RICERCA OPERATIVA

1. RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI DI SCELTA) G.Barbaro

2. Il termine “ RICERCA OPERATIVA” sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939, ma già precedentemente alcuni scienziati si erano occupati di problemi decisionali: • Fra gli esempi isolati, ma importanti di anticipazione dei metodi della RO possiamo ricordare i seguenti : • Nel 1776 il matematico G. MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici. • Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione • Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico. • Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale. G.Barbaro

3. Durante la II Guerra Mondiale i responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto, quando iniziò l’attacco aereo tedesco sulla Gran Bretagna. • L’aiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava l’adozione del radar nella strategia di difesa aerea. • Piccoli gruppi di scienziati, provenienti da diverse discipline, lavorarono su questi problemi con notevole successo nel periodo 1939-1940. • Questi gruppi di scienziati avevano come riferimenti i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come “Ricerca Operativa”. • Dopo la guerra, questi operatori vennero, poco a poco, assorbiti dall’industria, dalle aziende di consulenza, da università e da organizzazioni statali. • Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO. G.Barbaro

4. DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL) La ricerca operativa è l’applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni utilizzabili nei processi decisionali .

5. ESEMPLIFICAZIONE UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO • DECISIONI IN MERITO A: • QUANTITA’ DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE • DA QUALE FORNITORE ACQUISTARE • QUANDO ACQUISTARE

6. 1 – Formulazione del problema Fasi di una ricerca operativa 2 – Raccolta dei dati 3 – Costruzione del modello matematico 4 – Ricerca di una soluzione 5 – Controllo del modello e della soluzione G.Barbaro

7. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI In una prima fase è necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dell’organizzazione ecc… Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioè la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive G.Barbaro

8. Costruzione del modello matematico I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche. Ci sarà sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi, profitti, vendite) o minimizzare(costi, perdite, macchinari). Tale funzione dipenderà da una o più variabili d’azione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori. Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a determinate limitazioni. Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni. G.Barbaro

9. MODELLO MATEMATICO Funzione Obiettivo Y = f (x 1, x 2…………..x n) La funzione obiettivo esprime un costo, un ricavo, un guadagn0 + Vincoli espressi da equazioni e\o disequazioni I vincoli sono di due tipologie: vincoli di segno(che esprimono la positività delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali p.es. capacità del magazzino) Le variabili x1 , x2 …. xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili

10. Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarla. Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtà e la soluzione deve essere valutata. G.Barbaro

11. ESEMPIO Un’azienda che produce concime ha una capacità produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana. Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15.000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale. Il prezzo di vendita del prodotto è legato alla domanda dalla funzione: x = 250 – 0,5 * p Determinare la quantità da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno

12. P = 500 – 2*x Il guadagno è dato da : Y = (500 – 2*x)*x –15.000 –30*x Y = -2x2 +470 –15.000 con vincoli: x>=0 x<=220 Il modello risolto con l’analisi ci conduce alla conclusione che sarà necessario vendere 117,5 quintali di concime

13. CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R. O. • Max.-min(continui-discreti) ad una o due variabili • Scorte • Scelte tra due o più alternative • Programmazione Lineare EFFETTI IMMEDIATI CONDIZIONI CERTEZZA R.O. EFFETTI DIFFERITI Investimenti Finanziari e Industriali EFFETTI IMMEDIATI CONDIZIONI INCERTEZZA EFFETTI DIFFERITI

14. Nei problemi di R.O. spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni: Costo totale che verrà indicato con C(x) C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv Costo fisso è il costo che non dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Costo variabile è il costo che dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Ricavo è ciò che si ottiene dalla vendita di uno o più prodoti. Lo indicheremo con R(x) = p·x cioè il prodotto del prezzo per la quantità venduta Guadagno o Utile. Verrà indicato con U(x) = R(x) –C(x) G.Barbaro

15. PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO In questi problemi dovrà essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo In questi problemi dovrà essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi. In tal caso si parla di problemi DISCRETI. Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi. Si parla di problemi CONTINUI. G.Barbaro

16. Problema Un commerciante acquista prodotti al costo di 0,7 euro al kg e li rivende a 1,2 euro al kg. Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo può trasportare giornalmente 20 kg di merce. Calcolare la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo Utile. E’ un problema di tipo continuo. x = quantità prodotti venduti (problema continuo) R(x) = 1,2·x C(x) = 6 + 0,7·x U(x) = R(x) - C(x) = 1,2·x – (6 + 0,7·x ) = 0,5·x - 6 G.Barbaro

17. Riassumendo il modello matematico sarà il seguente: U(x) = 0,5·x - 6 Funzione Obiettivo Con vincoli x ≥ 0 Vincolo di segno e x ≤ 20 Vincoli tecnici In x =12 si il punto di equilibrio Break-even point Che divide la zona di perdita da quella di utile Per x=20 si ha il MAX utile U P G.Barbaro

18. Problema Un laboratorio artigianale fabbrica birra. Il prezzo unitario è legato alla quantità x venduta secondo la seguente relazione p= 50 – 0,1 x . Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 più un costo unitario variabile Cuv= 10 euro . Determinare la quantità di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno. X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo) R(x) = (50-0,1x) · x C = 1000 + 10· x U(x) = R(x) – C(x) = (50-0,1x) · x - (1000 + 10· x) Quindi U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 G.Barbaro

19. Quindi il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 Funzione obiettivo x ≥ 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici) In questo esempio la funzione obiettivo è una parabola, pertanto per disegnarla occorre trovarne concavità, vertice e intersezione con gli assi (in particolare con l’asse delle x). Xv = -b/2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione) Intersezioni con l’asse delle x risolvendo l’equazione: -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 = 0 x1 = 26,8 x2 = 373,2 G.Barbaro

20. I limiti di produttività(cioè le intersezioni della funzione con l’asse delle x) sono dati dai valori di 26,8 373,2 litri Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra G.Barbaro

21. Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacità produttiva di 300 litri di birra al giorno ? Il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 Funzione obiettivo x ≥ 0 E x ≤ 300 vincolo di segno e tecnici Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra G.Barbaro

22. In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere all’analisi matematica • Nel caso di funzione ad una variabile: • Calcolo della derivata prima • Porre la derivata prima uguale a zero ( C.N.M.N.S.) • Studio del segno della derivata prima (primo metodo) • o calcolo della derivata seconda (secondo metodo) G.Barbaro

23. Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero: Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dell’Hessiano semplice: Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili G.Barbaro

24. Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi. Può accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantità venduta o tra costo e quantità venduta. In tal caso si aggira l’ostacolo utilizzando una tecnica differente G.Barbaro

25. L’analisi di un problema discreto di questo tipo si può condurre anche utilizzando la cosiddetta ANALISI MARGINALE • Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione: • Δ f = f(x+1) – f(x) tale differenza è detta incremento marginale • Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione è crescente, se sono negativi è decrescente. • Quando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si è in presenza di un massimo • Quando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale G.Barbaro

26. ESEMPIO Un prodotto è fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno. I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno, mentre il costo variabile è di 2,8 euro al pezzo. La produttività giornaliera massima è di 8 lotti. Il prezzo di vendita al lotto non è costante , ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella: Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile G.Barbaro

27. Applichiamo questa tecnica all’esempio precedente: Costo per lotto 2,8·50 =140 euro a cui aggiungere il costo fisso Max. Conviene espandere la produzione finchè il ricavo marginale supera il costo marginale G.Barbaro

28. Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni: I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche; in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max. min. approssimando gli eventuali dati non interi Non è possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche; in tal caso si ricorre alle tabelle(come nell’esempio) utilizzando l’analisi marginale G.Barbaro

29. PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIU’ ALTERNATIVE Nei problemi ad una sola alternativa, lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo. Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo è quello di scegliere l'alternativa più conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono , per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto, oppure tariffe diverse per il trasporto di merce. • Per arrivare alla soluzione di questi problemi sarà necessario: • rappresentare graficamente, su un unico piano cartesiano, le diverse alternative; • determinarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP); • determinare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o l’altra alternativa G.Barbaro

30. ESEMPIO Per il trasporto di una merce un’impresa può ricorrere a due differenti ditte per il trasporto. La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione più un costo di 0,5 euro per ogni chilometro del tragitto; La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro più un costo per chilometro pari a 1 euro. Con quali modalità effettuare la scelta tra le due offerte? G.Barbaro

31. E’ un problema di costi. Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale. Funzioni obiettivo ALTERNATIVA A C(x) = 50 + 0,5 · x ALTERNATIVA B C(x) = 30 + 1 · x x ≥ 0 vincolo Dove x, che è la variabile di azione, rappresenta il numero di km G.Barbaro

32. Graficamente: X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP) Con x < 40 km conviene l ‘offerta B Con x > 40 km conviene l’offerta A G.Barbaro

33. ESEMPIO • Per trasportare della merce, ci si può servire di 3 imprese A, B, C, le quali offrono i loro servizi • alle seguenti condizioni : • 10 euro a tonnellata • 120 euro fissi, più 6 euro a tonnellata • 200 euro fissi, più 5 a tonnellata • Determinare quando sarà più conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese. Questo è un esempio più complesso essendo tre le alternative G.Barbaro

34. Graficamente la situazione è la seguente Fina a 30 ton conviene l’offerta A Fra 30 e 80 tonnellate conviene l’offerta B Oltre 80 tonnellate conviene l’offerta C G.Barbaro

35. ESEMPIO Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita è fissato in 10 euro;per la stampa deve decidere tra le seguenti alternative: LAVORAZIONE A Costo fisso = 4000 euro Costo variabile = 2 euro/unità Costo pubblicità = 0,1 % del quadrato del numero di libri LAVORAZIONE B Far eseguire il lavoro da terzi con un Costo totale = 8 euro/unità La massima tiratura consentita è di 6000 libri. G.Barbaro

36. Il modello matematico è il seguente: CA(x) = 4000 + 2x +0,001 x2 CB(x) = 6x UA(x) = 10x – (4000 + 2x +0,001 x2) = -0,001x2 +8x -4000 UB(x) = 10x -8x = 2 x Con x ≥ 0 e x ≤ 6000 G.Barbaro

37. Graficamente: Per 0<x < 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza Per 764<x<5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza Per 5237< x < 6000 conviene la lavorazione B G.Barbaro

38. IL PROBLEMA DELLE SCORTE • Il problema delle scorte riguarda la modalità con cui un'azienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure un'azienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela. • Il problema delle scorte prevede: • costi fissi per ogni ordinazione • costi variabili di stoccaggio per ogni unità di merce • costi di acquisto della merce. • Osserviamo subito che, per limitare i costi di ordinazione, bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantità , questo però aumenterebbe i costi di magazzino. Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantità immagazzinata. Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti. • Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio. Di tale funzione si determina il minimo G.Barbaro

39. Il problema delle scorte in realtà è piuttosto complesso e per comprenderne la complessità si può rappresentare su un grafico l’andamento di un magazzino: Quantità di merce in magazzino tempo Tale andamento può assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi, cali di produzione,…) G.Barbaro

40. E’ necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema: • la quantità di merce da ordinare è fissa per ogni ordinazione e, inoltre, arriva in magazzino quando esso si è svuotato; • il consumo dello stock è uniforme nel tempo. L'andamento delle scorte assume, quindi, un andamento periodico e lineare G.Barbaro

41. Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati: Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere l’anno) S = costo fisso per ogni ordinazione s = costo di magazzinaggio variabile x = quantità ottimale da ordinare ogni volta Quindi: Q/x = numero di ordinazioni Dal momento che la giacenza non è costante nel tempo, si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x; per cui giacenza media = (0+x)/2 =x/2 La funzione obiettivo è data dal costo : C = SQ/x + sx/2 con 0 ≤ x ≤ CMse ci sono vincoli tecnici dove CM è la capacità del magazzino G.Barbaro

42. Questa funzione obiettivo in matematica è molto conosciuta e viene chiamata funzione somma: Tale funzione può essere considerata come la somma di due funzioni: y1 = a x e y2 = b/x in cui: y1 rappresenta una retta passante per l'origine degli assi coordinati, y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati G.Barbaro

43. Grafico della funzione somma La funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante. Per i problemi di R.O. è però sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive) m Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina all’iperbole, mente per valori alti della x si avvicina lal retta Relativamente al I quadrante si può notare che sussiste un punto di minimo G.Barbaro

44. Le coordinate del minimo sono : G.Barbaro

45. Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre all’analisi calcolando la derivata prima: P.C . si considera ovviamente solo il valore positivo. Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene: Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto: Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate: G.Barbaro

46. Esempio: Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima. Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 1,2 euro/kg Determinare la quantità ottimale da ordinare La funzione obiettivo è la seguente: C= SQ/x + sx/2= 1624.000/x + 1,2x/2 = 384.000/x + 0,6x con x ≥ 0 Calcolando la derivata prima si ottiene: C’ = -384.000/x2 + 0,6 Ponendola uguale a zero: -384.000/x2 + 0,6 = 0 si ottiene: x= ± 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800 G.Barbaro

47. Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro. E’ possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno: n.ord. = 24.000 / 800 = 30 f = 360 / 30 = 12 giorni m G.Barbaro

48. Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico; affrontiamo due situazioni: • Capacità del magazzino pari a 600 kg; C = 384.000/x + 0,6x con 0 ≤ x ≤ 600 • Capacità del magazzino di 1200 kg; C = 384.000/x + 0,6x con 0 ≤ x ≤ 1200 • Il minimo si ha per x = 600 • n.ord. = 24.000 / 600 = 40 • f=360 / 40 = 9 giorni b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici G.Barbaro

49. PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI E’ NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA G.Barbaro

50. V C 0 t C M 0 t Matematica finanziaria Scopo: Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi diversi. Ovvero spostamento di importi nel tempo. Operazioni finanziarie Capitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro Spostamento in avanti M = C + I M = MONTANTE Attualizzazione o scontoValutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza Spostamento all‘ indietro V = C – S V = VALORE ATTUALE G.Barbaro