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Elementos Finitos y B-Splines en Problemas Elípticos Semilineales. Pedro C. Espinoza Haro pcesp@correo.ulime.edu.pe Universidad de Lima Facultad de Ingeniería de Sistemas Lima - Perú.
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ElementosFinitos y B-Splines en Problemas Elípticos Semilineales Pedro C. Espinoza Haro pcesp@correo.ulime.edu.pe Universidad de Lima Facultad de Ingeniería de Sistemas Lima - Perú
En el curso de Gráficos por Computadora, de la Facultad de Ingeniería de Sistemas, de la Universidad de Lima, se desarrollan, entre otros temas, los fundamentos matemáticos, los algoritmos y códigos de las curvas de Bezier y de la curvas con B-Splines, para explicar las tecnologías inherentes al CAD, CAGD entre otros. Klaus Höllig [2] “Finite Element Methods whit B-Splines” SIAM, Frontiers in Appl. Matah. 2003. Introducción
En este trabajo se explora por los métodos de Elementos Finitos (EF) y los B-Splines (BS) la solución aproximada del problema de Dirichlet, (1) donde la función f(s) es: a) Localmente Lipchitziana, con un número finito de ceros singulares:
b) Tiene la condición del área positiva, es decir la función es positiva en y la integral sobre los intervalos: …..etc. son positivas.
En el caso unidimensional, los análogos discretos obtenidos mediante EF lineales y BS de orden k=2, son exactamente los mismos y se muestra la existencia de la solución para este caso. Para los EF cuadráticos y los BS de orden k=3, los modelos discretos cambian radicalmente. Se explora estos últimos casos. También para regiones en el plano. • 1. Polinomios interpolantes de una variable. • Bases: polinomios de Lagrange.
Ejemplo 2 • Para tres nodos , los polinomios (base) de Lagrange son:
1.2 Para cada sucesión de nodos , se tiene los polinomios de Lagrange:
2. Elementos Finitos Unidimensionales 2.1Base: dado un h>0 , se definen:
3. Elementos Finitos Bidimensionales Rectangulares 3.1 Los nodos son el producto cartesiano de los de una dimensión con La base de los EF asociados a estos nodos es El espacio de polinomios es el producto tensorial
4. Funciones B-Spline de orden k, de una variable4.1 Son funciones formadas por trozos de polinomios de un mismo grado, continuamente acopladas y definidas a partir de un conjunto de números reales o nodos:
5. B-SplinesBidimensionales de orden k=3 Mallado es el producto cartesiano de las mallas unidimensionales: B_Splines bidimensionales asociada a estos nodos
El espacio de las funciones B_Spline generado por esta base será el producto tensorial y su dimensión
6. Problema de frontera Eíptico Semilineal La forma débil del problema (1) es (2) La aproximación de la solución débil de (2) por EF o BS, se hace con un espacio aprox
Donde se busca un que satisfaga la ecuación (3) Elegida una base del espacio aproximante , el problema (3) se reduce a resolver el siguiente sistema de ecuaciones (Análogo discreto de (1)) (4)
es un vector n-dimensional cuya k-ésima componente es: El análogo discreto (4) es mucho más complejo que el análogo discreto obtenido por diferencias finitas Espinoza( [5] ). • Los métodos empleados para el análisis de un análogo discreto dependen de f(s) y de la discretización elegida.
El análogo discreto de (4) por Diferencias Finitas, estudiado por Peitgen, Saupe y Schmitt ([8]) en el contexto de las teorías del Grado Topológico y de las Bifurcaciones Globales. • Diferencias finitas, Métodos Variacionales puede verse en Espinoza ([5]). • El análogo discreto por Elementos Finitos es abordado por Glowinski ([7]) haciendo uso de métodos Variacionales cuando f es una función no decreciente y que se anula en 0.
Ciarlet, Schultz y Varga ([3]) emplean la teoría de Operadores Monótonos, pero cuando f tiene derivada cont. con constantes de Lipschitzianidad que dependen del primer autovalor del operador Laplaciano. En este trabajo, A es una M-Matriz y se se hace uso de los Métodos Variacionales para estudiar la existencia de la soluciones de (4), determinando que existen soluciones con componentes estrictamente positivas y con máximo valor en cada intervalo abierto.
Proposición 1.7 Sea f como en (1) y Entonces toda solución x de (4) tiene componentes positivas y está en
BIBLIOGRAFIA: • [1] A. Ambrosetti y P- Hess. “Positive solutions of Asymptotically linear elliptic eigenvalue problems". Math. Anal. Appl. 73 (1980) 411-422. • [2] AK. J. Brown y H. Budin. “On the existence of positive solutions for a class of semi linear elliptic boundary value problems” SIAM J. Math Anal. Vol. 10, Nº 5, (1979) 876-883. • [3] P.G. Ciarlet, M. H. Schultz y R.S. Varga “Numerical Methods of High-Order accuracy for Non Linear Boundary Value Problems#. Numer. Math 13 (1969) 51-77. • [4] E.N. Dancer y K. Schimitt. “On positive solutions of semilinear elliptic equations” (Pre-print).
[5] P.C. Espinoza Positive-ordered solutions of a discrete analogue of a nonlinear elliptic eigenvalue problems, SIAMJ. Numer. Anal. Vol. 31, N°3 (1994) 760-767.[6] D.G. de Figueiredo “On the uniquenes of positives solutions of the Dirichlet problem for se Nonl. Partial Diff. Equations and Appl. Vol 7 (1989) p.p. 80-83. H. Brezzis and J. Lions (editors) Pitman London[7] R.Glowinski “Numerical Method for Non Linear Variational Problems “Springer-Verlag, 1984.
[8] H. O. Peitgen, D. Saupe y K. Schmitt “ Nonlinear elliptic boundary problems versus their finite aproximation: numerically irrelevant solutions” J. Reine Angew Mathematik 322 (1981) 74-117. [9] J.Sshroder “M-matrices and generalizations using and operator theory approach” SIAM Review 20(1978) 213-244. [10] ] R.S. Varga “Matirk iterative Analysis” Engle wood Cliffs. New Jersey 1962.