Esame di Ricerca Operativa 2

1. Esame di Ricerca Operativa 2 SimRestHouse Federici Lisa – Gatti Francesca – Maestri Cristina– Nesci Elisabetta - Redento Vincenza

2. Introduzione del Progetto Il nostro lavoro di simulazione consiste nell’analisi del flusso di ricoveri di una Casa di Riposo per anziani. Obiettivo Valutare, sulla base dei dati relativi agli ultimi dieci anni, quale aumento di posti letto sarà necessario per far fronte alle richieste di degenza nei prossimi cinquant’anni.

3. Individuazione del Progetto Nella struttura analizzata vi è una disponibilità di 93 posti letto. Per ogni anno abbiamo considerato i seguenti fattori: • numero di degenti trasferiti ad altra sede o dimessi; • numero di degenti deceduti; • numero di posti-letto disponibili; • numero di richieste di ricovero; • numero di nuovi degenti entrati nella struttura (cioè numero di richieste • soddisfatte); • numero di richieste in attesa.

4. Raccolta dati storici relativi agli anni dal 1995 al 2004 presso la Casa di Riposo “Paolo VI” del Comune di Bagnolo Mella.

5. Introduzione Teorica • Modelli di Simulazione • Metodo di Montecarlo • Linguaggi di Simulazione • Struttura dei Modelli di Simulazione

6. I modelli di Simulazione Nella simulazione si descrive cosa succederà nel futuro in modo tale da tenere un comportamento razionale. Viene simulato un problema tipicamente probabilistico con le tecniche previsionali, conoscendo la storia presente e passata dell'ambiente in analisi. Esse agiscono da stimatori e hanno in sè gli elementi che permettono di valutare la storia futura. Il metodo della simulazione è particolarmente interessante quando la problematica da analizzare presenta componenti probabilistiche che spesso introducono elementi di grande complessità nei modelli analitici che le prendono in considerazione. La simulazione di tipo probabilistico crea una storia simulata partendo da una storia certa conosciuta secondo una legge di probabilità.

7. Il metodo di Montecarlo Rappresenta lo strumento che permette, nella simulazione, la generazione di eventi pseudo-casuali (non realizzati mediante un processo realmente casuale ma in grado di riprodurre le caratteristiche dell’aleatorietà). Per poter simulare un fenomeno occorre riprodurlo: si parte da una serie di dati osservati nel passato (serie storica), supponendo che il meccanismo di ciò che è avvenuto sia uno stimatore corretto di quello che accadrà, e se ne rileva la distribuzione di probabilità.

8. Generazione numeri casuali • si traccia il grafico della funzione cumulata • si genera un numero casuale compreso tra 0 e 1 ; • si riporta il numero così trovato sull'asse y e lo si proietta orizzontalmente sulla curva y = F(x); • il valore di x così trovato (x = f-1(y) ) sulla curva si assume come uno dei valori del campione di x.

9. Vantaggi • produrre dati relativi a simulazioni di eventi per tempi anche molto lunghi; • è possibile modificare a piacimento i parametri che determinano l'andamento della simulazione: Esempio: nella simulazione si può aggiungere un ulteriore centro di servizio per vedere come evolve la situazione, senza doverlo installare nella realtà, eliminando così l'impiego di tempo e risorse che si sarebbe dovuto affrontare nel caso la modifica fosse stata compiuta materialmente.

10. Linguaggi di Simulazione • GPSS (General Purpose Simulation System); • Simula • DYNAMO (linguaggio destinato alla simulazione di sistemi dinamici ovvero sistemi dipendenti dall’istante di osservazione).

11. Struttura dei modelli di simulazione Entità: indicano un “pezzo” del modello che verrà rappresentato e che potrà essere composto da una pluralità di questi pezzi. Attributi: rappresentano l’insieme delle caratteristiche che permettono alle entità di operare. Orologio di simulazione Meccanismo di avanzamento del tempo di simulazione che scandisce il verificarsi degli eventi più importanti. Questo avanzamento può essere di tipo: • costante: la situazione delle entità viene valutata ad incrementi periodici di tempo per verificarne il risultato; • variabile: il contatore viene avanzato alla fine dell’intervallo di tempo considerato, quando avviene un’interazione fra le entità del modello.

12. Analisi del Progetto • Analisi delle variabili casuali • Trasformazione inversa • Generazione degli eventi pseudo-casuali • Algoritmo di simulazione

13. Analisi delle variabili casuali Variabile casuale x

14. Variabile casuale y

15. Variabile casuale z

16. Trasformazione inversa U Per generare gli eventi casuali simulati secondo la densità di probabilità rilevata si introduce, per ognuna delle tre variabili casuali descritte, una nuova variabile casuale in grado di presentarsi secondo la densità di quelle in oggetto, ma più semplice da calcolare. Ognuna delle tre variabili casuali viene quindi sostituita con una variabile U, uniformemente distribuita nell’intervallo [0,1]. Una volta generato il valore pseudo-casuale u, possiamo facilmente ottenere i valori x, y, z che rappresentano i valori numerici degli eventi simulati.

17. Per definizione di variabile uniforme, abbiamo quindi realizzato le seguenti trasformazioni:

18. Generazione eventi pseudo-casuali Il tempo del nostro modello di simulazione è scandito da un orologio simulato, la cui unità di misura è l’anno. Abbiamo analizzato la situazione per i 50 anni successivi al 2004 (ultimo anno di rilevazione dei dati fornitici). I tre eventi (numero decessi, numero dimessi e numero richieste di ricovero) si verificano ogni anno, quindi, il tempo della nostra simulazione avanza in modo sincrono.

19. Esempio: primi venti anni simulati per la variabile casuale numero decessi; per ogni numero casuale generato viene riportato il relativo evento pseudo-casuale .

20. Algoritmo della Simulazione

21. Conclusioni …

22. …e quindi… "Aggiungi un posto in camera che c'è un vecchietto in più!!!"

23. Bibliografia • Prof. Lorenzo Schiavina - “Metodi e strumenti per la modellizzazione aziendale” - (versione 2.2 – preliminare; revisione al 25/07/2004) Ringraziamenti • Ringraziamo il personale della Casa di Riposo “Paolo VI” del Comune di Bagnolo Mella (Bs) che ci ha fornito i dati annuali presi in considerazione nel nostro progetto di simulazione.