SEMINAIRE du 27 mars Copules et dépendance entre les risques

1. SEMINAIRE du 27 marsCopules et dépendance entre les risques Marie-Christine BRASSIER Gilles DEPOMMIER Przemyslaw SLOMA ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : info@altia.fr

2. Plan de la Présentation • Pourquoi les Copules ? • Les principes de base • Etude d’un cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue 2

3. Pourquoi les Copules ? ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : info@altia.fr

4. Pourquoi les Copules ? Les Copules Un moyen de mesurer la dépendance. Permettent de coupler les lois marginales des variables afin d’obtenir la loi jointe. Les copules permettent de modéliser les dépendances, en particulier dans les extrêmes. 4

5. Les limites du coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation utilisé classiquement pour mesurer la dépendance possède des insuffisances Il ne « fonctionne » que pour des variables Gaussiennes, pour lesquelles corrélation et dépendances recouvrent la même réalité Dans les autres cas, son utilisation est délicate : Ainsi, la non corrélation de deux variables non gaussiennes ne signifie pas une absence de dépendance. Exemple: X et X2 sont manifestement des variables dépendantes, cependant si X suit par exemple une loi normale, le coefficient de corrélation en X et X2 est nul Le coefficient de corrélation ne mesure pas la structure de la dépendance 5

6. Les limites du coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation peut être le même alors que la structure de dépendance est totalement différente (notamment pour les valeurs extrêmes) • Estimation du coefficient de corrélation : 0,48 • Mais avec forte dépendance des valeurs fortes 6 • Estimation du coefficient de corrélation : 0,48 • Mais avec forte dépendance des valeurs faibles

7. Les limites du coefficient de corrélation : risques extrêmes • Dépendance des risques extrêmes : • Copule de Gumbel vs. Copule Normale 7

8. Les Copules : Les principes de base ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : info@altia.fr

9. Qu’est-ce qu’un copule : le théorème de Sklar De façon schématique : Les marginales de chaque variable étant données, il suffit de les joindre par une fonction copule ayant les propriétés de dépendance souhaitées de manière à obtenir la loi jointe. FY Structure de dépendance (fonction copule) Fx, y Fy Le théorème de Sklar (cas bivarié): Soit F une fonction de répartition en dimension 2 admettant F1 et F2 pour marginales. Alors nous pouvons représenter F à l’aide d’une copule avec F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2)) 9

10. Les familles de Copules • Famille des copules Archimédiennes • Copule de Gumbel : Dépendances positives et plus accentuées sur la queue supérieure. • Copule de Frank : Dépendances aussi bien positives que négatives • Copule de Clayton : Dépendances positives. Et particulièrement sur les événements à faible intensité • Copule HRT : Dépendance sur des événements extrêmes de forte intensité (structure de dépendance inversée par apport à la copule de Clayton) • Famille des copules Elliptiques : elle s’applique à des distributions symétriques. • Copule Gaussienne • Copule de Student • Il existe différents types de copules • Chaque copule exprime une structure de dépendance différente • Dépendance dans les valeurs petites • Dépendance dans les valeurs extrêmes • Dépendance de queue • Dépendance positive ou négative…. 10

11. Dépendogramme • Les dépendogrammes permettent d’appréhender de manière graphique la structure de dépendance entre 2 variables aléatoire. • Méthodologie d’obtention : • Nuage de points des marges uniformes (U1,U2) extraits d’un échantillon ou résultant des simulations d’une copule théorique. • Les marges uniformes extraites de l’échantillon correspondent au classement par rang des marginales. 11

12. Dépendogramme selon le type de Copule • Exemples de familles de copules en dimension 2 GUMBEL HRT CLAYTON FRANK NORMALE STUDENT 12

13. Exemple de processus d’estimation d’une Copule • Disposer des deux vecteurs observés pour les deux variables dont on étudie la dépendance • Estimer le paramètre de chaque copule à l’aide de l’estimateur du taux de Kendall (Gumbel, Clayton, HRT, Frank, Student, Normale) • cf annexe 1: taux de Kendall selon chaque copule – • cf annexe 2 : estimateur empirique du taux de Kendall • Représentation graphique des (ui,vi) obtenu avec les paramètres estimés et les (ui,vi) empiriques 13

14. Exemple de processus d’estimation d’une Copule (suite) Choix de la « meilleure » copule : Par adéquation graphique : Comparaison du dépendogramme empirique avec les dépendogrammes théoriques Utilisation du test de Kolmogorov Smirnov Comparaison de la fonction K(z) empirique avec la fonction K(z) théorique de chacune des familles. La fonction K(z) est ni plus ni moins la fonction de répartition de la copule C(U,V). Test de Kolmogorov Smirnov et calcule de de manière à choisir la copule adéquate. 14

15. Etude d’un Cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : info@altia.fr

16. Application Pratique • Les données • Triangles de liquidation des paiements (en flux) d’une branche longue • Triangles de liquidation des recours (en flux) de la même branche longue • 12 années d’historique • Objectif : calculer les provisions nettes de recours selon que l’on considère qu’il y a indépendance ou non 16

17. Application Pratique (best estimate, var 90%...) selon trois méthodes Provision brutes – provisions de recours, en considérant que les résidus des deux triangles sont indépendants Provisions brutes – provisions nettes de recours en considérant que les résidus des deux triangles sont dépendants Provisions nettes de recours sur le triangle des paiements nets de recours Méthode de projections des triangles – Bootstrap Dépendance entre les triangles modélisée au niveau des résidus de Pearson de deux triangles 17

18. Application Pratique - Résultats Dépendogramme des résidus: Nombre des points=78 (triangle 12x12) Corrélation de Pearson=0,563 taux de Kendall= 0,413 18

19. Application Pratique - Résultats Calibration d’une copula et le test d’ajustement L’estimation du paramètre de la copule: La méthode du pseudo-maximum de vraisemblance La méthode des moments: (tau de Kendall) Test d’ajustement de la copule: Test basé sur la statistique de Cramer-von-Mises et le processus empirique de copules 19

20. Application Pratique - Résultats Les résidus et les copula retenues - dépondogrammes 20

21. Application Pratique - Résultats Résultats de projections: 21

22. Application Pratique - Résultats Résultats de projections: Les calculs statistiques: Logiciel R (package ChainLadder et package copula) + les développements internes d'ALTIA 22

23. Conclusion ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : info@altia.fr

24. Importance de la mesure des dépendances : retour d’expérience • Paramétrage et données • Homogénéité des données et des comportements • Valeurs extrêmes • Mesure de la dépendance • Le choix de la copule • La dépendance des extrêmes • Les crises de corrélation

25. Annexes ALTIA – 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tél : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : info@altia.fr

26. Annexe 1 : Formules mathématiques Formules des différentes copules Copule HRT Copule Normale 26

27. Annexe 1 : formules mathématiques (suite) Copule de Student: Les propriétés du tau de Kendal: Si X et Y sont comonotones alors Si X et Y sont contremonotones alors Si X et Y sont indépendantes alors Il existe une formule fermée théorique déterminée en fonction de la copule (et de son paramètre) 27

28. Annexe 2 : Estimation du Paramètre de Kendall par la méthode des moments Le tau de Kendall correspond à la probabilité de concordance moins celle de discordance. Méthodologie de calcul : Tau de kendall empirique : Il suffit de compter le nombre de paires concordantes nc, de retrancher le nombre de paires discordantes nd, puis de diviser le tout par le nombre total de paires possibles. deux paires (x1,y1), (x2,y2) sont concordantes si: x1<x2 and y1<y2 or x1>x2 and y1>y2 (ou si : (x1-x2)*(y1-y2)>0) Afin d’estimer le paramètre â par la méthode des moments, il s’agit de calculer le coefficient de Kendall empirique, puis d’utiliser la formule fermée de manière à résoudre l’équation dans laquelle â est l’inconnue. 28

29. Annexe 2 : Méthode d’estimation du taux de Kendall Exemple de calcul : Kendall’s tau can be estimated directly by using the raw data: where nc is the number of concordant pairs, and nd is the number of discordant pairs in the data set Exemples de Méthode d’estimation : Méthode des moments (inversion du tau de Kendall) Maximum de vraisemblance Inference Functions for Margins (IFM) Canonical Maximum Likelihood (CML) Statistique de Crener von mises ? …. 29

30. Annexe 3 :Méthode du Bootstrap Les étapes de la méthode du Bootstrap Soit X1, X2 ,..., XN un échantillon de N variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. étape1 On effectue N tirages aléatoires avec remise dans l’échantillon et on obtient unpseudo échantillon de taille N. Exemple: N=5 (X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1) étape2 On répète étape1 B fois, où B est grand. On obtient alors B pseudo échantillons. Exemple: N=5, B=3 X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3) 30

31. Annexe 3 : Principe du Bootstrap étape3 Pour chaque pseudo échantillon X(j) on calcule un estimateur T(X(j)) (j=1,..,B) d’un paramètre d’intérêt (inconnu). L’estimateur du bootstrap est calculée par : Exemple: N=5,B=3,q -variance de X1,T- estimateur de q , c.à.d. X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3) 31

32. Annexe 3 : Principe du Bootstrap Exemple: N=5,B=3,q -variance de X1,T- estimateur de q X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3) Pour X(1), X(2), X(3) on calcule T(X(1)), T(X(2)), T(X(3)). 32

33. Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation Hypothèses du modèle: On suppose que les variables Cij (paiements) sont indépendantes et suivent la loi de Poisson Surdispersé avec des paramètres: E(Cij)= Cij* Var(Cij)= Φ*Cij* Dans l’application classique du ré-échantillonnage, les données sont supposées indépendantes et identiquement distribuées. Cependant les variables Cij (paiements) sont supposées indépendantes mais pas identiquement distribuées. Par conséquent, la méthode sera appliquée non pas directement aux variables Cij mais aux résidus définis de façon qu’ils soient indépendants et identiquement distribués. 33

34. Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation Hypothèses du modèle – Applications des Copules Par conséquent, la méthode sera appliquée non pas directement aux variables Cij mais aux résidus définis de façon qu’ils soient indépendants et identiquement distribués. Dans ce modelé la copule C (inconnue, à estimer) modélisera la dépendance entre les résidus de deux triangles de liquidation: Mathématiquement la copule C sera associé à la loi jointe des résidus: 34

35. Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 35

36. Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 36

37. Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 37

38. Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 38

39. Annexe 4 : Dépendogramme • Etape 1 : «Transformation» des marginales en couples uniformes en utilisant la classification par rang • Dépendogramme empirique : • U est la transformation uniforme du CAC • V est la transformation uniforme du taux de chômage • Etape 2 : Estimation du paramètre â pour chaque famille de copule à l’aide de la méthode des moments • Etape 3 : Représentation graphique des dépendogrammes • Etape 4 : Représentation graphique de la fonction K(z) empirique et comparaison avec la fonction K(z) théorique de chacune des familles • Etape 5 : Choix de la copule en se fixant un critère de décision. 39