Funciones Racionales

1. Funciones Polinómicas y Racionales Funciones Racionales

2. Objetivos • Reconocer una función racional. • Hallar el dominio de una función racional. • Buscar los huecos de una función racional. • Identificar las asíntotas de una función racional. • Asíntotas Verticales • Asíntotas Horizontales • Asíntotas Oblicuas • Otras Asíntotas • Describir las características de una función racional. • Dibujar la gráfica de una función racional.

3. Función Racional Una función racional es aquella que tiene polinomios en el numerador y en el denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : grado n grado m El grado del numerador es y el grado de denominador es . Por tener variables en su denominador el dominio de la función tiene que excluir los valores que la hacen indefinida.

4. Dominio de la Función Racional El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable . El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. Por ejemplo en la función racional el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el ___ y ___. Dominio de :

5. Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1 Práctica

6. Dominio de la Función Racional • Práctica: Halle el dominio de las siguientes funciones. 1. 2. 3. Dominio: Dominio: Dominio:

7. Función Racional La función racional más simple es su gráfica la conocemos Los extremos de su gráfica tienden a pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le llamamos comportamiento asintótico, esto se debe a los valores excluidos en el dominio, y el alcance, . f(x) 6 5 Al calcular a que valor se acerca la variable en la medida que es cada vez más grande obtenemos 0, lo cual llamamos el limite de en los infinitos. Así también el valor de cuando es cada vez más pequeña provoca un número cada vez más grande (tiende a infinito) lo que llamamos el límite de cuando se acerca a cero. 4 3 2 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 Nota: Las asíntotas se pintan entrecortadas para diferenciarlas de la curva que forma la gráfica de la función. -2 -3 -4 -5 -6

8. Asíntotas de la Función Racional Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o ) tiende al infinito. Si, tenemos que sus asíntotas pueden ser… R(x) 6 5 Asíntotas Verticales 4 3 2 1 • Asíntotas Horizontales x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 • Asíntotas Oblicuas u Otras -4 -5 -6

9. Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si se acerca a un número real , y el valor de tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta es una asíntota vertical de la gráfica de . La función tiende a infinito según se acerca a un número por la izquierda o la derecha. R(x) R(x) 6 6 asíntota vertical 5 5 4 4 3 3 2 2 La función tiende a infinito según se acerca a un número por la izquierda o la derecha. 1 1 x x -7 -7 -6 -6 -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 -1 -1 -2 -2 -3 -3 Estas existen en los valores de la variable que hacen cero el denominador. Veamos… -4 -4 -5 -5 -6 -6

10. Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Una función racional, , en forma simplificada, tiene una asíntota vertical en , si es un factor del denominador . Para que sea una asíntota vertical pero . • Nota: • Si la función racional simplifica, entonces el cero de este factor es un HUECO en la gráfica de la función. Teorema de las Asíntotas Verticales

11. Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales yhuecos(si alguno) de la siguiente función racional. • Solución: Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. • Luego se iguala a cero el denominador para obtener las asíntotas verticales. Si la función simplificó se iguala a cero el factor simplificado para obtener el valor de donde ocurre el hueco. la gráfica tiene una asíntota vertical en y un hueco en .

12. Asíntotas Horizontales (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Si tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de se acerca a un número fijo , entonces la recta es la asíntota horizontal de la gráfica de la función . La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando tiende a infinito. R(x) R(x) 6 6 asíntota horizontal 5 5 4 4 3 3 La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando tiende a infinito. 2 2 1 1 x x -7 -7 -6 -6 -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 -1 -1 Los valores de la variable que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, y respectivamente (numerador y denominador) veamos… -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6

13. Asíntotas Horizontales (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Criterios Asíntotas horizontales i) Si entonces, es su asíntota horizontal (el eje de ) ii) Si entonces, es su asíntota horizontal iii) Si entonces, no existe asíntota horizontal Recordar En la función el grado del numerador es y el grado de denominador es . El coeficiente principal del numerador es mientras que el coeficiente principal del denominador es .

14. Asíntotas Horizontales (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales. a) Identificar el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. y , por lo tanto la asíntota horizontal es . Como es menor que aplica el criterio Comparar para identificar el criterio que aplica al buscar la asíntota horizontal. b) y según el criterio determinado se busca la asíntota horizontal. Como es igual que aplica el criterio , por lo tanto la asíntota horizontal es • Nota: • es el coeficiente principal del numerador • es el coeficiente principal del denominador

15. Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si y tienden a positivo infinito o negativo infinito. La función se acerca por arriba o debajo de una recta según y tienden a infinito. R(x) R(x) 6 6 asíntota oblicua 5 5 4 4 3 3 La función se acerca por arriba o debajo de una recta según y tienden a infinito. 2 2 1 1 x x -7 -7 -6 -6 -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 -1 -1 -2 -2 Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6

16. Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras a) Si hay AsíntotaOblicua (rectascrecientes o decrecientes) b) Si hay AsíntotaCuadrática (forma parábola) c) Si hay AsíntotaCúbica (forma cúbica) d)Si hay Asíntota Polinómica y asísucesivamente. Para hallar estas asíntota tenemos que dividir los polinomios como lo indica la función será la asíntota a ser pintada en la gráfica. Recuerde que los polinomios se suelen dividir utilizando la división larga.

17. Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra de . Solución: Se Coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Los términos que faltan en el dividendo se escriben con coeficientes cero. Construir la casita de división. Igual a multiplicado por Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor. dividido por Se Multiplica el término del cociente por todos los términos del divisor. Como se resta se busca el opuesto de todos los términos. Se suma verticalmente y se divide el primer término de la suma con el primer término del divisor.Se repite el proceso hasta que no se pueda continuar dividiendo. • La asíntota es oblicua porque el grado del cociente es uno, esta es . El cociente de la división es la asíntota oblicua u otra dependiendo del grado de este.

18. Asíntotas Función Racional Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función Solución: Factorizar y simplificar si es posible f(x) 6 5 4 Sus asíntotas son: 3 2 , Asíntota vertical: hueco En la gráfica: 1 Asíntota horizontal: x -7 -6 -5 -4 -3 -1 2 3 4 5 6 7 -2 1 -1 criterio . Por lo tanto no hay Asíntota Horizontal : -2 -3 Asíntota Oblicua: -4 -5 , es el cociente -6

19. Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 2 Práctica

20. Asíntotas Función Racional Práctica: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de las siguientes funciones. • Asíntota vertical: • Huecos: no hay huecos • Asíntota horizontal: b) • Asíntotas verticales: y • Huecos: • Asíntota horizontal: no hay asíntotas horizontales • Asíntota cuadrática:

21. Gráfica Función Racional • Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional • Factorizar numerador y denominador. • Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos. • Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo. • Haga una prueba de corte • Hallar las intersecciones en ambos ejes. • Estudiar los intervalos dónde y dónde . • Trazado de la gráfica de la función racional.

22. Gráfica Función Racional Ejemplo: Trace la gráfica de la función Solución: Gráfica: Asíntotas verticales: no hay huecos 8 Asíntota horizontal, oblicua u otra: , no hay otras asíntotas y Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Las intersecciones son: : : x Signos función en los intervalos:

23. Gráfica Función Racional Ejemplo: Trace la gráfica de la función Solución: Forma factorizada Gráfica: Asíntotas verticales: , hueco 8 Asíntota horizontal, oblicua u otra: , no hay otras asíntotas Prueba de corte: La asíntota se interseca en . Las intersecciones son: : : no hay intercepto Signos función en los intervalos:

24. Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de las páginas 3-5 Práctica

25. Gráfica Función Racional Práctica: ¿Cuál de las siguientes es la gráfica de ? Explique. a) b) f(x) f(x) f(x) f(x) 12 12 12 12 10 10 10 10 8 8 8 8 c) d) 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2 2 2 x x x x 14 14 14 14 12 12 12 12 -14 -14 -14 -14 6 6 6 6 -4 -4 -4 -4 -12 -12 -12 -12 10 10 10 10 -10 -10 -10 -10 -8 -8 -8 -8 -6 -6 -6 -6 -2 -2 -2 -2 2 2 2 2 4 4 4 4 8 8 8 8 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 -6 -6 -6 -6 -8 -8 -8 -8 -10 -10 -10 -10 -12 -12 -12 -12

26. Gráfica Función Racional Práctica: Trace la gráfica de la función Solución: Gráfica: Asíntotas verticales: y no hay huecos 8 Asíntota horizontal, oblicua u otra: No hay asíntota horizontal Hay asíntota oblicua: y Prueba de corte: corta la asíntota oblicua en Las intersecciones son: :, : x Signos función en los intervalos:

27. Gráfica Función Racional Práctica: Trace la gráfica de la función Solución: Forma factorizada Gráfica: Asíntotas verticales: hay hueco en 8 Asíntota horizontal, oblicua u otra: , no hay otras asíntotas Prueba de corte: La asíntota se interseca en . Las intersecciones son: : , : Signos función en los intervalos:

28. Mapa Funciones Racionales • Intercepto • Oblicua • otras • Huecos • Horizontal • Vertical