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Introduction au calcul quantique

Introduction au calcul quantique. Frédéric Magniez CNRS - LRI. Groupe quantique du LRI http://www.lri.fr/quantum. Vers la nanotechnologie. Gordon Moore 1965. Taille des composants Nombre des composants Vitesse. Limitation théorique atteinte en 2020 !!!

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Presentation Transcript

  1. Introduction aucalcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Groupe quantique du LRI http://www.lri.fr/quantum

  2. Vers la nanotechnologie Gordon Moore 1965 Taille des composants Nombre des composants Vitesse Limitation théorique atteinte en 2020 !!! Apparition de phénomènes quantiques... Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?

  3. Le photon • Caractéristiques : • la direction, • la longueur d’onde, • la polarisation.

  4. Filtre polarisant ? Sortie d’un filtre polarisant : Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.

  5. Jouons avec les photons 50% 100 % 50% • Polarisation verticale : Photon jamais détecté. • Polarisation horizontale : Photon toujours détecté. • Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 ! Polarisation diagonale = Mélange statistique ? Polarisation diagonale =superposition quantique ...

  6. Superposition quantique Etat polarisation :superposition ) Filtre : mesure détecté Mesure non détécté L’observation perturbe le système

  7. Evolution quantique Transformations qui préservent la superposition ? Condition nécessaire:isométrie Une isométrie : la lame demi-onde Symétrie orthogonale autour de son axe Transformations orthogonales : telle que Orthogonale Réversible

  8. Le qubit Bit classique : élément déterministe Bit probabiliste : distribution probabiliste Bit quantique : superposition quantique

  9. Evolution du qubit Mesure : Lire et Modifier Mesure Transformations unitaires : G Unitaire Réversible : * G

  10. Un premier exemple Le problème Entrée : Sortie : 0 ssi f est constante Contrainte :f est une boîte noire f(3) = ? f(3) = 1 Complexité en requêtes Déterministe : 1+N/2 requêtes Quantique : 1 requête

  11. H Solution quantique (N=2) Attention : n’est pas nécessairement réversible ! Implémentation de f Porte Hadamard :lame demi-onde à 22,5° Circuit quantique H H Mesure ?

  12. Analyse (N=2) fconstante H H H Mesure Mesure ? f non constante Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :

  13. Systèmes à 2-qubit Définition : Transformations unitaires : Mesure Mesure

  14. Le problème des cadenas Le problème Entrée : Sortie : Contrainte :f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : (N) requêtes Quantique : ( N) requêtes

  15. Remarques préliminaires Implémentation de f Double porte Hadamard H H H H

  16. Solution quantique (N=4) H H H H H H Mesure Mesure ? H H H H H H Initialisation : Parallélisation : Appel de f : Interférences : Appel de : d 0 Regroupement :

  17. Analyse géométrique

  18. Transformée de Fourier quantique H H H

  19. Un peu de théorie Transformée de Fourier discrète Toute fonction se décompose dans La base de Dirac : La base de Fourier : Analogue quantique Remarque : Implémentation efficace de QFT !

  20. Le problème de Simon Le problème Entrée : Sortie :s Contrainte :f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : requêtes Quantique : O(n) requêtes Idée : utiliser QFT pour rechercher la période s.

  21. Solution quantique Mesure Mesure ? Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :

  22. Retrouver la période Après n itérations : sont observés Avec probabilité (1) : sont de rang (n-1) Résoudre le système : Solutions :et !

  23. Factorisation Entrée :n  N Sortie : un diviseur non trivial de n Calcul de l’ordre d’un élément Entrée :n,a  N Sortie : le plus petit entier q tq Généralisation Groupe abélien G quelconque Il existe un circuit quantique polynomial en ln|G| qui trouve la période d’une fonction quelconque sur G. Réduction : Factorisation Calcul de l’ordre Vérifier PGCD(a,n)=1 Calculer l’ordre q de a mod n Recommencer si q impair ou Sinon Renvoyer

  24. Principales applications • Cryptographie • Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84] Implémentation : ~ 100 km • Information quantique • Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93] Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Zeilinger 97] • Algorithmique • Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94] • Recherche [Grover 96] Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]

  25. A suivre... • Problèmes ouverts • problème des collisions • isomorphisme de graphes • classes de complexité quantique • Liens http://www.lri.fr/quantum • Stages, thèses http://www.lri.fr/algo/stages Classique Quantique Plusieurs collisions Unique collision

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