Finanční deriváty

1. Finanční deriváty Smlouvy, jimiž se neobchoduje s podkladovými aktivy, ale právy (=>„obchody s rizikem“). • Hodnota vzniká zprostředkovaně přes hodnotu podkladového aktiva nebo ukazatele. • Existence derivátů zvyšuje efektivitu trhů (větší likvidita, nižší transakční náklady); jsou výhodné k zajišťování rizik i ke spekulaci. • Obchodují se prostřednictvím burz a brokerů (=>standardizace, vysoká likvidita) nebo tvoří na míru klientům (tzv. „OTC deriváty“=>mohou mít jakékoliv požadované charakteristiky). ŘÍZENÍ RIZIK I

2. Základní typy finančních derivátů • Termínové obchody (a futures): Vypořádání nákupu či prodeje v budoucnosti za pevných podmínek. • Swapy: Výměna určitého aktiva za jiné na pevně stanovenou dobu; zvláštním typem jsou tzv. repo operace - dohody o prodeji a zpětném nákupu (swap lze interpretovat jako kombinaci promptních a termínových obchodů). • Opce: Právo jedné ze smluvních stran na budoucí uskutečnění obchodu za pevných podmínek. ŘÍZENÍ RIZIK I

3. Termínové obchody Smlouva, na jejímž základě se obchod vypořádá v budoucnosti za pevně stanovených podmínek. • Smlouva je dána typem a množstvím podklad. aktiva, termínem dodání a cenou při dodání. • Futures jsou termínové obchody se standardními podmínkami, obchodované na finančních trzích. Protistranou je zde burza (to zvyšuje likviditu, snižuje riziko vypořádání) a zpravidla nedochází k fyzickému dodání aktiva (před vypořádáním se smlouva prodá nebo se její hodnota vyplatí v penězích). ŘÍZENÍ RIZIK I

4. Ocenění termínových obchodů U termínových obchodů je snadná replikace; termínová cena závisí na okamžité ceně a nákladu financování (= oček. úrokové a jiné náklady - oček. příjmy z aktiva). • Aktivum bez vlastních příjmů (např. krátkodobě držené akcie, drahé kovy) F = p (1 + rt t) ... nebo ... F = p ert • Aktivum s průběžným zhodnocováním y (např. cizí měny, diskontované úvěry, indexy, komodity) F = p (1 + (rt - y) t) ... nebo ... F = p e(r-y)t • Aktivum s jednorázovými příjmy Y v čase T (akcie) F = p (1 + rt t) – Y (1 + rT-t (t-T)) ... nebo ... F = p ert – Y er(t-T) ŘÍZENÍ RIZIK I

5. Cenová citlivost termínových obchodů V V r-y p Termínový obchod má v okamžiku uzavření nulovou hodnotu. Citlivosti z pohledu kupujícího (tzn. dlouhé pozice v podkl. a.): rizikový faktor změna riz. faktoru změna hodnoty kontraktu cena podklad. aktiva růst růst úroková sazba růst růst výnos podkl. aktiva růst pokles ŘÍZENÍ RIZIK I

6. Příklad - Ocenění pozice ve futures • Obchodník koupil před třemi měsíci futures na prodej akc. indexu S&P 500 za 6 měsíců při ceně F = 1 190 $. Dnešní hodnota indexu pS&P = 1 380 $, bezriziková úroková sazba r$ = 5%, očekávaný roční výnos akc. trhu rS&P = 8%. Jaká je nyní hodnota těchto futures? • Současná hodnota term.ceny F je rovna F/e0,25×(5%-8%) = 1 199 $. (futures vyprší za 3 měsíce, tzn. 0,25 roku) • Index ale dnes může prodat za 1 380 $. Proto by při prodeji realizoval ztrátu V = 1 199 - 1 380 = -181 $. Dlouhá pozice má tedy hodnotu V = p - Fe-t(r-y) = 181 $. Pozn.: Podobný efekt by přinesla koupě akcií, ale s vynaložením značného kapitálu (zde cca 1 000 $). ŘÍZENÍ RIZIK I

7. Opce Smlouva, kde má jedna ze stran právo trvat na budoucím vypořádání obchodu za pevně stanovených podmínek. • Uplatňovací cena (S) • Doba do uplatnění (t) • Kupní opce (call) vs. prodejní (put) opce • Vydavatel opce (short) vs. držitel opce (long) • Evropská opce vs. americká opce; exotické opce • Finanční opce; vestavěné opce; reálné opce ŘÍZENÍ RIZIK I

8. Hodnota opce Vnitřní hodnota (kupní) opce Celková hodnota (kupní) opce V p V Časová hodnota S p v penězích (in-the-money) na penězích (at-the-money) bez peněz (out-of-the-money) Opce (právo) má pro držitele nezápornou hodnotu. rizikový faktor D riz. faktoru kupní opce prodejní opce cena podklad. aktiva růst růst pokles úroková sazba růst růst pokles volatilita podkl. aktiva růst růst růst doba do uplatnění pokles pokles pokles ŘÍZENÍ RIZIK I

9. Opční strategie Steláž(straddle) Škrtič(strangle) V V V V koupě kupní opce koupě kupní opce koupě prodejní opce koupě prodejní opce p p p p Vertikální růstové rozpětí (vertical bull spread) Motýlek (butterfly) koupě kupní opce při S1 prodej prodejní opce při S2 koupě kupní opce prodej VRR koupě VRR prodej kupní opce při S2 koupě prodejní opce při S3 prodej prodejní opce Opční strategie replikují peněžní toky při vypršení opce. ŘÍZENÍ RIZIK I

10. Parita kupní a prodejní opce koupě prodejní opce V p koupě term. kontraktu na podkladové aktivum Kupní opci lze replikovat pomocí prodejní opce a termínového obchodu: Výsledkem je kupní opce. Z této replikace vyplývá, že VC = VP + VF, tzn. VC = VP + p - S e-tr Pozn.: Stačí tedy ocenit (evropskou) kupní opci a cenu prodejní opce z ní lze odvodit. ŘÍZENÍ RIZIK I

11. Oceňování opcí • Na základě binomického modelu rozhodovacího procesu v čase a jeho numerickým řešením: • Rekurzí => Coxův-Rossův-Rubinsteinův model • Simulací => Monte Carlo • Analytickým řešením výsledku dynamického zajišťování => Blackův-Scholesův model a jeho varianty (Mertonův model, Blackův model, Garmanův-Kohlhagenův model). • Binomický model je výpočetně náročnější, ale obecnější (na rozdíl od B-S umožňuje ocenit americké či exotické opce); konverguje k B-S. ŘÍZENÍ RIZIK I

12. Princip binomického modelu Kupní opce: S = 40 na aktivum s p = 32 Kč, které v čase t nabude hodnot d = 16 Kč nebo u = 64 Kč; rt = 2%. 1. Opce bez peněz nebude uplatněna, a tedy Vd = 0 2. Opce v penězích, uplatněna, hodnota Vu = 64 - 40 = 24 • Strukturu příjmů replikujeme N term. obch. na podkl. akt. Aby měly t.o. při ceně podkl. aktiva 16 Kč nulovou hodnotu, musely být vystaveny s term. cenou F = 16. Dnes tedy mají hodnotu VF = p - F/(1+rt) = 16,31 Kč. • Hodnota N term. obch. je při vypořádání obecně rovna VNF = N(FA - F). Protože chceme, aby při FA = u = 64  VNF = 24, musí být N = 24/(64-16) = 0,5. • Opce tedy musí mít hodnotu VC = 0,5×16,31 = 8,16 Kč. ŘÍZENÍ RIZIK I

13. Příklad - binomický model F = 1 100; N = 1 VF = 1157,63 - 1100e-0,25×5% = 71,29 VC = N VF = 71,29 F = 1 000 N = (u - S)/(u - d) = 2,50/102,5 = 0,0244 VF = 1050 - 1000e-0,25×5% = 62,42 VC = N VF = 1,52 N = 0 => VC =0 Kupní opce S = 1 100; p = 1 000; r = 5%; 4 periodický model. ŘÍZENÍ RIZIK I

14. Blackův-Scholesův model Předpokl.: Evropská opce, aktivum bez vl. příjmů, normální rozdělení logaritmických výnosů. VC = p N(d1) - S e-rt N(d2) d1 = [ln(p/S) + (s2/2) t] / (st) d2 = d1 - st Příkl.: p = 500 Kč; S = 510 Kč; r = 3%; t = 3 měs. (=0,25); s = 20% d1 = [ln(500/510)+(0,04/2)×0,25]/(0,2×0,5) = -0,0730 d2 = -0,0730 - 0,2×0,5 = -0,1730 N(d1) = N(-0,0730) = 0,4709; N(d2) = N(-0,1730) = 0,4313 (distribuční funkce normovaného normálního rozdělení) VC = 500×0,4709 - 510×e-20%×0,25×0,4313 = 17,12 Kč VP = VC - p + Se-rt = 17,12-500+510×e-3%×0,25 = 23,31 Kč ŘÍZENÍ RIZIK I

15. Varianty Blackova-Scholesova modelu Mertonova formulace pro aktiva s vlastními příjmy VC = p e-yt N(d1) - S e-rt N(d2) d1 = [ln(p/S) + (r - y + s2/2) t] / (st) d2 = d1 - st Př.: p$ = 25 Kč; S = 24 Kč; r = 3%; y = r$ = 5%; t = 0,5; s$ = 12% (aplikaci na cizí měny se říká Garmanův-Kohlhagenův model) d1 = 0,4057; d2 = 0,3208 N(d1) = 0,6575; N(d2) = 0,6258 VC = 25×e-5%×0,5×0,4057 - 24×e-3%×0,5×0,3208 = 1,24 Kč VP = VC - p + Se-(r-y)t = 0,50 Kč ... pozor, mění se hodnota term. o. Pozn.: Existují i analytické modely pro opce na termín. obchody (Blackův model) a pro jiná statist. rozdělení výnosů. ŘÍZENÍ RIZIK I