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Analisi delle Decisioni Probabilita’ condizionate

Analisi delle Decisioni Probabilita’ condizionate. Chiara Mocenni. Probabilità condizionate. Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate P ( A | B )

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Analisi delle Decisioni Probabilita’ condizionate

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Presentation Transcript

  1. Analisi delle DecisioniProbabilita’ condizionate Chiara Mocenni Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  2. Probabilità condizionate • Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi • Quando ciò non è più vero, si hannoprobabilità condizionate P(A|B) probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  3. Esempio: ecografia • Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino: • M il nascituro è maschio • F il nascituro è femmina • EM l’ecografia prevede “maschio” • EF l’ecografia prevede “femmina” Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  4. Esempio: ecografia • Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta): P(M,EM) Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  5. Esempio: ecografia • Valgono le seguenti espressioni: P(M,EM) = P(M|EM) P(EM) P(M,EM) = P(EM|M) P(M) Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  6. P(EM|M) P(M) P(M|EM) = P(EM) Teorema di Bayes • Quindi: P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M) ossia Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  7. Esempio: ecografia Supponiamo • P(M)= 0.5 P(F)= 0.5 • P(EM|M)= 0.9 P(EM|F)= 0.05 e di conseguenza • P(EF|M)= 0.1 P(EF|F)= 0.95 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  8. Esempio: ecografia Possiamo ora calcolare P(EM)= P(EM|M)P(M)+ P(EM|F)P(F)= 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475 P(EF)= 1- P(EM)= 0.525 Possiamo ora applicare la formula di Bayes Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  9. Esempio: ecografia P(EM|M) P(M) P(M|EM) = P(EM) 0.90.5 = 0.947 = 0.475 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  10. P(EF|F) P(F) P(F|EF) = P(EF) Esempio: ecografia 0.950.5 = 0.904 = 0.525 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  11. P(B|A) P(A) P(A|B) = P(B) Teorema di Bayes • In generale, dati due eventi Ae B: Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  12. P(B|A) P(A) P(A|B) = P(B) Teorema di Bayes Probabilità a-priori Probabilità condizionate Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  13. Teorema di Bayes • È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate) Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  14. Esempio: il concerto • Supponiamo ora che sia disponibile ulteriore informazione sul tempo di domani • Questa informazione non è perfetta • Come determinare il valore di questa informazione? Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  15. Attendibilità dell’informazione • Caratterizziamo l’attendibilità della nuova informazione in termini di probabilità condizionata: P(“Sereno”|Sereno) = 0.8 P(“Pioggia”|Pioggia) = 0.8 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  16. Attendibilità dell’informazione • L’informazione a-priori in questo caso è data da: P(Ser) = 0.4 P(Piog) = 0.6 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  17. Attendibilità dell’informazione • La probabilità che la nuova informazione indichi “sereno”sarà: P(“Ser”) = P(“Ser”|Ser) P(Ser) + P(“Ser”|Piog) P(Piog) = 0.8 0.4 + 0.2 0.6 = 0.44 P(“Piog”) = 1- 0.44 = 0.56 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  18. Attendibilità dell’informazione • Con Bayes possiamo calcolare = 0.8 0.4 / 0.44 = 0.727 P(Piog|”Ser”) = 1- P(Ser|”Ser”) = 0.273 P(“Ser”|Ser)P(Ser) P(Ser|”Ser”) = P(”Ser”) Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  19. Attendibilità dell’informazione • E analogamente = 0.8 0.6 / 0.56 = 0.857 P(Ser|”Piog”) = 1- P(Piog|”Piog”) = 0.143 P(“Piog”|Piog)P(Piog) P(Piog|”Piog”) = P(”Piog”) Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  20. Valore dell’informazione imperfetta • Per molti decisori il valore dell’informazione si determina ancora come differenza tra equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione • Attenzione: ora le probabilità in gioco sono probabilità condizionate Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  21. Informazione gratuita (Avi) sereno (0.727) 1 aperto pioggia (0.273) 0.727 0 sereno (0.727) L’oracolo prevede “sereno” (0.44) 0.57 chiuso pioggia (0.273) 0.597 0.67 sereno (0.727) 0.778 0.95 0.778 portico pioggia (0.273) 0.32 0.709 sereno (0.143) 1 0.655 aperto pioggia (0.857) 0.143 0 sereno (0.143) 0.57 chiuso L’oracolo prevede “pioggia” (0.56) pioggia (0.857) 0.67 0.655 sereno (0.143) 0.178 0.95 portico pioggia (0.857) 0.32 € 5,470 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  22. Il valore dell’informazione (Avi) Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Avi è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,470 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,600 = € 870 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  23. Informazione e decisioni • Il valore dell’informazione perfetta per Avi era di € 2,000 • L’imperfezione nell’informazione determina un cambiamento di decisione (Portico anziché Aperto nel caso in cui l’oracolo preveda tempo sereno) Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  24. Informazione gratuita (Inat) sereno (0.727) 1 aperto pioggia (0.273) 0.727 0 sereno (0.727) L’oracolo prevede “sereno” (0.44) 0.4 chiuso pioggia (0.273) 0.427 0.5 sereno (0.727) 0.709 0.9 0.727 portico pioggia (0.273) 0.2 0.59 sereno (0.143) 1 0.485 aperto pioggia (0.857) 0.143 0 sereno (0.143) 0.4 chiuso L’oracolo prevede “pioggia” (0.56) pioggia (0.857) 0.5 0.485 sereno (0.143) 0.3 0.9 portico pioggia (0.857) 0.2 € 5,900 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  25. Il valore dell’informazione (Inat) Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Inat è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,900 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,800 = € 1,110 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  26. Confronto tra decisori: Avi • Senza informazione: Chiuso • Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Portico, altrimenti Chiuso Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  27. Confronto tra decisori: Inat • Senza informazione: Portico • Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Aperto, altrimenti Chiuso Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  28. Confronto tra decisori • Il valore dell’informazione imperfetta per Inat è di € 1,110,per Avi è di € 870 • Il motivo per cui Inat, pur essendo più propensa al rischio rispetto a Avi, sia disposta a pagare di più è che ancora, in assenza di informazione, le scelte sono diverse Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  29. Analisi di sensibilità rivista Una volta introdotti il concetto di probabilità soggettiva e il teorema di Bayes, possiamo estendere l’analisi di sensibilità effettuata per la determinazione della funzione di utilità anche alla assegnazione delle probabilità soggettive. Riprendiamo perciò l’esempio della tavola di decisione. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  30. Stati di natura [-3,+2] < -3 > +2 Decisioni 110 110 110 a1 a2 100 115 105 120 a3 90 100 0.2 0.4 probabilità 0.4 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  31. I valori di utilita’ degli eventi elementari erano: u(90)=0 u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(110)=0.8 u(115)=0.95 u(120)=1 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  32. Osserviamo nuovamente che P(2) = P(3). Supponiamo che il decisore abbia espresso qualche dubbio sul fatto che effettivamente queste due probabilità fossero uguali. Poniamo allora P(2) = p P(3) = q Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  33. P(1) = 1 - p - q Inoltre U[a1] = 0.8, U[a2] = 0.7, U[a3] = 0.56. Ne consegue che U[a1] >U[a2]  0.8 > (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95  8 > 4p+11q Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  34. Analogamente • U[a1] >U[a3] •  0.8 > (1-p-q)*0.0 + p*0.40 + q*1  4 >2p + 5q • U[a2] >U[a3] (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95 > (1-p-q)* 0.0 + p*0.4 + q*1 •  8 > 4p+9q Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  35. q 1.0 D 4p + 9q = 8 C 2p + 5q = 4 B 4p + 11q = 8 0.5 A (0.4,0.4) p + q = 1 0 p 0.5 1.0 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  36. Nella regione A si ha U[a1] >U[a2] >U[a3] Nella regione B si ha U[a2] >U[a1] >U[a3] Nella regione C si ha U[a2] >U[a3] >U[a1] Nella regione D si ha U[a3] >U[a2] >U[a1] Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

  37. Il punto (0.4,0.4) si trova all’interno della regione A. Quindi l’investimento a1 sembra essere il più conveniente, coerentemente con quanto visto in precedenza. Quello che dobbiamo verificare, e che in questo caso è evidente, è che per piccole variazioni di p e q il punto stimato (0.4,0.4) rimanga all’interno della regione A. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

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