CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

1. CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀDI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

2. Argomenti della lezione • Estensione delle nozioni di continuità e di limite alle funzioni di più variabili • Derivate direzionali e derivate parziali • Differenziale di una funzione di più variabili

3. f : A Rn R Ç Continuità di funzioni

4. è continua in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se per ogni V intorno dif (x0) f : A Rn R Ç esiste U intorno di x0  x  UA è f(x)  V

5. V f(x0) R Rn A U X0

6. f : A Rn R Ç Limite di funzioni

7. ha limite l per x che tende a x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se per ogni V intorno dil f : A Rn R Ç esiste U intorno di x0  x  UA è f(x)  V

8. Una funzione di due variabili non continua in (0,0)T ma con restrizione ad ogni retta per l’origine continua

9. ì 0 se ( x , y )T ( 0 , 0 )T, = ï ï x y f ( x , y ) í = se x2 y 0 . ï + ¹ ï x2 y î +

10. ì ï ï í t se 0 , = 0 ï ï î t f ( t , t ) a a = b b • • • • se t2 t a2 0 + • b ¹ t a2 + b Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x =  t, y =  t, si trova

11. lim f ( t , t ) 0 f ( 0 , 0 ) a = = b Dunque la restrizione alle rette per l’origine è continua t 0

12. Ma la restrizione all’iperbole per l’origine y = k x2/(x -k), con k ≠ 0, ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).

13. Anche il limite della funzione preso lungo l’iperbole vale k ≠ 0 = f(0,0). La funzione non è continua in (0,0)T.

14. Caso k = 2 -0.5 0 0.5 1 1 -0.5 -1 -1.5 -2

16. Derivate direzionali e derivate parziali

17. (x0, y0)T A

18. _____________ lim (x0,y0) = f(x, y0)-f(x0,y0) ∂f ∂x x- x0 xx0 f(x0, y)-f(x0,y0) ∂f lim _____________ (x0,y0) = ∂y yy0 y- y0 Più in generale ∂f (x10 ,..,xk0,.., xn0) = ∂xk f(x0,..,xk,.., xn0) - f(x0,..,xk0,.., xn0) lim ____________________________ = xkxk0 xk - xk0

19. Sia =(1,…, n)T un versore di Rn e sia x(t)= x0+ t una retta passante per x0 e avente direzione . Laderivata dif in direzione , nel punto x0 è data da f(x0+ t)- f(x0) ∂f ____________ (x10 ,..,xk0,.., xn0) lim = ∂ t t0

20. Funzione non continua con tutte le derivate direzionali nulle in (0,0)

21. ì 0 se ( x , y )T ( 0 , 0 )T, = ï ï 2 f ( x , y ) æ ö 2 í x y = ç ÷ se ( x , y )T ( 0 , 0 )T. ï ¹ ç ÷ x 4 y 2 ï + è ø î

22. Sia = (cos , sen)Tetuna retta per l’origine

23.   t cos4 sen2 a a   (cos t, sen f a a t) =  sen2 (cos4 t2+ a a)2 per t≠0, e si ha

24. (cos t , sen t ) f ( 0 , 0 ) f a a × × - lim = t 0 ® t cos4 sen2 t a a × lim 0 . = t 0 ® t2 cos4 ( )2 sen2 a + a ×

25. Ma f(x,y)non è continua nell’origine. Infatti la restrizione alle parabole passanti per l’origine y =x2 ( ≠ 0) ha valore costante:

26. f(x,bx2)=b2/(1+ b2)

28. Differenziale di una funzione di più variabili

29. si dice differenziabile in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se esiste un’ applicazione f : A Rn R Ç lineare L : Rn R tale che f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+e(x)|x- x0| cone(x) 0 se x  x0.