FIIFEI-11 Elektromagnetické vlny Optika - geometrická optika.

1. FIIFEI-11 Elektromagnetické vlnyOptika - geometrická optika. http://stein.upce.cz/msfei13.html http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_11.pptl Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)

2. Hlavní body • Úvod do optiky, vlastnosti světla • Vymezení geometrické optiky • Fermatův princip, optický systém • Reflexe a reflexní optika • Refrakce a refrakční optika, disperse • Optické přístroje

3. Maxwellovy rovniceI • Základní elektromagnetické principy lze shrnout do čtyřech Maxwellových rovnic, které existují v několika verzích, a vztahu pro Lorentzovu sílu. • V případě časově neproměnných polí se rozpadají na dvě nezávislé dvojice popisující elektrické a magnetické pole. • Časově proměnná pole jsou spolu vázána a tvoří jedno elektromagnetické pole.

4. Maxwellovy rovniceII

5. Maxwellovy rovnice III • První rovnice je Gaussova věta, kterou známe z elektrostatiky, říká, že : • Existují zdroje elektrického pole – náboje. • Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické siločáry vkladných nábojích (nebo nekonečnu) a končív nábojích záporných(nebo nekonečnu). • Pole bodového náboje klesá jako1/r2.

6. Maxwellovy rovnice IV • Druhá rovnice je Faradayův zákon elektromagnetickéindukce, který říká, že : • Elektrické pole může vznikat také časovou změnou pole magnetického. V tomto případě neníkonzervativní a jeho siločáry jsou uzavřené křivky. • Není-li přítomno časově proměnné magnetické pole, je elektrické pole konzervativní a existuje v něm skalárnípotenciál.

7. Maxwellovy rovniceV • Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu, která říká, že : • Neexistují oddělené zdroje magnetického pole – magnetické monopóly. • Magnetické siločáry jsou uzavřenékřivky. • Pole proudového elementu klesá jako 1/r2.

8. Maxwellovy rovniceVI • Čtvrtá rovnice je zobecněnýAmpérův zákon, který říká, že: • Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo časovýmizměnamielektrickéhopole. • Magnetickésiločáry jsou uzavřenékřivky.

9. Maxwellovy rovniceVII • Shrnutí: • V M. rovnicích a rovnici proLorentzovusílu je veškerá informace o elektromagnetismu. • Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých důsledků, z nichž některé byly předpověděny: • Existuje jednoelektro-magnetické pole. Pouze ve speciálním statickém případě není první dvojice rovnic propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické pole mohou být uvažována zvlášť. • Existujíelektromagnetické vlny.

10. Rovinné elektromagnetické vlny • Důležitýmtypem řešení MRjsourovinnélineárně polarizované. Pohybují-li se ve směru +x, rychlostí c, mohou být pole popsána : E = Ey =E0sin(kx - t) B = Ez =B0sin(kx - t) • E a Bjsou ve fázi • vektory, , tvořípravotočivý systém • Mohou existovat s různou polarizací • vlnové číslo :k = 2/ • úhlová frekvence :  = 2/T = 2f • rychlost vlny : c = f = /k

11. Přenos energie • Pro EMA vlny šířící se obecným směrem platí vektorová definice Poyntingova vektoru: • Pochopitelně je paralelní s . • (t) je energie proudící v určitém okamžiku. Obvykle nás ale zajímá intenzitazáření, což ječasovástředníhodnota<S>.

12. Vytváření EMA vln • Protože měnící se elektrické pole vytváří pole magnetické a naopak, jsou-li jednou taková pole vytvořena, existujídálnezávisle a šíří se od svého zdroje rychlostísvětladoprostoru. • Můžeto být ilustrovánona jednoduchédipólové anténěa střídavémgenerátoru. • Rovinnévlny existují jen daleko (ve srovnání s vlnovou délkou) od antény, kde vymizí rychle klesající dipólové pole.

13. Spektrum EMA vln I • Ukazuje se, že zdánlivě nesrovnatelné jevy, jako jsou radiové vlny, tepelné záření, viditelné světlo, ultrafialové záření, rentgenové záření, paprsky gama a záření kosmické jsou elektromagnetické vlny s různou vlnovoudélkou a energií.

14. Spektrum EMA vln II • Velmirozdílnéjevy jsou způsobeny stejnými EMA vlnami, majícími ‘pouze’ jinou frekvenci: • Radiové vlny > 0.1 m • Mikrovlny 10-1 >  > 10-3 m • Infračervené záření 10-3 >  > 7 10-7 m • Viditelné záření 7 10-7 >  > 4 10-7 m • Ultrafialové záření 4 10-7 >  > 6 10-10 m • Rentgenové záření10-8 >  > 10-12 m • Gama a kosmické záření10-10 >  > 10-14 m

15. Rozhlas aTV • Vevysílačije vlna určité nosné frekvence napřed modulována přenášeným signálem. Obvykle to bývá amplitudově AMnebo frekvenčněFM. Potom je zesílena a přes anténu vyslána do prostoru. • Přijímač musí mít anténu citlivou buď na elektrickounebo magnetickousložku vlny. • Jeho důležitou částí je ladícíobvod, v němž se vybírá správná frekvence přijímaných vln.

16. EMA záření v látkách I • Řešení MAX může být obecně dosti složité. • V nevodivých látkách jsou řešením též elektromagnetické vlny, které se ale šíří menší rychlostí než ve vakuu • Poměr c/v se nazývá indexlomu.Téměř u všech dielektrik (vyjma feromagnetik) je r  1a platí Maxwellův zákon

17. EMA záření v látkáchII plyn nexp vodík 1.00013 1.00013 vzduch 1.000294 1.000293 CO2 1.000482 1.000450 elthylén 1.000692 1.000699

18. EMA záření v látkáchIII [nm] vodanexp 650 8.88 88 8.89 37 8.10 8 8.97 4 9.50 0.00126 1.32 0.000589 1.33

19. Shrnutí vlastností EMA vln • Řešení Maxwellových rovnic bez proudů a nábojů vyhovuje obecnýmvlnovým rovnicím. • Ve vakuu se EMA vlny šíří rychlostí světla c = 3.108 m/s. Šíření v látkách je pomalejší a je určeno hodnotou permitivity při dané frekvenci. • Vektory ( ), , tvoří pravotočivý systém • Amplitudamagnetické indukce je c-krát menší než amplituda elektrické intenzity, ale energii nesou obě pole stejnou! • Pro elektromagnetické vlny platí princip superpozice.

20. Typicky vlnové vlastnosti • Na EMA vlny lze aplikovat Huygensůvprincip(Christian 1629-1695): • Každý bod, kam vlny dospějí, se stává novým zdrojem kulových vln. • Nová vlna je superpozicí těchto kulových vln. • Rovinná vlna, v případě přímočarého šíření je obálkou kulových vln. • V případě překážek dochází k interferenci a difrakci.

21. Dualismus vln a částic • Elektromagnetické vlny projevují řadu vlnových vlastností, ale s rostoucí frekvencí a tedy zkracující se vlnovou délkou se u nich výrazněji projevují vlastnosti částicové - korpuskulární. • Ukazuje se, že energie je kvantovaná a jeden foton nese energii danou Planckovým zákonem:

22. Optika Původně se zabývala vlastnostmi a použitím světla. Nyní je mnohem obecnější

23. Úvod do optiky I • Již od nepaměti si lidstvo klade otázku: Co je světlo? • První důležité objevy byly uskutečněny ve staré Číně a v Antice, cca před třemi tisíci lety. Nyní se naše znalosti dvojnásobí téměř každý rok. Ale nejhlubší poznání se mění pomalu a původní otázka zůstává nezodpovězená.

24. Úvod do optiky II • Dlouhou dobu se věřilo tomu, že světlo je proud jakýchsi mikroskopickýchčástic. Tzv. korpuskulárníteorie, založená na této představě, byla podporována například Isaacem Newtonem (1642-1727). Tento genius ‘dovršil’ lidské poznání v několika oblastech (mechanika, gravitace…). • Přes obrovskou autoritu, kterou měl i po své smrti, se objevily experimenty, které jasně ilustrovaly vlnovévlastnostisvětla. • Zhruba před sto lety se zjistilo, že světlo je přecejen proud částic, ovšem velmi zvláštních, protože se nemohou zastavit a chovají se podle vlnového jízdního řádu.

25. Úvod do optiky III • Existují dvě skupiny experimentů. Jedna podporuje teorii korpuskulární, druhá částicovou. Každá z nich podporuje jednu z těchto představ. • Problém, zda světlo jsou vlny nebo částice se ukázal hlubší, než se původně zdálo a zůstal nevyřešen. Protože světlo nejsou ani klasické vlny ani klasické částice. • Vlnové vlastnosti byly geniálně shrnuty Jamesem Clerkem Maxwellem (1831-1879). • Nyní v řadě aplikací postačuje považovat světlo za elektromagnetické vlny s vlnovou délkou 400 – 700 nm.

26. Úvod do optiky IV • Přenos energie, podobně jako absorpce a emise se uskutečňují po jistých minimálníchkvantech – fotonech. Jsou točástice s celočíselným spinem, tzv. bosony, u nichž není omezení na počet částic ve stejném stavu – laser. • Nicméně pohyb světla přes optické elementy jako čočky, otvory a štěrbiny je řízenvlnovýmivlastnostmi světla.

27. Úvod do optiky V • Ukazuje se, že dualismus vln a částic je základní vlastností mikrosvěta a přijmutí myšlenky, že mikroskopické objekty mohou být částice a „současně“ vlny, je základem kvantovémechaniky. Ta je zatím nejlepší teorií mikrosvěta, která byla do současnosti vybudována. Její pochopení bohužel vyžaduje značné úsilí, především proto, že je nutné se vzdát představ z normálního makrosvěta.

28. Úvod do optiky VI • Díky dualismu vln a částic se značně rozšířila oblast zájmua působení optiky. V současné době se zabývá nejen viditelným světlem, ale obecně vlnami a to nejen elektromagnetickými, ale i částicovými. Významná část optiky se například zabývá zaostřováním typicky částicových objektů jako jsou elektrony nebo neutrony.

29. Hranicegeometrické optiky I • Přestože je optika široká a složitá disciplína, pro mnoho praktických aplikací lze uvažovat první přiblížení – geometrickouoptiku. V ní lze jevy popisovat čistěgeometricky pomocí paprsků, které dědí určité vlastnosti vln: • přímočaré šíření • nezávislost • reciprocita • Geometrická optika přestává být dobrou teorií v okamžiku, kdy začnou hrát významnou roli částicové nebo vlnové vlastnosti světla.

30. Hranicegeometrické optiky II • Typicky vlnovévlastnosti začínají hrát roli, když je velikost optických elementů srovnatelná s vlnovoudélkousvětla. Tato situace nastává vždy u radiových vln a mikrovln. V optice viditelného světla je jeho vlnový charakter limitním faktorem pro rozlišení optickýchpřístrojů. • Částicové vlastnosti elektromagnetických vln se projevují hlavně u vyššíchenergií. Viditelné světlo je bohužel právě na hranici.

31. Hranice geometrické optiky III • Popis geometrickou optikou může být použit tam, kde lze vlnovou délku záření považovat za nulovou, rychlost za nekonečnou a energii za malou vzhledem k použitým materiálům (lze například zanedbat fotoelektrický jev) . • Tyto podmínky obvykle splňuje viditelnésvětlonízkýchintenzit.

32. Základy geometrické optiky I • Prvním důležitým předpokladem je, že se světlo šíří ve formě paprsků. To jsou obecně křivky, podél nichž se šíří zářivá energie. V izotropních a homogenních materiálech jsou paprsky přímkami, které jsou kolmé k vlnoplochám. • V dané aproximaci mohou být tyto křivky studovány čistě geometricky. • Předměty principiálně emitují záření, které pozorujeme. Příčiny emise mohou být různé. V GO obvykle uvažujeme, že předměty ‘odrážejí’ dopadající záření.

33. Základy geometrické optiky II • Je relativně snadné „stopovat paprsky“ (ray tracing), tedy sledovat jejich průchod optickým systémem a vlnoplochy a ostatní parametry zobrazení mohou být rekonstruovány dodatečně. • Paprsky se řídí zákonem reciprocity: prochází-li paprsek (jednoduchým) optickým systémem jedním směrem, může procházet přesně po stejné dráze i směrem opačným. To je jeden z důsledků Fermatovaprincipu.

34. Fermatův princip I • Fermatův princip je vhodný základ pro vysvětlení jednoduchých, ale i těch nejsložitějších optických jevů. Říká: Světlo z bodu S do bodu P musí procházet po optické dráze, která je stacionární vůči variacím dráhy.

35. Fermatův princip II • Vyplývá to z vlnových vlastností záření, kde lze ukázat, že vlny pohybující se po dráhách blízkýchskutečnému chodu paprsku, s ním musí být téměř ve fázi. • Často platí zjednodušená formulace, že skutečná dráha je ta, po níž putuje paprsek nejkratší dobu. • V homogenním a izotropním prostředí se jedná o nejkratšídráhu, což odpovídá přímočarému šíření světla.

36. Ideální optický systém I • Optickým systémem se snažíme zaostřit všechny paprsky vycházející z určitého bodu S v předmětovém prostoru do jediného bodu P v prostoruobrazovém. • Je-li toho dosaženo, říkáme že zobrazení je pro body v těchto prostorech ostré neboli stigmatické. • Ideální optický systém by ostře zobrazoval určitou třírozměrnou podmnožinu předmětového prostoru do jisté třírozměrné oblasti prostoru obrazového. Vzhledem k reciprocitě jsou oba prostory záměnné.

37. Ideální optický systém II • Vlastnosti reálného optického systému by se měly ideálnímu co nejvíce přibližovat. • Navíc by mělo být snadné určit chod paprsků a díky jednoduché parametrizaci by měla existovat jednoduchá rovnice popisující vztah předmětu a obrazu. • Optické systémy jsou založeny na odrazu (reflexi), lomu (refrakci) nebodifrakcizáření.

38. Odraz světla I • K nalezení zákona odrazu na rovné ploše použijme Fermatův princip: • Bod S bude zdroj radiálně se šířících paprsků a bod P bodem pozorování. Protože oba body jsou ve stejném prostředí (homogenním a izotropním), musí být odražený paprsek nejkratší ze všech možných. Najdeme jej, pomocí triku, kdy si promítneme jeden z bodů za zrcadlo a využijeme shodnosti vzniklých trojúhelníků.

39. Odraz světla II • Z jednoduché geometrie plyne, že úhel odrazu se rovná úhlu dopadu. V optice se podle konvence(obvykle) měří úhly od příslušných normál. • Zákon platí pro každý element plochy. • Je-li zrcadlící plocha konečné velikosti hladká, je reflexe spekulární a z bodu P vidíme ostrý obraz bodu S. Není-li plocha hladká je reflexe difúzní (papír, Měsíc). Tu nelze použít k zobrazování, zato však nese jistou informaci o struktuře povrchu.

40. Reflexní optika I • Využití reflexe je jednou z možností konstrukce optických systémů. V tomto případě různé druhy zrcadel k vytváření obrazu jistého předmětu. • Obraz může být buď reálný, pokud jím přímo prochází paprsky nebo zdánlivý (virtuální), pokud pozorovatel pouze vidí paprsky přicházející od obrazu. • Využití reflexe má v současnosti velký význam v rentgenové a neutronové optice a astronomii.

41. Reflexní optika II • Optické elementy obvykle umisťujeme vůči optické osu tak, že je tato osou jeho symetrie. • Místo, kde elementem optická osa ‘prochází’, se nazývá optický střed. (Pozor na satelitní antény!) • Dopadnou-li na ideální zrcadlo paprsky rovnoběžné s optickou osou, tedy předmět je v nekonečnu, je obrazem jediný bodohnisko. • Je-li zrcadloduté neboli konkávní, je ohnisko reálné a paprsky jím skutečně prochází. • Je-li zrcadlo vypuklé neboli konvexní, je ohnisko virtuální a paprsky z něj zdánlivě vychází.

42. Reflexní optika III • Optické vlastnosti ideálního zrcadla lze tedy popsat jedinýmparametremohniskovouvzdáleností f, tedy vzdáleností ohniska od optického středu podél optické osy. • Ideální zrcadlo by mělo být parabolické, tedy mít tvar rotačního paraboloidu.

43. Reflexní optika IV • V současné době je principiálně možné vyrobit parabolická zrcadla a pro speciální aplikace se to skutečně dělá. Vyrobit příslušný tvar s potřebnou přesností, která musí být minimálně srovnatelná s vlnovou délkou světla, je ovšem velice obtížné a drahé. Ve většině případů se proto používají snáze vyrobitelnější a tedy i podstatně levnější zrcadla sférická (kulová). Ta mají ovšem principiálně – sférickou vadu a jsou použitelná pouze pro paraxiální paprsky, což jsou paprsky v těsné blízkosti optické osy.

44. Reflexní optika V • Vzdálenosti předmětová, obrazová a ohnisková: do,di, a f musí vyhovovatzrcadlové zobrazovací rovnici: 1/do + 1/di = 1/f • Tu lze jednoduše odvodit z geometrie. • Stejná rovnice platí i pro konvexní zrcadla, ale jejich ohnisková vzdálenost je záporná.

45. Reflexní optika VI • Dalším parametrem zobrazení je příčné zvětšení, které definujeme: m = hi/h0 = - di/do • V současné době se vyvíjí řada optických systémů, založených na reflexi: hvězdářské dalekohledy, rentgenová a neutronová optika a optická vlákna, založená na totálním odrazu na jednoduché nebo mnohonásobné vrstvě. V daných oblastech je použití čoček neefektivní nebo dokonce nemožné.

46. Refrakce I • Další důležitý základní optický jev je lom záření neboli refrakce. K lomu dochází, prochází-li paprsky rozhraním z jedné fáze do druhé a tyto fáze se liší optickou hustotou. Refrakce je vždy doprovázena reflexí. • Čím je materiáloptickyhustší, tím je v něm menšírychlost šíření světla. • Optickou hustotu charakterizujeme absolutním indexem lomu: n = c/v, kde c je rychlost světla ve vakuu a v rychlost světla v příslušné látce (fázi). • Vzpomeňte si na Maxwellův zákon :

47. Refrakce II • Pro odvození zákona lomu můžeme opět použít Fermatova principu. • Nalezení paprsku, který doputuje nejrychleji z bodu S do P, je podobný problém, jako hledání časově nejkratší cesty při zachraňování tonoucího člověka, vezmeme-li v úvahu, že běžíme rychleji než plaveme.

48. Refrakce III • Použijeme obecnější formulace Fermatova principu, která říká, že správný paprsek je stacionární. Jinými slovy to znamená, že doba letu sousedního velice blízkého paprsku bude přibližně stejná. • Ať je bod S v prostředí, kde se paprsek šíří rychlostí v1 = c/n1 a bod P v prostředí, kde se šíří rychlostí v2 = c/n2.

49. Refrakce IV S E φ1 n1 C X n2 F EC/v1 = XF/v2 XCsinφ1/v1 = XCsinφ2 /v2 n1 sinφ1 = n2 sinφ2 φ2 P

50. Refrakce V • Budiž SCPhledaný paprsek, který putuje nejkratší dobu a SXP nějaký blízký sousední paprsek. Má-li být doba jeho letu stejná, musí dobu, kterou ztratil v jednom prostředí, nahnat v prostředí druhém: EC/v1 = XF/v2 • Použijeme: EC = XCsin1 and XF = XCsin2a dosadíme za rychlosti v1 a v2.. Dostaneme Snellůvzákon: n1sin1 = n2sin2