Mecânica Quântica: Função de Onda

1. Mecânica Quântica: Função de Onda • Partícula: meio partícula…meio onda… Teorema de Fourier: representar a partícula como uma superposição de muitas ondas. Somando quantidades variáveis de um infinito número de ondas Expressão senoidal para harmônicos Função de onda do elétron Amplitude da onda com número de onda k=2p/l

2. Probabilidade de encontrar um elétron entre x and x+dx 2 Y(x,t) dx Função de Onda Grande número de eventos: Comportamento estatístico Assumindo que a partícula exista, em qualquer instante ela se encontra em algum lugar: Procurando bem… Você vai encontrar sua partícula uma única vez

3. Função de Onda • Função clássica típica para uma partícula que se propaga na direção +x: • Analogamente, para a partícula que se propaga na direção –x: • Sabemos ainda que se 1 e 2 são ambas permitidas, 1 + 2 também será (Princípio da superposição) partícula desaparece para múltiplos inteiros de p/2, 2p/3, etc.

4. f -f x Função de Onda • Considere outra função clássica típica • Trocando k -k e   -:

5. Função de Onda • Representação gráfica de um número complexo z como um ponto no plano complexo. • As componentes horizontal e vertical representam as partes real e imaginária respectivamente.

6. Função de Onda • Partícula: meio partícula…meio onda… A partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que: • Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula • É uma função complexa • É unívoca, finita e contínua • Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas

7. Função de Onda: Probabilidades (Max Born 1926 - Nobel 1954) Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx. Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade… “Einstein, pare de dizer a Deus o que fazer” (Niels Bohr) “Deus não joga dados com o universo” (A. Einstein)

8. Função de Onda: Probabilidades (Max Born 1926 - Nobel 1954)

9. V(x,t): energia potencial e, se V(x)  A Equação de Schrödinger (Nobel 1933) Eq. Schrödinger independente do tempo:

10. Relação de dispersão  (k)  k Exemplo: partícula livre (V=0)

11. 3 3 4 4 Observável: valor esperado • Valor esperado: resultado que se espera encontrar para a média de muitas medidas de uma certa quantidade. • Observável: qualquer quantidade mensurável para a qual podemos calcular o valor esperado (posição, momento, energia…) • Valor esperado de um observável: REAL • Valor médio de uma variável discreta x:

12. Observável: valor esperado • Variável discreta  variável contínua • Probabilidade P(x,t) de observar a partícula em um certo valor de x • Função de onda  valor esperado de x: < x > • Valor esperado de uma função qualquer g(x) para uma função de onda normalizada: < g >

13. Logo: • Podemos associar ao momento um operador: • Valor esperado de p: Valor esperado e Operadores • Valor esperado do momento: necessário representar o momento p como função de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma partícula livre (V=0) com respeito à x:

14. Podemos associar à energia um operador: • Valor esperado de E : Valor esperado e Operadores: Posição e Energia • A posiçao x é seu próprio operador. • Considere a derivada temporal da função de onda de uma partícula livre: • Logo:

15. Operadores • A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda. Energia cinética + potencial = energia total energia cinética o potencial observável operador

16. Operadores, autofunção e autovalor • Quando aplicamos um operador a  e obtemos de volta a própria  multiplicada por uma constante, diz-se que  é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. • Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física associada tem valor bem definido, com incerteza nula. • Assim, a  da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.

17. A  da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ. Operadores, autofunção e autovalor

18. expressão para energia cinética Energia cinética + potencial = energia total o potencial Operadores e a Eq. Schrödinger

19. E k Partícula Livre • Momento bem determinado: posição desconhecida • Qualquer energia positiva é permitida (E varia de forma contínua)

20. V   Região proibida Região proibida 0 L x Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito

21. n : número quântico n = 4 Região proibida Região proibida n = 3 n = 2 n = 1   V E3 E2 E1 x 0 L Poço de potencial infinito

22. Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito • Condições de contorno: =0 parax = 0 e x = L. • Soluções válidas para kL = nπ onde n=inteiro. • Função de onda: • Normalizando: • Idênticas à corda vibrante com extremos fixos.

23. Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito • Número de onda quantizado: • Resolvendo para a Energia: • Energia depende dos valores de n; • Energias quantizadas e não nulas • Energia do estado fundamental:n = 1 • Probabilidade de observar a partícula entre xex+x em cada estado :

24. Região proibida Região proibida 100% - P P < 100 % Barreira de Potencial V   x 0 L P = 100 % Barreira

25. V V0 E < V0 E 1 2 x 0 Potencial degrau

26. Encontrar B, C e D em termos de A • Função de onda e suas derivadas: • Finitas • Contínuas

27. V  (x) Existe uma probabilidade de encontrar o elétron na região classicamente proibida V0 x 0 Barreira de potencial e Efeito Túnel incidente Se a barreira for suficientemente pequena (largura a) o elétron poderá ser transmitido (tunelar) com uma certa probabilidade: EFEITO TÚNEL V refletido  (x) transmitido x a 0 Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html

28. Barreira e Tunelamento: • Partícula com energia Eincide sobre uma barreira de potencial Vo • E > V0 • Região II: • Regiões I e III:

29. Barreira e Tunelamento: • Onda incidente, refletida e transmitida: • Eq. Schrödinger nas 3 regiões: • Soluções: • Onda se move para a direita:

30. Probabilidades de Reflexão e Transmissão • Probabilidade de reflexão R ou transmissão T: • R + T = 1. • Aplicando condições de contorno: x→ ±∞, x = 0 e x = L • T pode ser = 1.

31. Tunelamento • E < V0 • Classicamente a partícula não possui energia para vence a barreira • Existe probabilidade finita da partícula penetrar na barreira e aparecer do outro lado! • Probabilidade de transmissão descreve o fenômeno de tunelamento

32. Função de onda no Tunelamento