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Arithmétique. Classe 3 e. 1 - Critères de divisibilité. Soit n un nombre entier. n est divisible par 2 si. son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 ( nombre pair ). n est divisible par 5 si. si son chiffre des unités est 0 ou 5. n est divisible par 3 si.
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Arithmétique Classe 3e
1 - Critères de divisibilité Soit n un nombre entier. n est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 (nombre pair) n est divisible par 5 si si son chiffre des unités est 0 ou 5 n est divisible par 3 si la somme des ses chiffres est un multiple de 3 n est divisible par 9 si la somme des ses chiffres est un multiple de 3 n est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0 45 720 est un nombre pair, il est divisible par 2 45 720 se termine par 0, il est divisible par 5 et par 10 4+5+7+2+0=18, 45 720 est divisible par 3 et par 9
2 - Division euclidienne La division euclidienne est une division dont le quotient est un nombre entier. Exemples : 73 13 56 17 210 14 -65 5 -51 3 -14 1 5 6 8 7 0 -70 On écrit : 0
Lorsque le reste de la division euclidienne d’un nombre a par un nombre b non nul est égal à 0, on dit que : • b est un … de a, diviseur ou ce qui revient au même de dire que multiple • a est un … de b.
Remarques 7 est un diviseur de 35 car 7 est un diviseur de 84 car On dit que 7 est un diviseur commun à 35 et 84 7 est-il un diviseur de ? est un multiple de 7
Exemple Avec l’exemple précédent : multiple On dit que 210 est un de 14, mais aussi de 15 diviseur On dit que 14 est un de 210, mais aussi 15 Quels sont les diviseurs de 210 ? L’ensemble de tous les diviseurs de 210 est : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 14 ; 15 ; 21 ; 30 ; 35 ; 42 ; 70 ; 105 ; 210
3 - PGCD 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75 1 ; 3 ; 5 ; 15 Le PGCD de 45 et 75 est le plus grand de ces diviseurs communs. On cherche le plus grand diviseur commun à 45 et 75. Ensemble des diviseurs de 45 : Ensemble des diviseurs de 75 : Donc l’ensemble des diviseurs communs à 45 et 75 est : PGCD( 45 ; 75 ) = 15
4 – Algorithme d’Euclide C’est une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres entiers. ALGORITHME : Désigne une suite de calcul nécessaire à la solution d’un problème dans une durée limitée. L’appellation « algorithme » est l’équivalent latin d’un terme figurant dans l’ouvrage du mathématicien arabe Mohammed Ibn Musa Abu Djefar Al-Khwarizmi. Exemple : calculons PGCD( 143 ; 611 ) On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
143 39 611 143 -572 4 39 On effectue ensuite la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente. -117 3 26
39 26 26 13 On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul. -26 1 13 -26 2 0 PGCD( 143 ; 611 ) est le dernier reste non nul, c’est-à-dire : 13
5 – Nombres premiers entre eux Deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur plus grand diviseur commun est 1. Remarque : 1 est leur seul diviseur commun.
Exemples : 1 ; 3 ; 5 ; 15 1 ; 2 ; 4 ; 8 15 et 8 sont premiers entre eux car : Ensemble des diviseurs de 15 : Ensemble des diviseurs de 8 : Le seul diviseur commun à 15 et 8 est 1. Donc PGCD( 15 ; 8 ) = 1
Exemples : 221 et 97 sont premiers entre eux car : Appliquons l’algorithme d’Euclide Donc PGCD( 221 ; 97 ) = 1
6 – Fractions Irréductibles est une fraction irréductible car : est une fraction irréductible car : On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateurs sont premiers entre eux. Exemples : (d’après 5) PGCD( 15 ; 8 ) = 1 PGCD( 221 ; 97 ) = 1
Méthode Simplifions Pour simplifier une fraction (et la rendre irréductible), on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. Exemples : d’après 4, PGCD( 143 ; 611 ) = 13 C’est irréductible !!
