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Tema 14

Tema 14. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Tema 10.7 * 1º BCS. MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA EN LA BINOMIAL. MEDIDAS ESTADÍSTICAS. MEDIA μ = n.p En nuestros EJEMPLOS RESUELTOS 1 y 2: μ = n.p = 20.0,5 = 10 para la moneda μ = n.p = 20.0,167 = 3,34 para el dado DESVIACIÓN TÍPICA σ = √( n.p.q)

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Presentation Transcript

  1. Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Matemáticas Aplicadas CS I

  2. Tema 10.7 * 1º BCS MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA EN LA BINOMIAL Matemáticas Aplicadas CS I

  3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS • MEDIA • μ = n.p • En nuestros EJEMPLOS RESUELTOS 1 y 2: • μ = n.p = 20.0,5 = 10 para la moneda • μ = n.p = 20.0,167 = 3,34 para el dado • DESVIACIÓN TÍPICA • σ = √(n.p.q) • En nuestros EJEMPLOS RESUELTOS 1 y 2: • σ = √(n.p.q) = √ 20.0,5.0,5 = √5 = 2,24 para la moneda • σ = √(n.p.q) = √ 20.0,167.0,833 = √2,77 = 1,67 para el dado Matemáticas Aplicadas CS I

  4. Ejercicios propuestos • Ejemplo 1 • En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la media y la desviación típica, suponiendo el resultado de salir hombre como éxito. • Ejemplo 2 • Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la media y la desviación típica. • Ejemplo 3 • Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la media y la desviación típica, suponiendo el resultado de no ser defectuoso como éxito. Matemáticas Aplicadas CS I

  5. Tema 14.8 * 1º BCS AJUSTE A UNA BINOMIAL Matemáticas Aplicadas CS I

  6. AJUSTE A UNA BINOMIAL • Las muestras que se obtienen de una población para investigar un fenómeno se estudian a través de una distribución estadística. • Cuando se tenga cierta seguridad de que el fenómeno se rige por las características binomiales, se puede modelizar, ajustar la distribución de probabilidad discreta a una binomial. • __ • Para ello: n.p = x obteniendo p, ya que p = x / n • Pero no siempre se puede realizar tal ajuste, o mejor dicho, no siempre es viable por darnos datos muy alejados de los reales. Matemáticas Aplicadas CS I

  7. Ejemplo_0 • Se lanzan cuatro dados (no sabemos si son correctos o no) y se cuenta el números de treses obtenido en cada lanzamiento. En 1000 lanzamientos los resultados han sido los siguientes: • ¿Se ajustan estos datos a una binomial?. • Hallamos las frecuencias relativas. • Podemos suponer que existe una distribución binomial B(4, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 , 3 y 4 aciertos. • O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 4 veces. • Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado Matemáticas Aplicadas CS I

  8. … Ejemplo_0 • La media muestral de la distribución discreta dada será: • x =∑x.f / ∑.f = (0.490+1.381+2.112+3.15+4.2)/ 1000 = 0,658 • Como μ = n.p , 0,658 = 4.p , de donde p = 0,1645 • La binomial B(4 , 0’1645) es la del mejor ajuste. • Calculamos P(x=0), P(x=1), P(x=2), P(x=3) y P(x=4) • Por tablas: 0,5220 , 0,3685 , 0,0975 , 0,0115 y 0,0005 • Que multiplicando por 1000 queda: • 522 , 369 , 96 , 12 y 1 • Comparando con las reales: • 490 , 381 , 112 , 15 y 2 • Se puede aceptar tal ajuste. Matemáticas Aplicadas CS I

  9. Ejemplo_1 • En un control de calidad efectuado sobre 1000 piezas en una fábrica, para detectar defectos, se ha anotado lo siguiente: • Los resultados son 0 fallos, 1 fallo, 2 fallos y 3 fallos. • Podemos suponer que existe una distribución binomial B(3, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 y 3 fallos. • O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 3 veces. • Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado • La media muestral de la distribución discreta dada será: • x =∑x.f / ∑.f = (0.292+1.421+2.250+3.37)/ 1000 = 1,032 • Como μ = n.p , 1,032 = 3.p , de donde p = 0,35 • La binomial B(3, 0,35) es la del mejor ajuste. Matemáticas Aplicadas CS I

  10. Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(3, 0,35). • Calculamos P(x=0), P(x=1) P(x=2) y P(x=3) • Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: • (0,65 + 0,35)3 = C3,0.0,653 + C3,1.0,35.0,652 + C3,2.0,352.0,65 + C3,3 .0,353 = • = 0,275 + 0,444 + 0,239 + 0,042 , que son las probabilidades a calcular. • Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren muy poco. • El grado de aproximación es aceptable. • Nota: Como en muchos trabajos de investigación estadística, las frecuencias se han tomado en tanto por miles, no en %. Matemáticas Aplicadas CS I

  11. Ejemplo_2: • En una empresa se ha realizado una prueba a 100 trabajadores para determinar quien reúne las tres características esenciales para un ascenso profesional. Se observó los siguientes resultados: • Los resultados son 0 , 1 , 2 y 3 características de promoción. • Podemos suponer que existe una distribución binomial B(3, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 y 3 características. • O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 3 veces. • Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado. • La media muestral de la distribución discreta dada será: • x =∑x.f / ∑.f = (0.40+1.20+2.10+3.30)/ 100 = 1,3 • Como μ = n.p , 1,3 = 3.p , de donde p = 0,4333 • La binomial B(3, 0,4333) es la del mejor ajuste. Matemáticas Aplicadas CS I

  12. Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(3, 0,4333). • Calculamos P(x=0), P(x=1) P(x=2) y P(x=3) • Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: • (0,5666 + 0,4333)3 = C3,0.0,56663 + C3,1.0,4333.0,56662 + • + C3,2.0,43332.0,5666 + C3,3 .0,56663 = 0,081 + 0,318 + 0,417 + 0,182 • Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren muchísimo. • No se puede aceptar el ajuste. • La binomial B(3,0,4333) es la de mejor ajuste, pero en nuestro caso no podemos hacerlo porque cometeríamos unos errores muy grandes. Matemáticas Aplicadas CS I

  13. Ejemplo_3 • En unas oposiciones se han realizado 4 exámenes a 400 opositores. Hemos anotado lo siguiente: • Los resultados son 0 , 1 , 2 , 3 y 4 exámenes aprobados. • Podemos suponer que existe una distribución binomial B(4, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1 , 2 , 3 y 4 exámenes aprobados. • O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 4 veces. • Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado • La media muestral de la distribución discreta dada será: • x =∑x.f / ∑.f = (0.60+1.120+2.100+3.60+4.40)/ 400 = 660/400=1,65 • Como μ = n.p , 1,65 = 4.p , de donde p = 0,4125 • La binomial B(4, 0,4125) es la del mejor ajuste. Matemáticas Aplicadas CS I

  14. Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(4, 0,4125). • Calculamos P(x=0), P(x=1) , P(x=2) , P(x=3) y P(x=4) • Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: • (0,5875 + 0,4125)4 = C4,0.0,58754 + C4,1.0,4125.0,58753 + C4,2.0,41252.0,58752 + • + C4,3.0,41253.0,5875 + C4,4 .0,41254 = 0,1191 + 0,3346 + 0,3524 + 0,1649 + 0,0289 • Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren algo. • El grado de aproximación es aceptable si el estudio no requiere gran precisión. Matemáticas Aplicadas CS I

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