Entscheidungen unter Unsicherheit

1. Grundzüge der Mikroökonomie (Mikro I) Kapitel 5 Entscheidungen unter Unsicherheit

2. Beschreibung von Risiko

3. Entscheidung unter Risiko • Annahme: Wir kennen • alle möglichen (sich gegenseitig ausschliessenden) Ereignisse • die Auszahlung die mit jedem Ereignis realisiert wird • Wir können für das Eintreffen eines jeden Ereignisses eine Wahrscheinlichkeit angeben • Prozentzahlen summieren sich zu 1 • “Knight’sches Risiko”

4. Beispiel • Kauf von Aktien eines Unternehmen welches riskantes Projekt unternimmt • Suche nach Öl offshore. • Erfolg: Aktienkurs steigt von 30$ auf 40$ • Misserfolg: Aktienkurs fällt von 30$ auf 20$

5. Wahrscheinlichkeit • Objektive Wahrscheinlichkeit • relative Häufigkeiten • durch Erfahrungswerte, wie z.B. 25 von 100 Erkundungen sind erfolgreich • P(Erfolg) = 0,25 • P (Misserfolg) = 1 – P(Erfolg) = 0,75 • subjektive Wahrscheinlichkeiten • was der Entscheidungsträger glaubt • In Spielsituationen können sich Überzeugungen (beliefs) wechselseitig bedingen

6. Wie realistisch ist Kenntnis von Wahrscheinlichkeiten? • Knight‘sche Unsicherheit • Entscheidungsträger hat keine Information über Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse • Andere Entscheidungskriterien für Entscheidungen unter (Knight‘scher) Unsicherheit als für Entscheidungen unter Risiko • Wie realistisch ist Kenntnis aller möglichen Ereignisse?

7. Beschreibung von Risiko • Erwartungwert einer Zufallsvariablen X, mit Wahrscheinlichkeiten Pri(Xi) • Erwartungswert einer Auszahlung

8. Beschreibung von Risiko • Varianz: Maß der Abweichung vom Erwartungswert • Standardabweichung (= )

9. Beispiel • EV = 0,5 * 2.000 + 0.5 * 1.000 = 1.500 Lotterie 1 Lotterie 2 2.000 € Pr1 = 0,5 1.000 € Pr2 = 0,5 1.500 € Pr1

10. Lotterie 1 Lotterie 2 Beispiel Lotterie 2 weist eine größere Streuung, eine höhere Standardabweichung und ein höheres Risiko als Lotterie 1 auf. Wahrscheinlichkeit 0.2 0.1 Einkommen €1000 €1500 €2000

11. Beispiel • EV = 0,5 * 2.000 + 0.5 * 1.000 = 1.500 • s = Lotterie 1 Lotterie 2 2.000 € Pr1 = 0,5 1.000 € Pr2 = 0,5 1.500 € Pr1

12. Entscheidungen unter Risiko

13. Erwartungsnutzen • Wenn die Präferenzen des Entscheidungsträgers • einer Reihe von „vernünftig“ erscheinenden Axiomen genügen • dann lassen sich Präferenzen durch eine Erwartungsnutzenfunktion • repräsentieren • „von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion“

14. Entscheidungen unter Risiko:Erwartungsnutzen • Lotterie 1 • Lotterie 3: • haben beide den gleichen Erwartungswert • beide gleich gut? 1.500 € Pr1 = 1 1.510 € Pr1 = 0,99 510 € Pr2 = 0,01

15. Entscheidungen unter Risiko:Erwartungnutzen • Definiere Nutzen U(Ik) des Einkommens Ik welches im Falle des Ereignisses k realisiert wird, z.B.

16. Nutzenfunktion . Nutzen 55 45 40 39 32 22 Einkommen(€1.000) 0 0,5 3 1 1,5 1,6 2

17. Erwartungsnutzen • Definiere Erwartungsnutzen über alle möglichen Einkommensrealisationen • Fortführung Beispiel Lotterie 1 und 3

18. Fortführung Beispiel ^> Lotterie 1 Lotterie 3 1.510 € Pr = 0,99 510 € Pr = 0,01 1.500 € Pr = 1

19. … und Lotterie 1 und 2? Lotterie 1 Lotterie 2 2.000 € Pr1 = 0,5 1.000 € Pr2 = 0,5 1.500 € Pr1

20. FürEntscheidungsträger gilt auch: Lotterie 1 > Lotterie 2 Nutzen 54,72 44,72 38,72 31,62 Einkommen(€1.000) 0 3 1 1,5 2

21. Risikoaversion • Ein risikoaverser Entscheidungsträger • wenn wählen kann zwischen • sicherer Summe von x • oder Lotterie mit Erwartungswert x • (d.h. wenn er die Lotterie zum „fairen Preis“ x angeboten bekommt) • wählt er die sichere Summe • (d.h. lehnt die Lotterie ab)

22. Andere Risikopräferenzen D 10 risiko-freudiger Entscheidungsträger, z.B. risiko-neutraler Entscheidungsträger, z.B. nimmt Lotterie zum fairen Preis an ist indifferent ob er Lotterie zum fairen Preis annimmt oder nicht

23. Risikonutzenfunktion • Nutzenfunktion U welche in Risikonutzenfunktion EU auftaucht: • kann nicht ohne weiteres quadriert werden • aus (risikoavers) würde (risikoneutral) • „kardinale Nutzenfunktion“

24. Warum Leute Versicherungsverträge kaufen Nutzen 54,72 44,72 31,62 I* sei sicheres Einkommen so daß E‘träger indifferent ist zwischen Lotterie und I* Risikoprämie: Differenz zwischen Erwartungswert EV und I* = 42,89 € Einkommen Vermögen (€1.000) 0 I* 3 1 1,5 2

25. Warum Leute Versicherungen kaufen? • Risikoaverse E‘träger sind bereit Risikoprämie zu zahlen • zu welchem Preis kann Versicherung einen Vertrag anbieten? • Geschichte zur Lotterie: • 1,000,000 Häuser zum Wert 2,000 • wenn Feuer, reduziert sich Wert auf 1,000. • Wahrscheinlichkeit von Brand = 50%

26. Warum Leute Versicherungen kaufen • Versicherung kann den Schadensfall (1.000€) von 1.000.000 Häusern zur fairen Prämie von 500 € versichern. Einnahmen: 1.000.000 ×500 € + 500.000 € Ausgaben 1.000.000 ×1.000 €× 0,5 ./. 500.000 € Gewinn/Verlust 0 €

27. Warum Leute Versicherungen kaufen • Versicherung kann also Kontrakt zum fairen Preis (= Prämie) von 500€ anbieten • Mit fairem Kontrakt realisiert Hausbesitzer ein Vermögen von 1500: • Nichtschadensfall: • 2.000 € Haus – 500 € V‘prämie = 1.500 € • Schadensfall: • 1.000 € Haus + 1.000 € Zahlung – 500 € V‘prämie= 1.500 € • Willens dazu 42,89 € Risikoprämie zu zahlen

28. Versicherbare Risiken • Risiko der unterschiedlichen Hausbrände unkorreliert • Wegen Gesetz der großen Zahl, realisiert Versicherung bei 1.000.000 Verträgen jedes Jahr (nahezu) mit Sicherheit Auszahlungen von 500.000 €

29. Risikodiversifizierung Wenn Wkt von Regen = Wkt Sonne = 0.5 ist EV (100% Weizen) = EV (100% Pilzen) = 21.000

30. m-s-Indifferenzkurven • Wenn Präferenzen weitere Bedingungen erfüllen • Entscheidungsproblem kann auf Abwägen von Erwartungswert und Standardabweichung einer Anlage reduziert werden. • Indifferenzkurven: • Kombination von erwartetem Einkommen und Standardabweichung der zwischen denen Indifferenz besteht

31. U3 Sehr risikoavers: starke Einkommenserhöhung notwendig, um Anstieg des Risikos auszugleichen U2 U1 m-s-Indifferenzkurven Erwartetes Einkommen Standardabweichung des Einkommens