ortogonal, AAT = I.

23. Rank de Matriz (1) • O rank (posto) de uma matriz A de ordem m x n é fornecido pelo número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes (LI) da matriz A. • Exemplo 11: Seja a matriz A apresentada a seguir. • Neste exemplo, todas as colunas ou linhas da matriz A são linearmente independentes (LI).

24. Rank de Matriz (2) • Exemplo 12: Seja a matriz B apresentada a seguir. • Neste exemplo, a primeira coluna da matriz B é uma combinação linear das demais, ou seja, essa coluna não é linearmente independentes (LI).

25. Rank de Matriz (3) • Uma outra forma de se determinar o rank de uma matriz A é contabilizar o número de linhas nulas que se obtém a partir de uma nova matriz B em forma de escada que possa ser obtida a partir de A por meio de operações elementares. • Exemplo 13: A matriz apresentada a seguir tem rank = 2, pois está em forma de escada e tem duas linhas não nulas.

26. Rank de Matriz (4) • Exemplo 14: Determinar o rank da matriz A apresentada a seguir. • Para contabilizar o rank, da matriz A, deve-se transforma-la, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Faz-se então as seguintes operações: • L2 ⇒ L2 + L1 ⇒ (1/2)(L2 + L1) • L3 ⇒ L3 + (-1)L1

27. Rank de Matriz (5) • Na matriz B faz-se então as seguintes operações: • L1 ⇒ L1 + (-2)L2, L3 ⇒ (1/8)L3 • L1 ⇒ L1 + 3L3, L2 ⇒ L2 + (-2)L3 • Obtém-se então 3 linhas não nulas. • Logo, o rank da matriz A é 3.

28. Traço de Matriz (1) • Seja uma matriz quadrada A de ordem k, então pode-se definir o traço de A, denotado por tr(A), como sendo dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal. • Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. )

29. Traço de Matriz (2) • Há algumas propriedades envolvendo o traço de uma matriz. • Propriedades: Seja  um escalar, A e B matrizes, então • tr(A) = tr(A); • tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B); • tr(AB) = tr(BA); • tr(B−1AB) = tr(A); e • tr(AA′) = .