Substitut de Communication Par Intrication Quantique

1. Substitut de Communication Par Intrication Quantique (Article de Richard Cleve et Harry Buhrman) IQ – 2006 – Matthieu Castebrunet

2. Sommaire • Introduction • Question • Réponse et explication 1 • Réponse et explication 2 • Apport supplémentaire • Conclusion

3. Introduction • Physique classique : phénomène d'intrication => communication • Physique quantique : pas de communication, pas même simulée • Exemple f(x, y) = x1+ · · · + xn+ y1+ · · · + yn => 1 bit transféré f(x, y) = x1· y1+ · · · + xn · yn => n bits transférés • Complexité de communication de f

4. Question Est-ce que l'intrication peut réduire la complexité de communication de f ? • Considérations • Réponses pour n  3 : => avec intrication, 2 bits sont suffisants => sans intrication, 3 bits sont nécessaires => sans intrication, 3 bits sont suffisants

5. Réponse et explication 1 Avec intrication, 2 bits sont suffisants • L'intrication concerne 3n qubits, n pour chacune des parties A(lice), B(ob) et C(arol) • Notation : Les N bits d'entrée de Y sont notés xY = xY1, … , xYn Les N qubits de Y sont notés qY1, … , qYn • Pour chaque i, le triplet qAi, qBi, qCi est dans l'état: ½ (|001> + |010> + |100> - |111>)

6. Réponse et explication 1 Avec intrication, 2 bits sont suffisants • But de A : Calculer f(xA, xB, xC) • Protocole : Pour chaque partie P dans {A, B, C} Pour chaque i de {1, … , n} Si xPi = 0 Alors appliquer H à qPi (H: Hadamard) sPi = Mesurer qPi (base standard) sP = sP1 + … + sPn (+ mod 2) B (resp. C) envoie sB (resp. sC) à A A calcule sA + sB + sC • Selon la condition originale, xA + xB + xC = 1 On a sA + sB + sC = f(xA, xB, xC)

7. Réponse et explication 1 Avec intrication, 2 bits sont suffisants • Preuve : sA + sB + sC = f(xA, xB, xC) car sAi + sBi + sCi = xAi · xBi · xCi Selon condition originelle, xAi xBi xCi  {001, 010, 100, 111} Cas 111 : Pas de H appliquée à qAi, qBi ou qCi, donc |qAi qBi qCi> est mesuré dans l'état : ½ (|001> + |010> + |100> - |111>) => sAi + sBi + sCi = 1 = xAi · xBi · xCi Cas 001 (et par symétrie, 010 et 100) : |qAi qBi qCi> est mesuré dans l'état : H  H  I (½ (|001> + |010> +|100> +|111>)) = ½ (|011> + |101> + |000> - |110>) => sAi + sBi + sCi = 0 = xAi · xBi · xCi

8. Réponse et explication 2 Sans intrication, 3 bits sont nécessaires • Principe : Prouver que 2 bits ne suffisent pas. Avec deux bits, seule solution enviseageable : B broadcast 1 bit à A et C, puis C envoie un bit à A. • Solution : partitionner l'espace des possibilités de chacun en deux sous-groupes et communiquer l'indice de ce sous-groupe ( 0 ou 1) • B communique son sous-groupe à A et C. • C doit pouvoir envoyer un bit qui permette à A de déterminer le résultat du calcul. => Dans toutes les situations, il y a ambiguité pour A sur les données de C ou C ne peut pas construire de partition binaire permettant d'indiquer son résultat.

9. Apport supplémentaire Sans intrication, 3 bits sont suffisants • Idée : Compter le nombre de 0 total dans toutes les 3n entrées (Ce nombre est pair selon la condition originelle) • Si xi · yi · zi = 1 alors pas de 0 dans {xi , yi , zi } Si xi · yi · zi = 0 alors deux 0 dans {xi , yi , zi } (cf. xi+yi+zi =1) Np est le nombre de 0 dans xP (Na + Nb + Nc =2k, où k est le nombre total de termes égal à 0 dans {x1·y1·z1, … ,xn·yn·zn} ) • A peut calculer f(x, y, z) = (n-k) mod 2 avec uniquement la parité de k. B et C peuvent envoyer le mod 4 de leur N (4bit tranférés). • Comme on a parité du nombre de 0, l'un des deux peux envoyer seulement le bit de poids fort => 3 bits transférés

10. Conclusion • Dans certains cas, l'intrication permet de réduire la complexité de communication d'une fonction à données réparties • L'approche de l'intrication Quantique ne simule pas une communication • Classique / Quantique