Günay DOĞU Şefika AKMAN Emel GÖLGE B.Görkem ŞAHİN

Günay DOĞUŞefika AKMANEmel GÖLGEB.Görkem ŞAHİN BÖLÜM:İlköğretim Matematik Öğretmenliği

İÇİNDEKİLER • KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ :.......................................3 • A.ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA : .........................3 • B.GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA: ..........3 • C.İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: ........................................................4 • D.TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI:........5 • Pascal Üçgeni: ................................7 • FORMÜLLER ............................................................................8 • Kaynakça ...............................................................................9

KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ: • Bir denklemin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasıdır.Çarpanlara ayırma ; rasyonel ifadelerin sadeleşmesinde ve denklem çözümünde kullanılır.8.sınıf müfredatına dahildir.Matematiğin zincirini oluşturacak olan bu konu işlemlerimizi daha basit hale getirmemizi sağlar.

A.ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA • A(X).B(X)+A(X).C(X)=A(X).[B(X)+C(X) • Ortak çarpan parantezine almaktaki amaç terim sayısını bire düşer • ÖRNEKLER 1: • 1-)ax+bx-cx ifadesini çarpanlara ayıralım! ax+bx-cx üç terimlisinde ortak çarpan x’tir.buna göre; ax+bx-cx=x.(a+b-c) olur. • 2-)a b c+a b c+a bc ifadesini çarpanlarına ayıralım! İfade üç terimlidir ve abc ortak çarpandır.O halde; a b c+ab c+a bc=abc(ab+bc+a c)dir.mektir.Böylece ifadelerde sadeleştirme kolaylıkla yapılabilir.

B.GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA • Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde guplara ayrılır ve her grupta ortak bi çarpan bulunmaya çalışılır. • ÖRNEKLER 2: • 1-)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by) 4 • =x(a+b)+y(a+b) =(a+b).(x+y) • 2-)x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a) =x(x-a)+2(x-a) =(x-1).(a-1) 3-)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1) =a(x-1)-1(x-1) =(x-1).(a-1)

C.İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: • a-b=(a-b).(a+b) • ÖRNEKLER 3 : • 1-)4x - 9=(2x-3)(2x+3) 2x – 3 • 2-)(2a-3) - (a-2)= =(2a-3) – (a-2) = • [(2a-3)-(a-2)].[(2a-3)+(a-2)] =(2a-3-a+2).(2a-3+a-2) =(a-1).(3a-5)

D.TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: • (a+b)2=a2+2ab+b2 • (a-b)2=a2-2ab+b2 • Tam kare üç terimli ifadelerde,iki terimin kare kökleri çarpımının iki katı,üçüncü(ortadaki) terimi vermektedir. • ÖRNEKLER 4 : • 1-)x2+4x+4 ifadesi tam kare midir? x2 + 4x +4=(x+2)2 x2 2.x.2=4x (ortadaki terim) o halde x2+4x+4 tam karedir • 2-)2000-4000.1999+1999 işleminin sonucu kaçtır? 2000 1999 2.2000.1999=4000.1999 olduğuna göre 2000-4000.1999+1999=(2000-1999) =1 olur.

ÖRNEKLER 4 : • 1-)x2+4x+4 ifadesi tam kare midir? x2 + 4x +4=(x+2)2 x2 2.x.2=4x (ortadaki terim) o halde x2+4x+4 tam karedir • 2-)2000-4000.1999+1999 işleminin sonucu kaçtır? 2000 1999 2.2000.1999=4000.1999 olduğuna göre 2000-4000.1999+1999=(2000-1999) =1 olur.

E.ÜÇ TERİMLİYİ ÇARPANLARA AYIRMA: • x+bx+c • şeklindeki bir üç terimli çarpanlarına ayrılırken, çarpımları c(sabit terim),toplamları b(x in katsayısı) olan iki sayı aranır. • ÖRNEKLER 5 : • 1-)x+y+4x-6y+19 ifadesinin en küçük değeri nedir? x+y+4x-6y+19 =(x+4x+4)+(y-6y+9)+6 =(x+2)+(y-3)+6 (x+2) en az 0 (y-3) en az 0 olacağına göre (x+2)+(y-3)+6 nın en küçük değeri 6 olur çarpanlarına ayrılır.

ÖRNEKLER 5 • 1-)x+y+4x-6y+19 ifadesinin en küçük değeri nedir? x+y+4x-6y+19 =(x+4x+4)+(y-6y+9)+6 =(x+2)+(y-3)+6 (x+2) en az 0 (y-3) en az 0 olacağına göre (x+2)+(y-3)+6 nın en küçük değeri 6 olur çarpanlarına ayrılır.

Pascal Üçgeni: • Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.

Pascal üçgeninin bazı özellikleri: • • Kenarlar "1"den oluşur • ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir. • Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...) • Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. • (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi) • • Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 20, 21, 22, 23 ,24 ,... • (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=24 ) • Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir. • ( Örnek: (a+b)3=1a3+3ab2+3a2 b+1b3)

 ÖZET  • FORMÜLLER • 1. İki Kare Farkı - Toplamı • I) a2 – b2 = (a – b) (a + b) • II) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab ya da • a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab dir. • 2. İki Küp Farkı - Toplamı • I) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2 ) • II) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 ) • III) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab (a – b) • IV) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)

3. n. Dereceden Farkı - Toplamı • I) n bir sayma sayısı olmak üzere, xn – yn = (x – y) (xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + ... + xyn – 2 + yn – 1) dir. • II) n bir tek sayma sayısı olmak üzere, xn + yn = (x + y) (xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – ... – xyn – 2 + yn – 1) dir. • 4. Tam Kare İfadeler • I) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab • II)(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab III) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) 9

Kaynakça • FORMÜLLER.(2011, ARALIK 6). ARALIK 6, 2011 tarihinde http://www.matematikcifatih.tr.gg/harfli-ifadeler.htm. adresinden alındı pascal üçgeni. (2011, aralık 6). aralık 6, 2011 tarihinde http://www.frmtr.com/performans-bilgileri/1020478-pascal-ucgeni-8-sinif.html. adresinden alındı

Günay DOĞU Şefika AKMAN Emel GÖLGE B.Görkem ŞAHİN