Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

1. Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Email: jose.valverde.calderon@una.ac Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

2. La superficie del mar es una superficie menos compleja que la superficie topográfica; presenta una orografía suave, sin rupturas, por lo que cuando esta en reposo, es una superficie equipotencial . El campo gravitatorio terrestre establece el nivel de los mares, ya que esta tiende a estar en una posición de equilibrio. Por ello, es que se considera este superficie como la óptima para los sistemas de alturas. Introducción Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

3. Se debe tener claro que lo anteriormente indicado es una situación ideal, debido a que los mares se ven afectados por: Mareas (atracción de la Luna y el Sol) Corrientes oceánicas. Diversas densidades del mar  niveles de sal que contienen; La topografía del suelo marino. Viento. Para hablar de la forma de la Tierra, hay que encontrar una superficie que sea física, ya que esta forma es generada por el campo gravitatorio terrestre. Esta forma puede ser aproximada mediante una forma geométrica o matemática, como el elipsoide o la esfera. Por tanto, es una tarea de la geodesia encontrar ambas superficies. Introducción Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

4. Diferencias entre el geoide y el elipsoide* Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

5. Importancia del campo gravitatorio terrestre • Proporciona la vertical del lugar (este elemento es una característica física y su dirección se ve influenciada por el campo gravitatorio terrestre); • Determinar órbitas satelitales; • Efectuar nivelación con métodos satelitales; • Análisis de la distribución de masas a lo interno de la Tierra. • Necesario para que otras geociencias cumplan sus tareas, donde se destaca la Geofísica. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

6. Operador Nabla • El operador nabla (∇) es un operador diferencial utilizado frecuentemente tanto en la geometría vectorial como en diversas leyes de la física. • Puede aplicarse de diferentes formas a escalares y a vectores; de ahí su utilidad. • El operador nabla está definido matemáticamente como: • Existen tres formas de aplicar este operador, cada una con su significado físico y su expresión matemática. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

7. Gradiente • Considerando una función V(x, y, z) definida y derivable en todo punto como un campo escalar, el gradiente de V define la derivada direccional de ese campo. Aplicando el operador nabla : • El gradiente indica hacia que dirección y en que magnitud existe un cambio en las propiedades puntuales del espacio indicado por el campo escalar, por ejemplo, la variación de la temperatura en una habitación. • Su significado físico esta asociado a la máxima tasa de cambio espacial del escalar y proporciona a la vez la dirección de esa variación máxima. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

8. Divergencia • Considerando ahora V(x,y,z) como un campo vectorial definido y derivable en todo punto, se define la divergencia de V como: • Gráficamente, la divergencia representa la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale de un campo vectorial sobre la superficie que rodea un volumen. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

9. Rotor o Rotacional Si V(x,y,z) es un campo vectorial definido y derivable en todo punto, el rotacional de este campo está dado por: • El rotor o rotacional indica la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

10. Operador de Laplace o Laplaciano • El operador de Laplace o Laplaciano (∇2) se define como la divergencia del gradiente de un potencial V, es decir: • Cuando se expresa en coordenadas cartesianas. • Cuando el Laplaciano de un campo escalar o potencial es cero, se dice que satisface la ecuación de Laplace. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

11. Información adicional sobre calculo vectorial • Vector gradiente de una función • http://www.youtube.com/watch?v=B6Z5Y62MhYE • Interpretación física de la divergencia • http://www.youtube.com/watch?v=WcKdulG7LBc • Interpretación física del rotacional • http://www.youtube.com/watch?v=J5ixUmioRyM • Operador nabla en coordenadas esfericas y cilindricas • http://www.youtube.com/watch?v=hrT2d1qsPpc&list=PLAFn9q_BCao_SZiGhwfIy1XpNNOAo97ez Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

12. Concepto de campo • Ejemplo: El Sol ejerce una fuerza de atracción sobre los planetas que giran a su alrededor. • Ésta es una fuerza a distancia, pues no hay “contacto” entre el Sol y los planetas. • Para explicar estas fuerzas a distancia se admite que el Sol perturbael espacio que lo rodea; esto produce una deformación que afecta los cuerpos que están a su alrededor. • Un planeta gira alrededor del Sol, debido a que el Sol “tira” de él, a través de los millones de kilómetros de espacio vacío entre ellos, basado en el concepto de “acción a distancia”. • La interpretación física es suponer que el Sol crea algún tipo de perturbación que hace que, cuando un planeta se sitúa en el mismo espacio, éste sea “atraído”. • Esta perturbación del espacio es lo que se denomina CAMPO. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

13. Un campo es una función que determina en cada punto del espacio el valor de una magnitud física. • Si la magnitud es un escalar, es un campo escalar. • Si la magnitud es un vector, es un campo vectorial. • A los campos escalares se les asocia superficies equipotenciales o de nivel. • A los campos vectoriales se les asocia líneas de campo o de fuerza. • El campo se usa para describir el comportamiento de toda magnitud física definida en cada punto de una región del espacio y del tiempo, es decir, un campo represente una cantidad medible y variable que depende de donde y cuando se haya hecho la medida. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

14. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

15. Otra definición: En una región cerrada S, existe un campo, creado por una magnitud física, si es posible asignar en cualquier momento, el valor de dicha magnitud física para todos los puntos de S. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

16. Si ahora colocamos el cuerpo ligero en el mismo lugar que antes, se comprobaría que sobre él actúa una fuerza como si fuera atraído por el cuerpo pesado. • El cuerpo pesado produce una deformación (perturbación) en la superficie, dotándola de cierta propiedad en cada uno de sus puntos que antes no tenía : esto es, crea un campo. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

17. Uniforme En ellos los vectores fuerza tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido en todos los puntos Centrales En ellos las direcciones de todos los vectores fuerza convergen en un mismo punto llamado centro del campo • El campo gravitatorio de la Tierra es un ejemplo de campo de fuerzas centrales. • Si la magnitud es escalar, se trata de un campo escalar: campo de temperatura, campo de alturas, etc. • Si la magnitud es vectorial, se trata de un campo vectorial: campo de velocidades, campo de fuerzas, etc. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

18. Campo uniforme Ejemplo: el campo eléctrico que existe entre las placa de un condensador plano es un ejemplo de un campo uniforme + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

19. Campo central • En los campos centrales las direcciones de todos los vectores de fuerza convergen en un mismo punto, llamado “centro de campo” • El modulo del vector depende únicamente de la distancia del punto considerado al centro del campo • Ejemplo: el campo gravitatorio terrestre Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

20. Campos conservativos • Un campo de fuerzas es conservativo, si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula desde un punto A a otro punto B depende solo de los puntos inicial y final, pero no del camino seguido. • El campo gravitatorio es conservativo. • El trabajo que se debe hacer para subir la caja desde el suelo a la plataforma, venciendo las fuerzas del campo gravitatorio terrestre, es el mismo tanto si lo subimos verticalmente (por la izquierda) como si nos ayudamos de una rampa (por la derecha) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

21. La energía potencial gravitatoria de la masa m cuando se encuentra a una distancia r de la masa M viene dada por la expresión: • La energía potencial gravitatoria será negativa, ya que su máximo valor lo alcanza cuando la masa m está infinitamente alejada de M, y en ese punto se le asigna un valor cero. • Llamamos campo gravitatorioa la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener MASA. • El campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales (radiales) y por tanto conservativo. • El campo gravitatorio se describe mediante dos magnitudes: • Una vectorial: Intensidad de campo gravitatorio en un punto del campo (aceleración de la gravedad) • Una escalar: Potencial gravitatorio en un punto del campo, V Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

22. Teoría del potencial • Geoide: Superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre, idealizado como los mares en reposo, proyectados bajo las masas continentales. • Potencial: Cantidad de trabajo necesario en un punto P para traer una partícula de masa unitaria hacia P desde el infinito. • Se define con la letra W. Superficies equipotenciales, vector de gravedad Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

23. El vector de gravedad es perpendicular a la superficie equipotencial y su magnitud depende de la densidad (aplicación geofísica) del terreno. • Superficie equipotencial: superficie en donde el potencial de gravedad es el mismo. En esta, el vector de gravedad es perpendicular en cada punto de esa superficie. • El geoide es una superficie equipotencial, donde W es constante. • A las superficies equipotenciales también se les llama superficies de nivel. • La líneas que cortan de forma normal a las superficies de nivel se llaman “Líneas de plomada”. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

24. Propiedades de las S.N Son continuas, sin rupturas y forman superficies cerradas alrededor de la Tierra. Su distribución esta dada por la distribución de masas de la Tierra. Las S.N no son paralelas. Su radio de curvatura no varia bruscamente y sus variaciones se asocian con cambios de densidad. No se cortan entre si. El vector de gravedad es perpendicular a estas. El valor de la gravedad NO es constante. En cada punto, el vector de gravedad y la superficie de nivel son tangentes. En general, las líneas de plomada no son rectas, al no ser paralelas las superficies de nivel. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

25. Propiedades de las S.N • Los sistemas de medición utilizados para la determinación de alturas (y en general coordenadas) se orientan según campo de gravedad terrestre. • El plano horizontal del instrumento coincide con la línea tangente a la superficie equipotencial que pasa por el punto de observación. • El eje vertical del instrumento coincide con la línea de la plomada Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

26. Propiedades de las S.N • La falta de paralelismo de la S.N producen que la altura de un punto dependa del camino que se recorra (HB  dn) Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

27. Galileo Galilei fue quien demostró la relación entre la aceleración de la gravedad y la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, mediante la fórmula: s = distancia g = aceleración de la gravedad t = tiempo Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

28. Newton enuncia la ley de gravitación universal. • Esta relaciona la masa y la fuerza gravitacional F = fuerza de atracción m = masas de los cuerpos l = distancia entre las masas k = constante de gravitación universal Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

29. Función potencial • Función potencial gravitatoria: • A partir de la anterior ecuación, se puede calcular el potencial generado por una masa puntual sobre una determinada masa. • Si se tiene un sistema con n- masas atrayentes Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

30. Cuando se tiene un número infinito de masas atrayentes con densidad homogénea, en una región cerrada, cada una con masas infinitesimalmente pequeñas, se tiene: • = densidad m = masa v = volumen del cuerpo Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

31. Considerando una porción diferencial del cuerpo: • Por lo que calculamos el potencial debido a una distribución infinita de masas como: • Considerando la densidad constante: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

32. Potencial de una distribución de masas puntuales contra un sólido: Definición del elemento diferencial de volumen Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

33. Definición del elemento diferencial de volumen Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

34. Potencial debido de una masa puntual: • Potencial debido a una • distribución de masas puntuales: • Potencial debido a un número • infinito de masas puntuales: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

35. Propiedades de la función potencial 1. El valor de V cuando r tiende al infinito es cero. 2. El potencial V y las primeras derivadas son continuas en todo el espacio. 3. En cada punto exterior a las masas atrayentes, el potencial satisface la ecuación de Laplace. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

36. Ecuación de Laplace • La ecuación de Laplace es una ecuación de derivadas parciales • Para una función u en R2, se escribe como: • Para una función u en R3, se escribe: • Las soluciones a la ecuación de Laplace se llaman “Funciones armónicas”, y tienen la característica de que las primeras y segundas derivadas son continuas. • El potencial gravitacional V, en el exterior de las masas atrayentes, se expresa mediante funciones armónicas, ya que (1/r) satisface la ecuación de Laplace ( = 0) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

37. Ecuación de Laplace • Puede demostrarse que el potencial V de una masa puntual satisface la ecuación de Laplace. Donde l esta en términos de coordenadas cartesianas X, Y, Z Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

38. Ecuación de Poisson • El potencial V es continuo para todo el espacio y como se vio en una de las propiedades de la función potencial, se anula cuando la distancia tiende al infinito. • Las primeras derivadas de V, también son continuas en todo el espacio (propiedad 2 de la función potencial) • Sin embargo, no ocurre lo mismo con las segundas derivadas del potencial, ya que para el interior de las masas atrayentes presenta discontinuidades. • La discontinuidad de Mohorovicic , a veces llamada "moho", es una zona de transición entre la corteza y el manto terrestre. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

39. Se sitúa a una profundidad media de unos 35 km (a unos 70 km de profundidad bajo los continentes o tan solo 10 km bajo los océanos). Cuando las ondas sísmicas P y S pasan por el Moho, aumentan bruscamente su velocidad Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

40. Ecuación de Poisson • Por este motivo, dentrode las masas atrayentes, el potencial V satisface la “Ecuación de Poisson” • Por lo tanto, el potencial gravitacional es una función armónica en el espacio exterior, ósea fuera de las masas atrayentes. Ecuación de Poisson Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

41. Coordenadas esféricas • El sistema de coordenadas esféricas se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante distancia y dos ángulos. • Un punto P queda determinado por tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud  y el azimut . • En algunos casos, se puede encontrar que en vez de la colatitud, se utiliza la latitud  o en vez del azimut, la longitud . Coordenadas esféricas r = Radio  = Colatitud  = Azimut Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

42. Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas • Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas • Ecuación de Laplace en coordenadas Esféricas Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

43. Solución a la ecuación de Laplace • La ecuación de Laplace, en coordenadas esféricas, se escribe de la siguiente forma: • Para resolver la anterior ecuación, se recurre al método de separación de variables: • La solución esta dada por los términos: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

44. Solución a la ecuación de Laplace • n es un número entero, mayor o igual a 0. • m es un número entero y su rango es 0 ≤ m ≤ n. • Pnm son las funciones asociadas de Legendre, de grado n y orden m. • Potencial gravitacional en coordenadas esféricas: • Donde anm, bnm son constantes. • Con base a la fórmula anterior, se puede desarrollar una serie pare expresar en potencial en el exterior de la esfera. • Si se desea formular una serie para el potencial en el interior de la esfera, se sustituye el termino 1/rn+1, por el termino rn. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón

45. Polinomios de Legendre • Calculo de la • función de Legendre • Existe un caso especial, cuando m=0, la función de Legendre se llama “Polinomio de Legendre” Fórmula de Rodríguez Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón

46. Polinomios de Legendre • Tanto las funciones de Legendre, como los polinomios de Legendre, se pueden determinar por medio de formulas recursivas: • Con base a esta fórmula, se puede calcular el polinomio P2, a partir de conocer P0 y P1, conocer P3 a partir de P1 y P2 • Usualmente, las funciones de Legendre son normalizadas: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón

47. Polinomios de Legendre • La magnitud de los armónicos esféricos son valores muy pequeños y su valor disminuye conforme se incrementa el grado de las Funciones Asociadas de Legendre. • Por ello, es numéricamente ventajoso la normalización de las Funciones Asociadas de Legendre. • La normalización se logra al multiplicar los valores obtenidos por un factor de escala que depende del grado y orden de la Función Asociada de Legendre. • Retomando la ecuación de Laplace en armónicos en coordenadas esféricas y efectuando una nueva separación de variables de la forma: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón

48. Armónicos esféricos • Donde f es una función del radio e Y es una función de ,. La nueva solución será entonces: • A la expresión Yn(,) se le conoce como “armónicos esféricos de superficie”. • Se debe encontrar ahora una solución para la armónica esférica Yn(,). Considerando una nueva separación de variables. Se puede demostrar que las soluciones para h() esta dada por: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón

49. Armónicos esféricos • La solución para g() tiene significado físico solamente si n y m son números enteros y si m es menor o igual que n. • Una solución para g() son las funciones de Legendre Pnm(cos ), citadas anteriormente. • Por lo tanto: • Se establecen las funciones: • Como soluciones a la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón

50. Armónicos esféricos • Se escribe ahora la función Yn(,) como: • Donde anm y bnm son constantes arbitrarias • Finalmente, escribimos la solución a la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas como: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Prof: José Fco Valverde Calderón