1 / 12

Areal og bestemt integral

Areal og bestemt integral. Vi vil bestemme arealet under en kurve:. Arealfunktionen. Vi vil se på en kontinuert ikke-negativ funktion f i intervallet [a;b]. Hvis x er et tal mellem a og b indfører vi arealfunktionen A ved:

aliya
Download Presentation

Areal og bestemt integral

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Areal og bestemt integral Vi vil bestemme arealet under en kurve:

  2. Arealfunktionen • Vi vil se på en kontinuert ikke-negativ funktion f i intervallet [a;b]. Hvis x er et tal mellem a og b indfører vi arealfunktionen A ved: • A(x)= arealet af området mellem grafen for f og x-aksen i intervallet [a;x]

  3. A(x): Vi ønsker at bestemme arealet under kurven fra a=2 til x=5. Bemærk at arealet A(2)=0!

  4. Sætning 1: • Hvis f er en kontinuert ikke-negativ funktion i intervallet [a;b] er arealfunktionen A differentiabel med den afledede funktion f, dvs A’(x)=f(x) • Altså A er en stamfunktion til f

  5. Bevis for Jonathan: Hvis A er en stamfunktion for f, så er A’(x)= f(x): A’(x) er grænseværdien for

  6. Hvis A(x) er arealet fra 0 til x er A(x+h) arealet fra 0 til x+h så er Arealet fra x til x+h Hvis vi lader h gå mod 0, får vi klemt mellem f(x) og f(x+h) Se næste dias Og dermed har vi at A’(x) går mod f(x) når h går imod 0

  7. Eksempler: Her ses funktionen f(x)=½x+1 Arealet begrænset af grafen, x-aksen og linjerne x=2 og x=5 bliver (Arealet af et trapez: ½h*(a+b)) A(5)=½*3*(f(2)+f(5))=1,5*(2+3,5)=8,25 A(7)=½*5*(f(2)+f(7))=½*5*(2+4,5)=16,26 Generelt er: A(x)=½ * (x-2)*(f(2)+f(x)) A(x)=½ * (x-2)*(2 + ½x+1)=½*(x – 2)*(½x +3) A(x)=½*( ½x2+3x– x - 6) A(x)=1/4x2+x – 3 A(x) er altså stamfunktion til ½x+1, da A’(x)=½x+1

  8. Sætning 2 • Hvis f er en ikke-negativ funktion i intervallet [a;b] er arealet A af det område, der begrænses af grafen, x-aksen og linjerne x=a og x=b givet ved: • A= F(b)-F(a) • Hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f

  9. Bevis: Hvis A(x) er arealfunktionen for f, er A(x) arealet af området under grafen i [a;b], så vi ønsker at finde A(b) Vi ser på en vilkårlig stamfunktion F til f. Da A er en stamfunktion til f er forskellen mellem A og F en konstant. For alle x i intervallet [a;b] er A(x)-F(x)= k Specielt er A(a)-F(a)=k og A(b)-F(b)=k og dermed: A(a)-F(a)=A(b)-F(b) A(a)=0, så vi får: -F(a)=A(b)-F(b) og dermed: A(b)=F(b)-F(a)

  10. Her ses funktionen f(x)=2x+3 Vi vil bestemme arealet under grafen fra 0 til 5 Geometrisk er det: 3*5 + ½*5*10=40 Det bestemte integral af 2x+3, fra 0 til 5: Giver

  11. Det bestemte integral Definition: Lad f være kontinuert i intervallet [a;b] Med stamfunktionen F. Ved det bestemte integral af f fra a til b forstås tallet: F(b)-F(a) Som skrives:

More Related