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Operazioni sui grafici<br>Bestiario delle funzioni reali
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OPERAZIONI SUI GRAFICI
TRASLAZIONE VERTICALE y = f(x) + aa R il grafico di f(x) subisce una TRASLAZIONE VERTICALE di “a” unità - verso l’alto se a > 0 - verso il basso se a < 0 + a y = x y = x + 30 y = x - 30 +30 -30
TRASLAZIONE ORIZZONTALE y = f(x + a) a R il grafico di f(x) subisce una TRASLAZIONE ORIZZONTALE di “a” unità - verso SINISTRA se a > 0 - verso DESTRA se a < 0 y = x3 y = (x+3)3 y = (x-8) 3 +3 -8 + a
DILATAZIONI y = k f (x) k R se k>1il grafico si STIRA in direzione verticale, dilatando verso l’alto le ordinate positive e verso il basso quelle negative se 0<k<1 il grafico si CONTRAE nella direzione verticale se k=1 c’è una RIFLESSIONE rispetto all’asse x se k<0 c’è una RIFLESSIONEe una DIALATAZIONE rispetto all’asse x Dal punto di vista geometrico se |k|>1 → dilatazione se |k|< 1 → contrazione se k<0→ riflessione rispetto all’asse x
DILATAZIONI y = kf (x) y = senx y = 3senx y = 0,3senx y= -senx |k|>1 dilatazione |k|<1 contrazione
DILATAZIONI y = kf (x) y = x3 - x y = 4(x3 - x) y = 0,4(x3- x) y = - (x3- x)
CAMBIAMENTO DI SCALA y = f (k x) k R produce un cambiamento di scala di f(x) se k>1kx cresce più rapidamente di x → il grafico di f(kx) è simile a quello di f(x) ma con oscillazioni più rapide → risulta COMPRESSO in direzione orrizzontale di 1/k se0<k<1 il grafico appare DILATATO in direzione orizzontale se k<0 c’è una RIFLESSIONE rispetto all’asse y y = senxy = sen(3x) y = sen(x/3) y = sen(-x)
OPERAZIONI SUI GRAFICI DILATAZIONE CAMBIAMENTO DI SCALA
VALORE ASSOLUTO Si chiama valore assoluto del numero reale a o modulo di a il numero non negativo così definito: dalla definizione segue: vale la diseguaglianza triangolare Proprietà:
OPERAZIONI SUI GRAFICI: IL VALORE ASSOLUTO y = | f ( x)| nel passare dal grafico di f a quello di | f | : - i punti ordinata non negativa restano inalterati - quelli di ordinata negativa sono trasformati nei loro simmetrici rispetto all’asse delle x f (x) = x3-x f (x) = x f (x)= | x | f (x) = | x3-x |
OPERAZIONI SUI GRAFICI: IL VALORE ASSOLUTO f (x)= cosx f (x) = | cosx |
OPERAZIONI SUI GRAFICI: IL VALORE ASSOLUTO f (x) = | logx |
OPERAZIONI SUI GRAFICI: IL VALORE ASSOLUTO y = f (| x|) per x0 |x|=x → nel sempiano destro i due grafici coincidono per x<0 |x|= |x| la funzione y = f (| x|) è una funzione PARI, cioè simmetrica rispetto all’asse delle ordinate f (x)= logx f (x)= x3-x f (x)= log | x | f (x) = |x|3-|x|
OPERAZIONI SUI GRAFICI: IL VALORE ASSOLUTO f (x) = e|x| la parte corrispondente ai valori negativi di x si ottiene considerando la simmetria rispettoa x=0
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Funzioni Algebriche Trascendenti • - trigonometriche • - esponenziali • - logaritmiche Razionali Irrazionali la variabile indipendente compare sotto il segno di radice Intere le funzioni polinomiali Se il polinomio è di primo grado sono dette LINEARI Intere Fratte Fratte espresse mediante quozienti di polinomi
DOMINIO DI FUNZIONI Data la funzione y=f(x) il DOMINIO o campo di esistenza o insieme di definizione della y=f(x) è l’insieme dei valori di x per i quali l’espressione y=f(x)ha significato.
FUNZIONI LINEARI Relazioni di proporzionalità: il loro valore cambia in modo proporzionale alla variazione dell’argomento f (x) = mx + q m : coefficiente angolare m = tan q : intercetta y m > 0 → I e III quadrante m < 0 → II e IV quadrante m = 0 → retta asse x Attenzione: Le rette verticali del tipo x = x0 NON sono funzioni!! m O x q
FUNZIONI LINEARI MONOTONIA • Nel caso di una funzione lineare f(x) = mx + q con m = y/x • se m>0 → x>0 implica y>0 f è strettamente crescente • se m<0 → x>0 implica y<0 f è strettamente decrescente se m=0 → x 0 implica y=0 f è costante
FUNZIONI LINEARI MINIMI E MASSIMI Una funzione - strettamente monotona - in un intervallo chiuso → ha un unico punto di minimo e un unico punto di massimo • Osservato che le funzioni lineari in un INTERVALLO CHIUSOsono sempre • strettamente monotone per m 0 • se m>0 → f(x) = mx + q è strettamente crescente in [a, b] • a = min • b = max se m<0 → f(x) = mx + q è strettamente decrescente in [a, b] a = max b = min a b Su di un Intervallo APERTOo ILLIMITATO (semirette o rette) max e min potrebbero non esistere es: y= 3x +1 in R* non ha né max né min così come non ha né max né min in qualsiasi intervallo aperto ad es. (0, 1) a b
FUNZIONI LINEARI in R COMPORTAMENTO ALL’ INFINITO f : R → R con f = mx + q se m > 0 G > 0 , xo R+ : se x xo > 0 f(x) G la f(x) DIVERGE G > 0 , R-: se x < < 0 f(x) < G la f(x) DIVERGE se m < 0 la situazione si inverte
FUNZIONI LINEARI in R f1: R → R con f 1= m1x + q1 f2: R → R con f 2= m2x + q2 CONDIZIONE DI PARALLELISMO CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ EQUAZIONE DELLA RETTA PER DUE PUNTI P1(x1, y1) e P2(x2,y2)
FUNZIONI QUADRATICHE y =f(x) = ax2 + bx + c con a, b, c R e a 0 il grafico corrispondente è una curva dettaPARABOLA a>0 ha un solopunto di minimo ed è una curva convessa a<0ha un solopunto di massimo ed è una curva concava tale punto è il VERTICE della pbr • a è la larghezza della parabola • a>1 la pbr è più stretta • 0<a<1 la pbr è più larga
FUNZIONI QUADRATICHE: intersezione con l’asse y y =f(x) = ax2+ bx + c se x=0 → f(0)=c la pbr interseca l’asse delle ordinate in P(0, c)
FUNZIONI QUADRATICHE: asse di simmetria • y =f(x) = ax2+ bx + c • il grafico è una curva simmetrica rispetto all’asse verticale x = b/2a : • presi due punti distinti , x1 x2, • che hanno stessa distanza dall’asse di simmetria • ma da lati opposti: x2 x1 -k +k
FUNZIONI QUADRATICHE: monotonia • y =f(x) = ax2+ bx + c con a > 0 • la f è strettamente decrescentein (-, -b/2a] = (-, xV] • la f è strettamente crescentein [-b/2a, + ) = [xV, + ) a > 0
FUNZIONI QUADRATICHE: convessità y =f(x) = ax2+ bx + c con a > 0 la funzione ha concavità verso l’alto = convessa a > 0
FUNZIONI QUADRATICHE: x → y =f(x) = ax2+ bx + c M > 0 x0R : 0 >x > x0 f(x) > M M > 0 x0R : x < x0 < 0 f(x) > M quando x diventa sufficientemente grande in valore assoluto | x | → + se a>0 f(x) diventa arbitrariamente grande se a<0 f(x) diventa arbitrariamente piccola (negativa) K > 0 x0R : | x | > x0 f(x) < K
FUNZIONI POLINOMIALI • f : R → R funzione polinomiale o intera e razionale • n grado del polinomio • a0, a1… an R coefficienti del polinomio • an coefficiente direttivo • per |x| il termine anxn predomina sugli altri • al punto da determinare il comportamento della f(x)
FUNZIONI POLINOMIALI • il grafico di un polinomio di grado nè completamente determinato quando sono noti n+1 punti distinti A0, A1… An • trovare il polinomio f(x) di grado n il cui grafico passi per gli n+1 punti assegnati significa risolvere il sistema lineare • di n+1 equazioni in n+1 incognite a0, a1… an:
FUNZIONI RAZIONALI FRATTE • f : R → R è il rapporto tra due polinomi • a0…an, b0… bm R an 0 e bm 0 • m1, se m=0 la funzione si riduce a un polinomio
FUNZIONI LINEARI FRATTE funzione potenza • f : R → R è il rapporto tra due polinomi • rappresenta una relazione di proporzionalità inversa • il generico punto P(x, y) xy = k • il prodotto tra l’argomento e il valore della funzione è costante • per determinare la f è sufficiente conoscere un punto P(x0, y0): x0 y0 = k
FUNZIONI LINEARI FRATTE: punti singolari funzione potenza il dominio: R \ 0 x0=0PUNTO DI SINGOLARITÀ • nei pressi di x0=0 • se k>0 x>0→ M > 0 >0 : 0 < x < f(x) > M • se k>0 x<0→ M > 0 >0 : < x < 0 f(x) < M l’asse x=0 ASINTOTO VERTICALE
FUNZIONI LINEARI FRATTE: la monotonia funzione potenza f : R → R • lontano da x0=0 • (0, ) f(x) è STRETTAMENTE DECRESCENTE e POS • lontano da x0=0 • (, 0) f(x) è STRETTAMENTE DECRESCENTE e NEG
FUNZIONI LINEARI FRATTE: asintoti orizzontali funzione potenza • x k>0 • al crescere di | x | f(x) diventa arbitrariamente piccola : • > 0 G >0 : | x | > G | f(x) 0 | < l’asse delle ascisse è un ASINTOTO ORIZZONTALE di f IPERBOLI EQUILATERE
FUNZIONI LINEARI FRATTE funzione potenza • IN SINTESI (per k>0) • in x=0 non è definita punto di SINGOLARITÀ • (-, 0) è una funzione NEGATIVA e STRETTAMENTE DECRESCENTE • (0, +) è una funzione POSITIVAe STRETTAMENTE DECRESCENTE • per x 0+ f(x) + • per x 0- f(x) - • per x - f(x) 0- • per x + f(x) 0+ • P(0, 0) è CENTRO DI SIMMETRIA • x=0 è ASINTOTO VERTICALE • y=0 è ASINTOTO ORIZZONTALE
FUNZIONI LINEARI FRATTE f : R → R può essere riscritta nella forma: del tipo Il grafico di f(x) si può ottenere con le operazioni seguenti a partire da h(x) = 1/x : 0. si moltiplica per 2. si somma alle ordinate 3. si somma alle ascisse
FUNZIONI LINEARI FRATTE • IN SINTESI • f(x) ha una singolarità in inx0 = d/c • il suo grafico è una iperbole equilatera avente • asintoto ORIZZONTALE x = d/c • asintoto VERTICALE y = a/c • centro di simmetria il punto C( d/c, a/c) • se bc-ad>0 è strett.te DECRESCENTE in ( , d/c) ( d/c, +) • se bc-ad<0 è strettamente CRESCENTE ( , d/c) ( d/c, +)
C(-d/c, a/c) y=a/c O x x=-d/c
FUNZIONI RAZIONALI QUALSIASI • OSSERVA • Dato il polinomio • se x0 è una radice ossia A(x0)=0 di molteplicità t • • dove: p(x) è un polinomio di grado « n-t » minore • di quello di An(x) • e tale che pn-t(x0)0
FUNZIONI RAZIONALI QUALSIASI 1. Se x0radice di Q(x) ma non di P(x): Q(x0)=0 e P(x0)0: x0 è una singolarità per f(x)= P(x) / Q(x) 2. Se x0 radice del numeratore con molteplicità h ex0 radice del denominatore con molteplicità s x0 non è una singolarità per f(x) x0 è una singolarità per f(x)
FUNZIONI RAZIONALI QUALSIASI Se f è una funzione razionale con P e Q privi di radici comuni e x0 radice del denominatore con molteplicità r si ha: (x0 è una singolarità per la funzione razionale) con p(x0) 0 q(x0) 0 x=x0 è ASINTOTO VERTICALE
FUNZIONI RAZIONALI QUALSIASI COMPORTAMENTO ALL’INFINITO ASINTOTO ORIZZONTALE ASINTOTO OBLIQUO ???
FUNZIONI POTENZA • DOMINIO • N f(x) è un caso particolare di f.ne polinomiale → D=R • Zf(x) è un caso particolare di f.ne razionale → D=R \0 • Q \ Z ( è un numero razionale non intero) • o R \ Z ( è un numero irrazionale non intero) • >0 →f(x) è definita x0 : R+[0, ) • <0 → f(x) è definita x>0 : R+0 (0, )
FUNZIONI POTENZA con esponente NATURALE n=0 → funzione COSTANTE n è pari→ funzione PARI • con k>0 • x=0 è un minimo • monotona decrescente in (,0] • monotona crescente in [0, ) • convessa in R • n crescente
FUNZIONI POTENZA con esponente NATURALE n è dispari → funzione DISPARI n crescente • con k>0 • la funzione è illimitata • monotona crescente in (, ) • concava(,0] • convessa [0, ) •
FUNZIONI POTENZA con esponente NATURALE ndispari npari Se n è un numero dispari (n=2k+1, kN), la funzione è: strettamente crescentesu tutto R e quindi invertibile il suo grafico è simmetrico rispetto a O concava su (-,0) convessa su (0,+) Se n è un numero pari (n=2k, kN) f è: strettamente decrescente su(-,0) strettamente crescentesu(0,+) pari il grafico è simmetrico rispetto all’asse y convessa su tutto R
