Propiedades de las Funciones

1. Funciones Propiedades de las Funciones

2. Objetivos

3. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

4. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

5. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

6. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

7. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

8. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

9. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

10. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

11. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

12. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

13. Objetivos • Identificar si una gráfica representa una función. • Obtener información de la gráfica de una función. • Identificar el dominio y el alcance • Intersecciones con los ejes • Puntos de cambio • Hallar el valor de la función para algún valor particular de . • Describir comportamientos observables de la función. • Puntos máximos y mínimos • Intervalos donde la función crece, decrece y constante • Intervalos donde la función es positiva y negativa • Identificar si una función tiene simetría par o impar.

14. Propiedades de las funciones Toda representación de una función tiene una relación entre sus variables. Al conjunto de características de cada relación le llamamos propiedades de las funciones.

15. Propiedades de las funciones Toda representación de una función tiene una relación entre sus variables. Al conjunto de características de cada relación le llamamos propiedades de las funciones. Estas características repercuten en la representación gráfica de cualquier función.

16. Propiedades de las funciones Toda representación de una función tiene una relación entre sus variables. Al conjunto de características de cada relación le llamamos propiedades de las funciones. Estas características repercuten en la representación gráfica de cualquier función. Si es una función con dominio A, entonces la gráfica de es el conjunto de pares ordenados . f(A) A (abcisa)

17. Propiedades de las funciones Toda representación de una función tiene una relación entre sus variables. Al conjunto de características de cada relación le llamamos propiedades de las funciones Estas características repercuten en la representación gráfica de cualquier función. Si es una función con dominio A, entonces la gráfica de es el conjunto de pares ordenados . f(A) Nota: La gráfica de es el conjunto de los puntos tales que ; es decir, la gráfica de la ecuación . La gráfica de una función se puede construir evaluando algunos valores de , localizándolos y uniéndolos formando así su gráfica. A (abcisa)

18. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función .

19. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función.

20. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos.

21. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos.

22. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 3

23. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 1 3

24. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 1 3 -1

25. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 1 3 -1 1

26. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 1 3 -1 1 3

27. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 1 3 -1 1 3 Localizamos los puntos tabulados en el sistema rectangular y los unimos para formar la gráfica de la función.

28. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 1 3 -1 1 3 3 2 Localizamos los puntos tabulados en el sistema rectangular y los unimos para formar la gráfica de la función. 1 x 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6

29. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 1 3 -1 1 3 3 2 Localizamos los puntos tabulados en el sistema rectangular y los unimos para formar la gráfica de la función. 1 x 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6

30. Construir Gráficas Funciones Ejemplo: Construir la gráfica de la función . Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 1 3 -1 1 3 3 2 Localizamos los puntos tabulados en el sistema rectangular y los unimos para formar la gráfica de la función. 1 x 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 La gráfica de esta función tiene forma de V. -4 -5 -6

31. Práctica Buscar el Manual de práctica Trabajar los ejercicios de la página 1

32. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes.

33. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función.

34. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos.

35. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5

36. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 0

37. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 0 -3

38. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 0 -3 -4

39. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 0 -3 -4 0

40. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 5 0 -3 -4 0 3 2 Localizar los puntos en el sistema y trazar la gráfica pasando por estos. 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6

41. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 5 0 -3 -4 0 3 2 Localizar los puntos en el sistema y trazar la gráfica pasando por estos. 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6

42. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 5 0 -3 -4 0 3 2 Localizar los puntos en el sistema y trazar la gráfica pasando por estos. 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6

43. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 5 0 -3 -4 0 3 2 Localizar los puntos en el sistema y trazar la gráfica pasando por estos. 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 La gráfica tiene punto de cambio en . -3 -4 -5 -6

44. Construir Gráficas Funciones Práctica: Dibujar la gráfica de y determine los puntos de cambio y las intersecciones en los ejes. Solución: Seleccionamos los valores de a utilizar en la evaluación de la función. f(x) 6 Evaluamos la función para estos valores y los tabulamos. 5 4 5 0 -3 -4 0 3 2 Localizar los puntos en el sistema y trazar la gráfica pasando por estos. 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 Las intersecciones están en los puntos y . La gráfica tiene punto de cambio en . -3 -4 -5 -6

45. Regla de la recta vertical

46. Regla de la recta vertical La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si una gráfica representa una función.

47. Regla de la recta vertical La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si una gráfica representa una función. La regla consiste en trazar rectas verticales a través de la gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una sola vez decimos que la gráfica representa una función.

48. Regla de la recta vertical La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si una gráfica representa una función. La regla consiste en trazar rectas verticales a través de la gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una sola vez decimos que la gráfica representa una función. f(x) f(x) f(x) Observar: 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x -7 -7 -7 -6 -6 -6 -5 -5 -5 -4 -4 -4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -6 -6 -6

49. Regla de la recta vertical La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si una gráfica representa una función. La regla consiste en trazar rectas verticales a través de la gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una sola vez decimos que la gráfica representa una función. f(x) f(x) f(x) Observar: 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x -7 -7 -7 -6 -6 -6 -5 -5 -5 -4 -4 -4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 -1 -1 -1 -2 -2 -2 La gráfica no representa una función porque una de las rectas cruza la curva más de una vez. -3 -3 -3 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -6 -6 -6

50. Regla de la recta vertical La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si una gráfica representa una función. La regla consiste en trazar rectas verticales a través de la gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una sola vez decimos que la gráfica representa una función. f(x) f(x) f(x) Observar: 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x -7 -7 -7 -6 -6 -6 -5 -5 -5 -4 -4 -4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 -1 -1 -1 -2 -2 -2 La gráfica no representa una función porque una de las rectas cruza la curva más de una vez. La gráfica representa una función porque las rectas cruzan la curva una sola vez. -3 -3 -3 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -6 -6 -6