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Introduction au calcul quantique. Frédéric Magniez CNRS - LRI. Groupe quantique du LRI http://www.lri.fr/quantum. Vers la nanotechnologie. Gordon Moore 1965. Taille des composants Nombre des composants Vitesse. Limitation théorique atteinte en 2020 !!!
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Introduction aucalcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Groupe quantique du LRI http://www.lri.fr/quantum
Vers la nanotechnologie Gordon Moore 1965 Taille des composants Nombre des composants Vitesse Limitation théorique atteinte en 2020 !!! Apparition de phénomènes quantiques... Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?
Le photon • Caractéristiques : • la direction, • la longueur d’onde, • la polarisation.
Filtre polarisant ? Sortie d’un filtre polarisant : Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.
Jouons avec les photons 50% 100 % 50% • Polarisation verticale : Photon jamais détecté. • Polarisation horizontale : Photon toujours détecté. • Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 ! Polarisation diagonale = Mélange statistique ? Polarisation diagonale =superposition quantique ...
Superposition quantique Etat polarisation :superposition ) Filtre : mesure détecté Mesure non détécté L’observation perturbe le système
Evolution quantique Transformations qui préservent la superposition ? Condition nécessaire:isométrie Une isométrie : la lame demi-onde Symétrie orthogonale autour de son axe Transformations orthogonales : telle que Orthogonale Réversible
Le qubit Bit classique : élément déterministe Bit probabiliste : distribution probabiliste Bit quantique : superposition quantique
Evolution du qubit Mesure : Lire et Modifier Mesure Transformations unitaires : G Unitaire Réversible : * G
Un premier exemple Le problème Entrée : Sortie : 0 ssi f est constante Contrainte :f est une boîte noire f(3) = ? f(3) = 1 Complexité en requêtes Déterministe : 1+N/2 requêtes Quantique : 1 requête
H Solution quantique (N=2) Attention : n’est pas nécessairement réversible ! Implémentation de f Porte Hadamard :lame demi-onde à 22,5° Circuit quantique H H Mesure ?
Analyse (N=2) fconstante H H H Mesure Mesure ? f non constante Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :
Systèmes à 2-qubit Définition : Transformations unitaires : Mesure Mesure
Le problème des cadenas Le problème Entrée : Sortie : Contrainte :f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : (N) requêtes Quantique : ( N) requêtes
Remarques préliminaires Implémentation de f Double porte Hadamard H H H H
Solution quantique (N=4) H H H H H H Mesure Mesure ? H H H H H H Initialisation : Parallélisation : Appel de f : Interférences : Appel de : d 0 Regroupement :
Un peu de théorie Transformée de Fourier discrète Toute fonction se décompose dans La base de Dirac : La base de Fourier : Analogue quantique Remarque : Implémentation efficace de QFT !
Le problème de Simon Le problème Entrée : Sortie :s Contrainte :f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : requêtes Quantique : O(n) requêtes Idée : utiliser QFT pour rechercher la période s.
Solution quantique Mesure Mesure ? Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :
Retrouver la période Après n itérations : sont observés Avec probabilité (1) : sont de rang (n-1) Résoudre le système : Solutions :et !
Factorisation Entrée :n N Sortie : un diviseur non trivial de n Calcul de l’ordre d’un élément Entrée :n,a N Sortie : le plus petit entier q tq Généralisation Groupe abélien G quelconque Il existe un circuit quantique polynomial en ln|G| qui trouve la période d’une fonction quelconque sur G. Réduction : Factorisation Calcul de l’ordre Vérifier PGCD(a,n)=1 Calculer l’ordre q de a mod n Recommencer si q impair ou Sinon Renvoyer
Principales applications • Cryptographie • Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84] Implémentation : ~ 100 km • Information quantique • Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93] Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Zeilinger 97] • Algorithmique • Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94] • Recherche [Grover 96] Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]
A suivre... • Problèmes ouverts • problème des collisions • isomorphisme de graphes • classes de complexité quantique • Liens http://www.lri.fr/quantum • Stages, thèses http://www.lri.fr/algo/stages Classique Quantique Plusieurs collisions Unique collision