1 / 22

Grafy inaczej, czyli inne modele grafów

Grafy inaczej, czyli inne modele grafów. Multigrafy Grafy z wagami Grafy skierowane Hipergrafy Grafy losowe (MPK 410, STL 510). Multigrafy. Multigrafy to grafy z wagami na krawędziach; wagi to lczby naturalne – krotności krawędzi.

zalika
Download Presentation

Grafy inaczej, czyli inne modele grafów

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Grafy inaczej, czyli inne modele grafów • Multigrafy • Grafy z wagami • Grafy skierowane • Hipergrafy • Grafy losowe (MPK 410, STL 510)

  2. Multigrafy • Multigrafy to grafy z wagami na krawędziach; wagi to lczby naturalne – krotności krawędzi. • Problem Chińskiego listonosza: znaleźć rozpięty nadgraf eulerowski o najmniejszej wadze. • Inny problem: znaleźć rozpięty nadgraf o najmniejszej maksymalnej wadze krawędzi, w którym wszystkie stopnie są różne. • Wariant: jak wyżej, ale chcemy tylko, by pary sąsiednich wierzchołków miały różne stopnie (stopnie w roli kolorów wierzchołków). • Dla K_n odpowiedź wynosi 3(ćw.)

  3. Grafy z wagami • G=(V,E,w), w:ER • Wagę podgrafu określamy jako sumę wag jego krawędzi. Klasyczne problemy optymalizacji: • MST – znaleźć rozpięte drzewo o minimalnej wadze. • Optimal Assignment Problem – znaleźć skojarzenie doskonałe w grafie dwudzielnym K_{n,n} o minimalnej (maksymalnej) wadze. • TSP – znaleźć cykl Hamiltona o minimalnej wadze (problem w klasie NP– zupełnej).

  4. Parametry ułamkowe • Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E  [0,1] taka, że dla każdego v • α’*(G)to największa waga skojarzenia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL

  5. Parametry dualne • Wierzchołkowe pokrycie ułamkowe to funkcja w:V  [0,1] taka, że dla każdej krawędzi e=uv • β*(G)to najmniejsza waga wierzchołkowego pokrycia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL

  6. Twierdzenie o dualności PL • Tw. o dualności: β*(G)=α’*(G) – tzn. ułamkowe tw. Königa zachodzi dla wszystkich grafów. • Dla grafów dwudzielnych zachodzi tw. Königa: β(G)=α’(G) . • Zatem, dla grafów dwudzielnych α’(G) ≤ α’*(G) = β*(G)≤ β(G)=α’(G), a więc α’(G) = α’*(G) .

  7. v u Grafy skierowane Graf skierowany (digraf) to para (V,A), gdzie A jest zbiorem uporządkowanych par różnych wierzchołków z V. Elementy zbioru A nazywamy łukami, a na rysunkach parę (u,v) przedstawiamy w postaci strzałki z u do v.

  8. Orientacje, turnieje i grafy podskórne • Z (nieskierowanego) grafu G można utworzyć graf skierowny nadając kierunek każdej krawędzi – orientacja grafu G. • Turniejto orientacja grafu pełnego K_n • Odwrotnie, z digrafu D można utworzyć zwykły (multi)graf G(D) ,,wymazując” wszystkie strzałki – tzw. podskórny graf nieskierowany digrafu D.

  9. Odpowiednik Tw.Diraca • Półstopnie wejścia i wyjścia, d^-(v), d^+(v) Twierdzenie Diraca dla digrafów. Jeśli wszystkie półstopnie wejścia i wyjścia są większe bądź równe n/2, to D zawiera skierowany cykl Hamiltona. 

  10. Spójność i odpowiednik Tw. Eulera • Digraf D jest spójny, gdy jego graf podskórny G(D) jest spójny. • Digraf D jest silnie spójny, gdy dla każdej pary wierzchołków (u,v) istnieje w D skierowana ścieżka z u do v. Tw. Eulera dla digrafow.Spójny digraf D ma skierowany obchód Eulera wgdy dla każdego v: d^-(v)=d^+(v).

  11. Silna spójność orientacji • Czy dany, spójny system dróg G można zmienić na jednokierunkowy, tak, by każdy wszędzie mógł (legalnie) dojechać? • Chodzi tu o silnie spójną orientację grafu G. • Jeśli G ma most, to nie. Tw. o silnie spójnej orientacji (Robbins 1939).Jeśli G jest 2-krawędziowo-spójny, to posiada silnie spójną orientację.

  12. Silna spójność turnieju Tw. (Moon 1966)Jeśli D jest silnie spójnym turniejem, to dla każdego k=3,…,n każdy wierzchołek leży na skierowanym cyklu długości k. Szkic dowodu (ind. wzgl. k): • Ustal wierzchołek u i pokaż, że u leży na skierowanym trójkącie. • Pokaż, ze skoro u leży na cyklu C_k, to leży też na cyklu C_{k+1}. Wniosek. Turniej ma skierowny cykl Hamiltona wgdy jest silnie spójny.

  13. Liczba chromatyczna a najdłuższa ścieżka skierowana • Niech l(D)będzie długością najdłuższej ścieżki skierowanej w D. Tw. (Roy 67, Gallai 68)χ(G(D))≤ l(D) +1. Wniosek.χ(G)=min {l(D)+1}, gdzie minimum jest wzięte po wszystkich orientacjach G.

  14. Dowód wniosku Dowod Wniosku: Pokolorujmy G optymalnie kolorami 1,2,…, χ i skierujmy krawędzie od koloru mniejszego do większego. Wtedy najdłuższa skierowana ścieżka nie będzie dłuższa niżχ-1. Nierówność w drugą stronę wynika z Tw. (Roy 67, Gallai 68). 

  15. Ilustracja χ 1 2

  16. Skierowane ścieżki Hamiltona w turnieju Wniosek (Redei, 1934)Każdy turniej ma ścieżkę Hamiltona. Dowod:Jeśli D jest turniejem, to χ(G(D))=n i na podstawie Tw.(Roy 67, Gallai 68) ma ścieżkę skierowaną długości n-1. Dowód indukcyjny (ćw.)

  17. Królewskie zbiory niezależne Tw. (Chvatal i Lovasz, 1974) Każdy digraf posiada zbiór niezależny, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2. Szkic dowodu:indukcja względem n; w kroku indukcyjnym usunąć wierzchołek v wraz ze zbiorem sąsiadów N^+(v) (strzałki wychodzące).  Wniosek.Każdy turniej ma króla, tzn.wierzchołek, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2. Dowod: α(G(D))= α(K_n)=1.  Dowód indukcyjny (ćw.)

  18. Hipergrafy • Hipergraf to para H=(V,E), gdzie E to rodzina niepustych pozdbiorów zbioru V. • V – zbiór wierzchołków, E – zbiór krawędzi • Hipergraf jest k-jednostajny, gdy wszystkie krawędzie mają tę samą moc k. • Hipergraf 2-jednostajny to po prostu graf.

  19. Skojarzenia i pokrycia hipergrafów • Skojarzenie to zbiór rozłącznych krawędzi. • α’(H) – moc największego skojarzenia w H. • Pokrycie to zbiór wierzchołków, który przecina każdą krawędź. • β(H) – moc najmniejszego pokrycia w H. • Jasne: α’(H) ≤ β(H) • Problem: Kiedy α’(H) = β(H) ???

  20. Problemy NP-zupełne • W przeciwieństwie do grafów, wyznaczenie α’ (H) jest problemem z klasy NP-zupełnej. • Nawet, jeśli ograniczyć sie do hipergrafów 3-jednostajnych. • Pokażmy równoważność(redukcję wielomianową)tego problemu z obliczaniem α(G): •  α’(H)= α(L(H)), gdzie L(H) – graf krawędziowy (albo: przecięć) hipergrafu H. •  α(G)= α’(St(G)), gdzie St(G) jest hipergrafem gwiazd, tzn. wierzchołkami są krawędzie G, a krawędziami są maksymalne gwiazdy w G. (ćw)

  21. Hipergrafy 2-kolorowalne • H nazywamy 2-kolorowalnym, gdy jego wierzchołki można pomalować2 kolorami tak, by każda krawędź mocy co najmniej 2 zawierała wierzchołki obu kolorów. • Podhipergraf indukowany przez Uto H[U]=(U,E’), gdzie E’sklada sie ze wszystkich niepustych części wspólnych zbioru U z krawędziami H. • H jest zrównoważony, gdy każdy podhipergraf indukowany jest 2-kolorowalny. Tw. (Berge i Las Vergnas, 1970)Każdy zrównoważony hipergraf spełnia własnośćKöniga: α’(H) = β(H).

  22. Podhipergraf indukowany

More Related