Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS 23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

1. Aðferðafræði og menntarannsóknir 50.00.04http://starfsfolk.khi.is/meyvant/menntarannsoknir.htm Tölfræði - 2 Meyvant-JE-SRJ-KKS 23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

2. Verkefni úr síðasta tíma • Dæmi 1 var hugsuð sem æfing í Excel • Summa (SUM – ath. táknið Σ) • Margfeldi (PRODUCT) • Dæmi 3 • Nafnbreyta –virkur/óvirkur • Raðbreyta-mjög virkur-frekar virkur-frekar óvirkur mjög óvirkur eða hversu virkur á kvarða 1-7 • Dæmi 5 • Setja tölu: Algengt að nota “hattinn”: ^

3. Jákvætt skekkt (bls 136-137 í McMillan) Mörg gildi eru á lægri enda kvarðans (Mynd 2) T.d ef fleiri eru með lágar einkunnir, lág laun Dreifing Meðaltal er hærra en miðgildi

4. Jákvætt skekkt dreifing

5. Neikvætt skekkt (bls 136-137) Fleiri gildi eru á hærri enda kvarðans (Mynd 3) Margir með háar einkunnir, margir með há laun Dreifing Meðaltal lægra en miðgildi

6. Neikvætt skekkt dreifing

7. Dreifing verkefni 9 • Búðu til talnasafn og súlurit með tveimur tíðustu gildum (tvítoppa/bimodal) • Sjá McMillan bls 136 • 1,2,2,2,2,3,4,5,6,6,6,6,7 • Passa að slá inn tíðnina og setja gildin á x ásinn

8. Staðalfrávik-hvað segir það okkur ? • Hversu langt að meðaltali tölurnar eru frá meðaltalinu • Skoðum mismunandi dreifingar með sama meðaltal en mism. staðalfrávik

9. Staðalfrávik framh Stökin raðast í kringum meðaltalið sem er 5 Það eru allir með 4,5,eða 6 Staðalfrávikið er 0,2 Meðaltalið er 5 Stökin dreifast mun meira Staðalfrávikið er hærra Staðalfrávikið er 2,3

10. Meira um dreifingu, túlkun og tengls breyta • Normaldreifing og normalkúrfa (bjöllukúrfa) • Stöðlun tölugilda (einkunna) • Z-gildi, staðalníur og fleiri staðlaðar einkunnir • Fylgni • Stutt kynning á aðhvarfsgreiningu (regression)

11. Fyrst nokkur atriði til upprifjunar • X: 3, 6 og 9 Y: 2, 5 og 8 • ΣX = 3 + 6 + 9 = • ΣX2 = 9 + 36 + 81 • (ΣX)2 = (3 + 6 + 9)2 = • ΣXY = (6 + 30 + 72) • (ΣXY)2 = (6 + 30 + 72)2 • Ath einnig nokkur atriði í Excel: Gera myndrit, Meðaltal, staðalfrávik, miðgildi, tíðasta gildi, hlutfallstíðni, fylgni,vegið meðaltal ...

12. Normaldreifing - Normalkúrfa • Graf sem hefur lögun eins og “bjalla”, samhverf með einn topp. • Einkenni: Mælingar eru flestar kringum meðaltalið, en fækkar svo til beggja hliða. • Geta haft mismunandi meðaltöl og staðalfrávik, en meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi það sama í hverju tilviki.

13. Dæmi: Greindarvísitala – Meðaltal 100, staðalfrávik 15 • Mælingar á raunverulegum fyrirbærum í menntun aldrei fullkomlega normaldreifðar, en slík dreifing heppileg til að nota við stöðlun prófa og túlkun niðurstaðna.

14. z-gildi • Breyta má einkunnum í svonefnd z-gildi og fá normalkúrfu þeirra. Segjum að nemandi fái einkunnina 7, meðaltal hópsins sé 6,5 og staðalfrávikið 0,8 þá má reikna z-gildið: (7 – 6,5)/0,8 = 0,63

15. z-gildi • Kosturinn við stöðluð gildi eins og z-gildi er að auðveldlega má bera saman ólíkar mælingar. • Hvert er meðaltalið skv. bjöllu-myndinni? Hve mörg % eru fyrir ofan það? • Hve stór hluti mælinganna liggur milli z = -1 og z = +1? • Mikilvægt að hafa í huga til að lesa úr töflum: • .3413 = 0,3412 = 34,12% • Ef z-gildi er 0,22 má lesa í töflu að .0871 (8,7%) er stærð svæðis milli meðaltalsins og z-gildisins, þ.e. þetta samsvarar því að 58,7% einkunna eru fyrir neðan.

16. z-gildi • Jóna fékk einkunnina 7,0. Meðaltal hópsins var 8,0 og staðalfrávik 1,2. Hvar stendur hún samanborið við aðra nemendur? • z = - 0,83 • Skv. töflu (sjá vef) eru rúm 20% nemenda lægri en hún. • Hve mörg % mælinga liggja milli z = -1,1 og z = 0,0? • Hve mörg % liggja milli z = -2,3 og z = -0,2? • z-gildi er í raun hlutfall því það sýnir mismun mælitölu og meðaltals (frávik) sem hluta af staðalfráviki (hluti/heild).

17. Fleiri stöðluð gildi í notkun • T-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Þá er meðaltalið stillt á 50 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi: • T = 10 z + 50. • Nemandi fær 21 stig á prófi þar sem meðaltalið er 27 og staðalfrávikið 6. Þá er z-gildið hans -1 og T-gildið er 40. • Stanine-gildi (staðalníur), einnig án negatívra talna og námundað að heilum tölum 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eða 9: • Stan = 2 z + 5.

18. Stöðlun einkunna í samræmdum prófum hjá Námsmatsstofnun • NMST-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Normaldreifðar einkunnir á kvarðanum 0-60. Meðaltalið stillt á 30 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi: • NMST = 10 z + 30 • Nemandi fær 63 stig á 100 stiga prófi þar sem meðaltalið er 67 og staðalfrávikið 12. • Hvar stæði hann samanborið við aðra nemendur? • Hver væri NMST-einkunn hans?

19. Fylgni – Að skoða tengsl milli breyta, t.d. X og Y • Margs konar fylgnistuðlar til. Hér er fjallað um Pearsons r: • Dæmi gæti verið tengsl milli einkunna í stærðfræði og íslensku • Þótt fylgni geti verið sterk gildir það jafnan ekki um allar breytur í gagnasafninu • Fylgnistuðull getur bæði verið jákvæður og neikvæður, Pearsons r getur verið á bilinu -1 til +1 • Fylgni upp á 0,8 eða meira telst mjög sterk, einnig fylgni upp á -0,8 eða þar fyrir neðan. • Varast að draga ályktanir um orsakasamband þegar tengsl eru milli breyta.

20. FylgniDæmi: tengsl milli menntunar og kjörsóknar • Hér er fylgni milli menntunar og kjörsóknar í 5 sveitarfélögum skoðuð • X er meðalárafjöldi í skóla • Y er kjörsókn í %

21. Færum inn í töflu

22. Reiknum svo samkvæmt formúlu:

23. Aðhvarfsgreining (regression): • Tengsl milli breyta nýtt til að spá fyrir um eina breytu út frá annarri breytu, t.d. Árangur á æðra skólastigi út frá árangri á lægra skólastigi • Við söfnum gögnum um einkunnir af báðu skólastigum og skoðum sambandið milli þeirra með grafi: Fundir er lína sem tengir báðar breyturnar

24. Aðhvarfsgreining (regression): • Deplar tákna gögnin • Fjólubláa línan er svokölluð aðhvarfslína. • Grafið notað til að spá fyrir um árangur nemenda sem eru að hefja nám eða til að velja inn í skóla Science education research center Carleton College

25. Formúla fyrir aðhvarfslínu Y’=bX + a • Y’ er breytan sem spáð er fyrir um • b táknar hallatölu línunnar • X er breytan sem er notuð til að spá með • a er skurðpunkturinn við Y-ásinn

26. Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur • Aðhvarfslínan sem spáir fyrir um námsgengi í KHÍ út frá meðaleinkunn í menntaskóla gæti verið eftirfarandi: • Y’=0,8X + 0,6 • Umsækjandi A var með 6,2 í meðaleinkunn í menntaskóla. Hverju er spáð um meðaleinkunn umsækjanda A í KHÍ?

27. Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur - frh. • Y’=0,8X + 0,6 • Y’= 0,8*6,2 + 0,6=5,56 • Við spáum að A fái 5,56 í meðaleinkunn í KHÍ. • Okkar spá verður sjaldan alveg rétt fyrir hvern einstakling • Fyrir hópinn sem heild er villan samt minni en ef við notum einhverja aðra línu til að spá