Ensino Superior

1. Ensino Superior Lógica Matemática e Computacional 1.2 – Conceitos Preliminares Amintas Paiva Afonso

2. Cálculo Proposicional Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. · A lua é quadrada. · A neve é branca. · Matemática é uma ciência. . 3 < 4 .  = 3,14 . 1 é primo . Zero é par

3. Sentença e Proposição • A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações. Uma proposição (oudeclaração) é uma sentença que é falsa ou verdadeira. • Considere as seguintes sentenças: (a) Dez é menor do que sete. (b) Como está você? (c) Ela é muito talentosa. (d) Existe vida em outros planetas do universo. É uma proposição, já que é falsa. Não pode ser considerada falsa ou verdadeira, não é proposição. Não é uma proposição. Ela não está especificada, não é falsa nem verdadeira. É proposição. Não é preciso sermos capazes de decidir qual das alternativas é válida.

4. Consideração inicial A lógica analisa os argumentos em vista de sua validade, não de sua veracidade. Ex: Se todo homem dessa sala é candidato à engenheiro e se todo candidato a engenheiro é bonito então todo homem dessa sala é bonito. Ex: Pedro é um sujeito mais bonito que o Brad Pitt e o Marcelo Anthony juntos. O time das Pererecas Felizes vai ganhar o torneio de Handball da Faculdade. Essa frase é falsa.

5. Proposição Exemplo: Foi detectado que alguns prefeitos não moram nos municípios onde trabalham. O governo federal criou então o município de Pizzalândia e nele só podem morar os prefeitos que não moram em seus municípios. Onde mora o prefeito de Pizzalândia?

6. TERMO (Palavra) – Definição: Cálculo Proposicional Definição de um objeto. Exemplo: Paula Um filme de terror Triângulo retângulo

7. PROPOSIÇÃO – Definição Todo o conjunto de termos ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Exemplo: Todo homem é mortal. A Lua é um satélite da Terra. sen /2 = cos /2

8. PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO – Definição As PROPOSIÇÕES transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.

9. PROPOSIÇÃO – Definição A linguagem NATURAL permite vários tipos de proposições: DECLARATIVA: Meu carro é azul. INTERROGATIVA: Está frio? EXCLAMATIVA: Que lindo! IMPERATIVA: Cale a boca.

10. PROPOSIÇÃO – Definição CÁLCULO PROPOSICIONAL: Permite apenas as proposições DECLARATIVAS.

11. Exercício • Quais das frases a seguir são proposições declarativas? • A lua é feita de queijo verde. • Ele é, certamente, um homem alto. • Dois é um número primo. • O jogo vai acabar logo? • Os juros vão subir ano que vem. • Os juros vão descer ano que vem. • x2 – 4 = 0.

12. Exercício • Quais das frases a seguir são proposições? • A lua é feita de queijo verde. • Ele é, certamente, um homem alto. • Dois é um número primo. • O jogo vai acabar logo? • Os juros vão subir ano que vem. • Os juros vão descer ano que vem. • x2 – 4 = 0.

13. PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os 2 princípios: I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO. II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO.

14. PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição NÃO pode ser FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo. O Brasil é pentacampeão de futebol. Verdade (V) Falso (F) O Brasil possui pena de morte.

15. PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. LÓGICA BIVALENTE

16. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é: VERDADE se esta for VERDADEIRA; FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.

17. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO Assim, o que os princípios da não contradição e o do terceiro excluido afirmam é que: Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F.

18. Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir? • O número 17 é primo. ( V • Fortaleza é a capital do Maranhão. ( F • TIRADENTES morreu afogado. ( F • (3 + 5)2 = 32 + 52. ( F • O valor archimediano de  é 22/7. ( V • -1 < -7. ( F • 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( V • As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( F • Todo polígono regular convexo é inscritível. ( V • O hexaedro regular tem 8 arestas. ( F • O número 17 é primo. ( ) • Fortaleza é a capital do Maranhão. ( ) • TIRADENTES morreu afogado. ( ) • (3 + 5)2 = 32 + 52. ( ) • O valor archimediano de  é 22/7. ( ) • -1 < -7. ( ) • 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( ) • As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( ) • Todo polígono regular convexo é inscritível. ( ) • O hexaedro regular tem 8 arestas. ( )

19. Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir? • A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( F • Todo número divisível por 5 termina por 5. ( F • O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( V • sen2 30º + sen2 60º = 2. ( F • 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( V • As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( V • O número 125 é cubo perfeito. ( V • 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( V • O cubo é um poliedro regular. ( V • tg /4 < tg /6. ( F • A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( ) • Todo número divisível por 5 termina por 5. ( ) • O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( ) • sen2 30º + sen2 60º = 2. ( ) • 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( ) • As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( ) • O número 125 é cubo perfeito. ( ) • 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( ) • O cubo é um poliedro regular. ( ) • tg /4 < tg /6. ( )