polynom proměnné x f  = a n x n  + a n- 1 x n-1  + ……. + a 0

1. polynom proměnné xf =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0 např.: f = 2x5 – 3x2 + 5x + 1

2. f =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0 • akxk  členy • a0 absolutní člen • ak koeficienty • an vedoucí koeficient • n N0 stupeň polynomu

3. normovaný polynom vedoucí koeficient an = 1 f =  xn  + an-1xn-1 +  ……. + a0 např.: f =  x3  +  4x2 – 5

4. konstantní polynom nulový polynom a polynom stupně nula f = 0 f = a0

5. lineární polynom polynom stupně 1 f = a1x + a0 f = 5x + 1

6. kvadratický polynom polynom stupně 2 f = a2x2 + a1x + a0 f = 3x2 + 5x + 1

7. kubickýpolynom polynom stupně 3 f = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 f = 2x3 + 3x2 + 5x + 1

8. uspořádaná n-tice f = (an, an-1, …, a0) f =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0

9. rovnost polynomůf = (an, an-1, …, a0) a g = (bn, bn-1, …, b0) f = gai = bi pro i = 0, 1, …, n

10. součet polynomů f + g f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4 f + g = =2x3 + (3 + 2)x2 + (– 5 + 1)x + 2 – 4 = = 2x3 + 5x2– 4x – 2

11. rozdíl polynomů f – g f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4 f – g = =2x3 + (3 – 2)x2 + (– 5 – 1)x + 2 + 4 = = 2x3 + x2– 6x + 6

12. součin polynomů f.g f  = x – 4 g  = x2 – 5x + 2 f.g = = x.(x2 – 5x + 2) – 4.(x2 – 5x + 2) = = x3 – 5x2+ 2x – 4x2 + 20x – 8 = = x3 – 9x2+ 22x – 8

13. Dělení polynomu f polynomem g st(f) =n st(g) =m Pak existují právě jeden polynom d a právě jeden polynom z takové, že x C platí: f = g.d + z st(z) < st(g) d podíl z  zbytek

14. Dělte polynomy: (2x3 + 3x2 – x + 2) : (x + 3) = 2x2 – 3x + 8 2x3 + 6x2 – 3x2 – x + 2 – 3x2 – 9x 8x + 2 8x + 24 – 22

15. f = g.d + z polynom g 0 dělí polynom fprávě tehdy, když zbytek z je roven nuletedy: f = gd polynom gjedělitelem polynomu f značíme gf

16. Pomocná tvrzení • Polynom gnultého stupně je dělitelem každého polynomu. (2x3 + 3x2 – x + 2) : 4 = ½x3 + ¾x2 – ¼x + ½ • Jestliže gf, f 0, pak st g st f. f = gd st f = st g + st d 0  st g a 0  st d st g st f

17. Pomocná tvrzení • Jestliže hg a gf, pak hf. • Jestliže gf, pak c.gf, kde c je libovolné nenulové číslo.

18. Společný dělitel dvou polynomů Polynom, který dělí dva dané polynomy se nazývá jejich společným dělitelem.

19. Polynom nultého stupně je dělitelem každého polynomu. • Polynom nultého stupněje společným dělitelem libovolných dvou polynomů. • Nesoudělné polynomynemají jižžádného dalšího společného dělitele • Každé dva polynomy mají společného dělitele.

20. Největší společný dělitel • Společný dělitel d polynomůg a f se nazývá jejich největším společným dělitelem právě tehdy, když je dělitelný libovolným společným dělitelem polynomůg a f. • Symbolicky:1.df a dg2.ef a eged

21. Jestliže gf, pak c.gf, kde c je libovolné nenulové číslo. • d= NSD(g,f) c.d= NSD(g,f), kde c  0 • Ten, jehožvedoucí koeficient je 1nazvemeNSD(g, f).

22. Euklidův algoritmusf a g jsou nenulové polynomy f:g = d1(z1) kde st z1< st g g:z1= d2(z2) kde st z2< st z1 z1:z2= d3(z3) kde st z3< st z2 . . . zk-2:zk-1= dk(zk) kde st zk< st zk-1 zk-1:zk= dk+1(0) st g > st z1 > st z2 > …. > 0 zkjeposlední nenulový zbytek, tj. NSD(g, f)

23. Výpočet NSD • pracujeme jenom se zbytky prováděných dělení • je jedno, zda k výpočtu použijeme daný zbytek nebo libovolný jeho nenulový konstantní násobek • můžeme v kterémkoli kroku kteréhokoliv dělení v Euklidově algoritmu násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým číslem • při praktických výpočtech se vyhneme zlomkům, které by komplikovaly výpočet

24. Kořeny polynomu

25. Kořen cCpolynomu f f = anxn+ an-1xn-1 + ……. + a1x + a0f(c) = 0 kořen algebraické rovniceanxn+ an-1xn-1 + ……. + a1x + a0= 0

26. Je c = –1 kořen polynomux4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12? (–1)4 – 2.(–1)3 – 7.(–1)2 + 8.(–1) + 12 = = 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0 Algebraická rovnice x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0má kořen x1 = –1

27. kořen polynomu stupně 1 f = a1x + a0c = –a0/a1 f = 5x + 3 c = –3/5 5x + 3= 0 x = –3/5

28. kořeny polynomu stupně2 f = a2x2+ a1x + a0má v C dva kořeny např.: x2 – 2x – 3 má kořeny x1 = 3a x2 = –1

29. Nejjednodušší příklady kořen nulového polynomuf = 0cC kořen polynomu stupně nulaf = anemá žádný kořen

30. Bézoutova věta Číslo c je kořenem polynomu f = anxn+ an-1xn-1 + ……. + a1x + a0(x–c)f Podíld je polynom stupně n–1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an.

31. f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f (x – 2) (x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) (x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) : (x – 2) = = x5 – 4x4 + x3+ 10x2 – 4x– 8 Podíld je polynom stupně5s vedoucím koeficientem 1

32. Kořenový činitel (x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) = (x – 2).(x5 – 4x4 + x3+ 10x2 – 4x– 8) 2 je kořen polynomu f, x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f.

33. Vícenásobný kořen Číslo c se nazývá k-násobný kořen polynomu f, jestliže • (x–c)k dělí polynom f a • (x–c)k+1 nedělí polynom f. Je-li k = 1, říkáme, že kořen c je jednoduchý.

34. c je k-násobným kořenem polynomu f (x–c)k f f = (x–c)k . g

35. Dělení daného polynomu f polynomem x–c. f = (x–c) . g + f(c) • ověřování, zda c je kořen polynomu f • zjišťování násobnosti kořene c • výpočet zbytku po dělení polynomu f polynomem x – c[je roven f(c)]

36. Hornerovo schéma 1 –4 1 10 –4 –8 0 f = (x – 2).(x5–4x4 + x3+10x2– 4x – 8)

37. Základní věta algebry. Každý polynom f stupně n 1 má alespoň jeden komplexní kořen (tj. buď reálný, nebo imaginární).

38. D´Alembertova věta. Počítáme-li každý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupněn 1 právěn komplexních kořenů. Označíme-li tyto kořenyc1…cn je možné polynom f rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn).

39. polynom f (st f 1) je reducibilní (rozložitelný) právě tehdy když existují polynomy g, h (st g 1, st h 1) takové, že f = g.h. Jinak je polynom fireducibilní (nerozložitelný). Polynomy g a h nazýváme faktory.

40. Příklady reducibilních a ireducibilních polynomů Lineární polynom f = a1x + a0 = a1(x-c) (kde c je kořen) ireducibilní Kvadratickýpolynom f = a2x2+ a1x + a0 = a2(x-c1)(x-c2) reducibilní

41. Polynomy vyššího stupně než 2 f = anxn+ an-1xn-1 + ……. + a1x + a0 jsou vždy reducibilní: f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn) (podle D´Alembertovy věty)