Syntax der Aussagenlogik

1. Für die Syntax der Aussagenlogik legen wir fest: Theorie der unscharfen Mengen Syntax der Aussagenlogik (1) als Alphabet: die Menge der kleinen lateinischen Buchstaben, gegebenenfalls indiziert; vereinigt mit der Menge der aussagenlogischen Verknüpfungssymbole (Junktoren): {, , , , }; vereinigt mit der Klammernmenge {(,)} sowie der Menge {W, F}; (2) als Konstruktionsregelnfür die syntaktisch korrekten Zeichenketten, hier zulässige Ausdrücke (ZA) genannt: (2.1) kleine lateinische Buchstaben, gegebenenfalls indiziert, sind ZA; (2.2) die Zeichen W, F sind ZA; (2.3) bezeichnen A, B ZA, so sind auch ZA: (A), (A), (AB), (AB), (AB), (AB); (2.4) äußerste Begrenzungsklammern können weggelassen werden; (2.5) für die Junktoren gelten folgende Prioritäten: “”vor “” (“”) vor “”vor””. Die damit entbehrlichen Klammern können entfallen; (2.6) es bestehen zunächst keine weiteren Vereinbarungen.

2. (1) W steht für den Wahrheitswert “wahr” (für eine wahre Aussage), F für den Wahrheitswert “falsch” (für eine falsche Aussage); Theorie der unscharfen Mengen Semantik der Aussagenlogik (2) kleine lateinische Buchstaben bedeuten Aussagenvariablen. Diese lassen sich als “wahr” oder “falsch” interpretieren, indem man ihnen durch eine Funktion  einen Wahrheitswert zuordnet: (a) = W: a wird mit einer wahren Aussage belegt; (a) = F: a wird mit einer falschen Aussage belegt. (3) die Bedeutung der 5 Junktoren erklären wir später; (4) der Wahrheitswert (A(x1, ..., xn)) eines n-stelligen zulässigen Ausdrucks A(x1, ..., xn) berechnet sich bei gegebenen Wahrheitswerten (x1), ..., (xn)  {W, F} gemäß (A(x1, ..., xn)) = A ((x1), ..., (xn)).

3. Theorie der unscharfen Mengen Normalformen Definition Besteht ein ZA aus der Konjunktion von Disjunktionen der Variablen bzw. Deren Negationen, so heißt diese Darstellung eine Konjunktive Normalform (KNF). Satz (1) Jeder ZA läßt sich durch Äquivalenz-Umwandlungen in einer KNF darstellen. (2) Die KNF ist syntaktisch nicht eindeutlich. (3) Ein ZA ist allgemeingültig, wenn in allen Disjunktionen seiner KNF wenigstens eine Variable negiert und zugleich nicht-negiert vorkommt.

4. Theorie der unscharfen Mengen Aussagenlogische Folgerung Darstellung des logischen Schließens Definition Seien A1, …, Am, B1, …, Bkn-stellige ZA. Dann heißen die B1, …, Bkaussagenlogische Folgerungen aus den A1, …, Am, wenn mit jeder Belegung (x1), ..., (xn) in A1, …, Am, für die (A1) = ...= (Am) =W (m1) ist, auch gilt  (B1) = ...= (Bk) = W (k1) . .

5. Theorie der unscharfen Mengen Schlußfiguren Definition Als Modus ponens (“Abtrennungsregel”) bezeichnet man die Schlußfigur a  b “wenn a, dann b” a “nun aber a” b “also b” Definition Als Modus tollens (“Widerlegungsregel”) bezeichnet man die Schlußfigur a  b “wenn a, dann b”  b “nun aber nicht b” a “also nicht a” Definition Als Modus barbara (Kettenschluß) bezeichnet man die aussagenlogische Schlußfigur a  b “wenn a,dann b” b c“wenn b, dann c” ac “wenn a,dann c” .

6. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Aussagenlogik Lukasiewicz-Logik Definition Die einstellige Negation () sowie die zweistelligen Verknüpfungen Konjunktion (), Disjunktion (), Implikation () und Äquivalenzrelation ()seien durch folgende Verknüpfungstafeln festgelegt: . -Operator: (a) = 1 -  (a); (a b) = min ((a), (b)); (a b) = max ((a), (b)); (a b) = min (1, 1+(b)-(a));(a b) = 1 - |(a)-(b)|.

7. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe Aussagenlogik Lukasiewicz-Logik Satz Die in der dreiwertigen Lukasiewicz-Logik (AL3) allgemeingültigen Ausdrücke (speziell alle Äquivalenzen) gelten bei entsprechender Interpretation von Variablen und Junktoren auch in der klassischen Logik (die Umkehrung gilt nicht!) Die dreiwertige Lukasiewicz-Logik ist syntaktisch und semantisch entscheidbar; ein Entscheidungsverfahren ist die Methode der Wahrheitstafeln. Der Normalformsatz der klassischen Aussagenlogik ist in der dreiwertigen Lukasiewicz-Logik nicht anwendbar. .

8. Theorie der unscharfen Mengen Syntax der unscharfen Aussagenlogik das Alphabet der zulässigen Zeichen besteht aus: - der Menge der kleinen lateinischen Buchstaben, gegebenenfalls indiziert (für die unscharfen Aussagenvariablen); - der Menge der Junktoren: {, , , , }; - der Menge {1, 0} für die wahre bzw. falsche Aussagenkonstante; - der Klammernmenge {(,)}. (2) die Regelnzur Konstruktion syntaktisch korrekter Zeichenketten, hier zulässige Ausdrücke (ZA) genannt: - kleine lateinische Buchstaben, gegebenenfalls indiziert, sind ZA; - die Zeichen 0, 1 sind ZA; - mit A, B sind auch folgende Ketten ZA: (A), (A), (AB), (AB), (AB), (AB); - äußerste Begrenzungsklammern dürfen weggelassen werden; - Prioritätenfolge für die Junktoren: “”, “” (“”), “”,””; - mehrgliedrige Ausdrücke nur in “”bzw. nur in “” bzw. nur in ”” müssen nicht geklammert werden (wegen der Assoziativität dieser Verknüpfungen). .

9. Theorie der unscharfen Mengen Semantik der unscharfen Aussagenlogik .

10. Theorie der unscharfen Mengen Unscharfe logische Äquivalenz und Implikation .

11. Theorie der unscharfen Mengen Approximatives Schließen .

12. Theorie der unscharfen Mengen Possibilitätsverteilungen .

13. Theorie der unscharfen Mengen Zylindrische Erweiterung .

14. Theorie der unscharfen Mengen Regeln der maximalen und minimalen Restriktion .

15. Theorie der unscharfen Mengen Wenn-dann-Inferenzregeln .

16. Theorie der unscharfen Mengen Die Kompositionsregel .

17. Theorie der unscharfen Mengen Die Kompositionsregel .

18. Theorie der unscharfen Mengen Der generalisierte modus ponens .

19. Theorie der unscharfen Mengen Der generalisierte modus ponens .