NÚMEROS ENTEROS

1. NÚMEROS ENTEROS

2. ÍNDICE • NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS • OPERACIONES • POTENCIAS • RAÍCES • DIVISIBILIDAD

3. 1. NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS • El conjunto de los números enteros, es una ampliación del conjunto de los números naturales y está formado por: • Números enteros positivos (naturales): +1, +2, +3, +4, … • Números enteros negativos: −1, −2, −3, −4, … • El número cero: 0. • Representar en la recta numérica: • Los números enteros son un conjunto ordenado. (repasar símbolos) Ejemplos: El coche está en la segunda planta del garaje y mi piso es el cuarto, debo treinta euros, El pozo tiene 8 metros de profundidad.

4. 1. NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS • El opuesto de un número entero, op (a), es el número cambiado de signo: op (+a) =−a y op (−a) =+a. • El valor absoluto de un número entero, |a|, es el número natural que resulta de considerar el número prescindiendo de su signo. Es decir, el valor absoluto de un número entero es el mismo número si es positivo, y su opuesto, si es negativo. Ejemplo: op (+3) =−3 |+3|= 3 op (−3) =+3 |−3|= 3

5. 2. OPERACIONES SUMA Y RESTA: • Para sumar dos números enteros, a + b: -Si son del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo. -Si son de distinto de signo, se restan sus valores absolutos (al mayor, el menor) y se pone el signo del número de mayor valor absoluto. • Para restar dos números enteros, a − b, se suma al primero el opuesto del segundo: a − b = a + op (b). • Un paréntesis precedido del signo - cambia los signos de los números de su interior. Un paréntesis precedido del signo + mantiene los signos. Ejemplo: (+6) + (+7)=+13 (+6) −(+7) (−3) + (8 −4) − (−4 + 3) (+6) + (−7)=−1 (+6) −(−7) −(4 − 9 + 3) + (11 − 8 − 7)

6. 2. OPERACIONES PRODUCTO Y DIVISIÓN: • Para multiplicar o dividir dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. Su signo será positivo (+) si ambos factores tienen el mismo signo, y negativo (−), si los factores son de signo distinto. • Regla de los signos. + ⋅ + = + + ⋅ −= − −⋅ + = − − ⋅ − = + Ejemplo: (+3) ⋅ (+5)=+15 (+27) : (−3)=−9 (−3) ⋅ (+5)=−15 (−27) : (−3)=+9

7. 2. OPERACIONES COMBINADAS • Se eliminan los paréntesis y los corchetes. • Se realizan las potencias y las raíces. • Se calculan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. • Se efectúan las sumas y las restas.

8. 3. POTENCIAS • Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: an= a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a n veces a es la base, el factor que se repite. n es el exponente, el número de veces que se repite la base. • Signo de una potencia de base un número entero y exponente natural: - Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. - Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar. • Potencia exponente negativo: es igual al cociente entre la unidad y dicha potencia con el exponente positivo. a-n = 1/an Ejemplos: (+2)4, (+2)5, (−2)4, (−2)3,

9. 3. POTENCIAS. OPERACIONES • Expresión de números muy grandes Existen numerosos contextos donde aparecen números muy grandes. Estos números tienen una escritura más sencilla utilizando potencias de 10. Ejemplo: a) Brasil tiene una extensión aproximada de 8.500.000 km2. 8.500.000 = 8,5 ⋅ 105 b) La población mundial es, aproximadamente, 6.100.000.000 de personas. 6.100.000.000 = 6,1 ⋅ 108 c) Tamaño de una célula se mide en micras, 1micra=0,000001m = 1 ⋅ 10-6

10. 3. POTENCIAS. OPERACIONES PRODUCTO Y POTENCIAS DE LA MISMA BASE: • Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes. an⋅ am= an+m • Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes. an: am= an-m • Potencia de una potencia: Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (an) m= an⋅m RECUERDA: un número elevado a 0 es 1 y elevado a 1 es el mismo. Ejemplos; 42 ⋅ 44, 35 : 32, (63)4, (-3)0 =1, 50 = 1, (-6)1 = -6, 71 = 7

11. 3. POTENCIAS. OPERACIONES POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN Y UNA DIVISIÓN: • La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de sus factores. (a ⋅ b)n= an⋅ bn • La potencia de una división es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor. (a : b) n= an: bn Ejemplos; (5 ⋅ 4)3 , (6 : 3)4

12. 3. RAÍCES • La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b, tal que al elevarlo al cuadrado obtenemos el número a. a es el radicando, es el símbolo de la raíz y b es la raíz. • Nº de soluciones: - La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene siempre dos resultados, uno positivo y otro negativo. - La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe. - La raíz de índice impar siempre tiene solución. Ejemplos; Raíz cuadrada de 45, -81. Raíz cúbica de 10 y -8

13. RECUERDA OPERACIONES COMBINADAS • Se eliminan los paréntesis y los corchetes. • Se realizan las potencias y las raíces. • Se calculan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. • Se efectúan las sumas y las restas.

14. 4. DIVISIBILIDAD • Cuando la división de dos números enteros, a : b, es exacta, decimos que a es múltiplo de b, o bien que b es divisor de a. Otra forma de expresarlo es decir que a es divisible por b. • Un número entero a es primo cuando sus únicos divisores son +1, −1, +a y −a. Si un número no es primo se llama compuesto. • Los criterios de divisibilidad son métodos aritméticos sencillos que nos permiten saber si un número es divisible por otro, sin necesidad de realizar la operación. Los criterios de divisibilidad más importantes son: - Un número entero es divisible por 2, cuando su última cifra es 0 o par. - Un número entero es divisible por 3, si la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3. - Un número entero es divisible por 5, cuando su última cifra es 0 o 5. • Un número es divisible por 10 si termina en 0. Ejemplos: primos 3, 17 / compuestos 24 o 56

15. 4. DIVISIBILIDAD • Cualquier número se puede expresar de forma única como producto de distintos números primos elevados a potencias. A esta expresión se le llama descomposición del número en factores primos. • MÁXIMO COMÚN DIVISOR, M.C.D., de dos números enteros es el mayor entero positivo que divide a ambos números. En la práctica, el m.c.d. de varios números es el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente. • MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, m.c.m., de dos números enteros es el menor entero positivo múltiplo de ambos. En la práctica, el m.c.m. de varios números es el producto de sus factores primos comunes elevados al mayor exponente por los factores primos no comunes con su exponente. Ejemplos: MCD(144, 248) y mcm(12,21) / MCD(10, 24, 32) y mcm(8,15,20 )

16. 4. DIVISIBILIDAD PROPIEDADES: • MCD(a,b)*mcm(a,b) = |a*b| • Si MCD(a,b)=1, entonces a y b son primos entre sí. • Si dividimos dos números por su M.C.D., los cocientes que se obtienen son primos entre sí.

17. 4. DIVISIBILIDAD. PROBLEMAS M.C.D: Un carpintero quiere cortar una tabla de 48 cm de largo y 32 cm de ancho en piezas cuadradas del mayor tamaño posible, y sin que sobre madera. ¿De qué tamaño deben ser las piezas? m.c.m: Un helicóptero transporta víveres a un refugio cada 10 días, y otro, cada 8 días. Si los dos helicópteros coinciden el 1 de enero, ¿cuántos días tardarán en volver a coincidir?