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Um pouco de Geometria Tropical

Semana da Matemática 2013 UFJF. Um pouco de Geometria Tropical. Frederico Sercio Feitosa DM/UFJF. Geometria Tropical. Que figuras são essas?. RETA TROPICAL. Geometria Tropical. Por quê tropical ? Seria devido a existência de formas exóticas ?

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Um pouco de Geometria Tropical

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Presentation Transcript

  1. Semana da Matemática 2013 UFJF Um pouco deGeometriaTropical Frederico Sercio Feitosa DM/UFJF

  2. GeometriaTropical

  3. Que figuras são essas?

  4. RETA TROPICAL

  5. Geometria Tropical Por quê tropical ? Seria devido a existência de formas exóticas ? A álgebra tropical era conhecida como álgebra max-plus. Nome “tropical” dado por pesquisadores de informática da Universidade Paris 7 Imre Simon (Budapeste - Hungria, 1943 – São Paulo, 2009)

  6. O mundo clássico pode ser degenerado até o mundo tropical. • Um enunciado tropical tem muita chance de possuir um enunciado clássico similar. • Os objetos tropicais são lineares por partes, logo mais simples de estudar que os seus análogos clássicos. Objetivo: Estudar objetos simples, enunciar teoremas sobre objetos complicados.

  7. Álgebra Tropical Duas operações (tropicais) no conjunto dos números reais :

  8. Muitas propriedades em comum com as operações clássicas dos números reais. São comutativas, associativas e vale a distributividade. Duas diferenças: • Qual é o elemento neutro da adição tropical?

  9. Para isto estendemos o conjunto dos números reais. Temos: é o conjunto dos números tropicais.

  10. Um número real tem simétrico em relação a adição tropical ? Consequência: não está definida a subtração tropical. Observação: a adição tropical é idempotente, ou seja,

  11. 0 é o elemento neutro da multiplicação tropical. • Abreviamos por Cuidado!!!

  12. “Polinômios” Tropicais

  13. Raízes • Um polinômio tropical é uma função afim por partes. • Uma raiz de P(x) é qualquer número x0para o qual o gráfico de P(x) tenha uma “quina”

  14. Raízes de • Raízes de • Raízes de Definição: As raízes tropicais do polinômio tropical P(x) são os números tropicais x0para os quais existem i e j distintos tais que P(x0) = ai + ix0 = aj+ jx0

  15. Curvas tropicais Polinômio tropical em duas variáveis: Curva tropical definida por P(x,y) é o lugar das “quinas” dessa função.

  16. Exemplo: Devemos resolver o sistema de inequações: A reta tropical é constituída das três semi-retas

  17. Exemplo:

  18. Exemplo:

  19. Interseções tropicais

  20. Bibliografia: • Brugallé, Erwan. Um pouco de Geometria Tropical. Tradução: Éden Amorim (UFMG) e Nicolas Puignau (UFRJ). Revista Matemática Universitária nº 46 (2009) 27-40. • Gathmann, A. • Mikhalkin, G.

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