ANALISIS TANGGAP TRANSIEN

1. ANALISIS TANGGAP TRANSIEN

2. ANALISIS TANGGAP TRANSIEN • Langkah pertama dalam menganalisis sistem kendali adalah menurunkan model matematik sistem. • Setelah model diperoleh, kita dapat menggunakan berbagai metode untuk analisis keandalan sistem (system performance). Respon waktu sistem kendali terdiri dari dua bagian: • Tanggap Keadaan Tunak (Seady State response) adalah perilaku keluaran sistem jika waktu mendekati tak-terhingga. • Tanggap Transien (Transient Response) adalah tanggap sistem yang berlangsung dari keadaan awal sampai keadaan akhir. • Dalam merancang sistem kendali, kita harus mampu meramal perilaku dinamik sistem dengan mengetahui komponen-komponen sistem. • Karakteristik perilaku dinamik sistem kendali yang paling penting adalah kestabilan mutlak, yang mencirikan bahwa sistem stabil atau tidak stabil.

3. Soal Tanggap total y(t) dari persamaan diferensial: dengan kondisi awal y(0)=0 dan Tentukan tanggap keadaan tunak dan tanggap transiennya. Jawab: ya(t) = c1e-t + c2e-2t Dengan memasukkan kondisi awal, maka: ya(0) = y(0) = 0 = c1 + c2 Maka diperoleh : c1=1 dan c2=-1

4. Sehingga diperoleh persamaan: ya(t) = e-t - e-2t Tanggap dipaksa (forced response - integral konvoluasi): Tanggap total : y(t) = ya(t) + yb(t) = (e-t - e-2t)+½(1 – 2 e-t + e-2t) = ½ – ½e-2t) Tanggap Keadaan Tunak : Tanggap Transien :

5. FUNGSI TANGGAP IMPULSA • Fungsi alih: G(s) = Y(s)/X(s) dimana : X(s) adalah transformasi Laplace masukkan dan Y(s) adalah transformasi Laplace keluaran. • Dapat ditulis: Y(s) = G(s)X(s) yaitu perkalian dalam domain kompleks ekivalen dengan konvolusi dalam domain waktu. • Transformasi Laplace balik adalah integral konvolusi berikut: dimana g(t) = x(t) = 0 untuk t < 0 • Fungsi tanggap impulsa merupakan tanggap sistem linier tarhadap satuan impulsa apabila keadaan awalnya nol. Y(s) = G(s) y(t) = g(t) = fungsi tanggap impulsa

6. SISTEM ORDE PERTAMA Tinjau sistem orde pertama yang secara fisis dapat berupa rangkaian RC atau sistem termal. Analisis respon sistem terhadap masukan-masukan berupa satuan tangga, satuan ramp dan satuan impulsa. Blok diagram sistem orde pertama Blok diagram sistem yang disederhanakan

7. Tanggap Tangga • Transformasi Laplace dari fungsi masukan tangga adalah 1/s, persamaan kita peroleh menjadi: • Dengan menguraikan C(s) menjadi pecahan parsial, kita peroleh: • Dengan melakukan transformasi Laplace bali, kita peroleh: • Keluaran c(t) mula-mula nol kemudian akhirnya menjadi satu. • Pada t=T, harga c(t) adalah 0,632 (63,2% perubahan total). c(T) = 1 – e-1 = 0,632 • Pada t=2T, harga c(t)=86,5%

8. Kemiringan garis singgung pada t = 0, adalah : Keluaran akan mencapai harga akhir pada t=T. • Estimasi waktu tunak adalah t  4T (2% dibawah harga akhir).

9. Kesimpulan Tanggap Tangga 1.2 • Transien pendek. • Tidak ada osilasi. • Overshoot kecil. • Tidak ada kesalahan keadaan tunak (steady-state error) Kinerja 1 0.8 0.6 0.4 c 0.2 0 0 2 4 6 8 Waktu (detik)

10. Tanggap Ramp • Transformasi Laplace dari fungsi masukan ramp adalah 1/s2 , persamaan kita peroleh menjadi: • Dengan menguraikan C(s) menjadi pecahan parsial, kita peroleh: • Dengan melakukan transformasi Laplace bali, kita peroleh: • Sinyal kesalahan e(t) adalah • Jika t mendekati tak terhingga, maka e-t/T mendekati nol, sehingga sinyal kesalahan e(t) mendekati T atau : e() = T

11. Kesalahan dalam mengikuti masukan ramp mendekati T untuk t yang cukup besar. • Makin kecil konstanta waktu T, makin kecil pula kesalahan tunak.

12. Tanggap Impulsa • Untuk masukan impulsa, R(s)=1 , sehingga keluaran sistem: • atau :

13. SISTEM ORDE KEDUA Dalam studi sistem kendali, persamaan diferensial orde kedua ditulis: dengan konstanta  adalah damping ratio dan konstanta n adalah undamped natural frequency. Jika 0    1, maka persamaan karakteristik adalah : Akar-akarnya adalah : a adalah inverse dari konstanta waktu  dari sistem ( = 1/a)

14. Contoh Sistem Order Dua

15. Parameter Sistem Orde Dua

16. Fungsi bobot dari persamaan diferensial orde kedua adalah : Tanggap unit tangga dinyatakan dengan: dengan :

17. Tanggap Tangga Orde Dua

18. Closed-Loop System Step Responses 1.5 20 = GH ( s ) s ( s 2 ) + 1 Amplitude 1 = GH ( s ) s ( s 2 ) + 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec.)

19. Im = s 0 1 Re 2 = - zw + w - z s j 1 n n 2 2 = - zw - w - z s j 1 n n 3 Tanggap Tangga • Diketahui sistem: • Tanggap tangga: • Kutub-kutub:

20. Pengaruh Lokasi Kutub Osilasi (Frek. Tinggi) Im(s) Meluruh Cepat Menanjak Cepat Re(s) (e-at) (eat)

21. Contoh:

25. Tanggap Tangga Sistem Orde Dua • Diketahui sistem: • Dengan menguraikan C(s) menjadi pecahan parsial, kita peroleh: • Maka tanggap waktu :

26. Kutub-kutub Nyata dan Kompleks • Jika diketahui fungsi tanggap kompleks: • Maka fungsi tanggap waktunya adalah: • Bentuk umum dari fungsi tanggap waktu:

27. Soal • Diketahui fungsi alih sistem: • Tentukan fungsi tanggap tangga dan tanggap waktunya. • Jawab: • Tanggap tangga: • Dengan menguraikan C(s) menjadi pecahan parsial, kita peroleh:

28. Maka: • Maka fungsi tanggap waktunya adalah:

29. SPESIFIKASI TANGGAP TRANSIEN • Tanggap transien sistem kendali sering menunjukkan osilasi terendam sebelum mencapai keadaan tunak. • Karakteristik tanggap transien sistem kontrol terhadap masukan unit tangga, dinyatakan dalam parameter: • Waktu tunda (delay time) td • Waktu naik (rise time) tr • Waktu puncak (peak time) tp • Lewatan maksimum (maksimum overshoot) Mp • Waktu penetapan (settling time) ts

32. Soal Suatu sistem getaran mekanik. Jika gaya maukan tangga 2 N dikenakan pada sistem, maka massa tersebut akan berosilasi seperti ditunjukkan pada gambar dibawah. Tentukan m, f dan k sistem dari kurva tanggap sistem ini.

33. Jawab • Fungsi alih sistem adalah: • karena: • Maka tanggap tangga: • Ini berarti bahwa harga keadaan tunak x adalah: • Dengan demikian: k = 20 N/m • Perhatikan bahwa Mp = 9,5% untuk =0,6. Waktu puncak tp diberikan oleh :

34. Kurva eksperimental menunjukkan bahwa tp = 2 detik, maka: • Karena: • Maka diperoleh: • Selanjutnya f ditentukan dari :

35. KRITERIA KESTABILAN ROUTH • Suatu sistem kendali adalah stabil jika dan hanya jika semua kutub loop tertutup terletak disebelah sumbu khayal bidang s. • Sebagian besar sistem loop tertutup linier mempunyai fungsi alih: dimana a dan b adalah konstanta dan m  n, maka kita harus mengurai polinomial A(s) atas faktor-faktornya untuk mencari kutub-kutub tertutup. • Kriteria kestabilan Routh menunjukkan ada atau tidak ada akar-akar positif pada persamaan polinominal, tanpa harus menyelesai-kan persamaan tersebut. • Informasi mengenai kestabilan diperoleh secara langsung dari koefisien-koefisien persamaan karakteristik.

36. Prosedur Kriteria Kestabilan Routh • Tulislah polinomial dalam s sesuai dengan bentuk berikut: • Kriteria diterapkan menggunakan Tabel Routh yang didefinisikan sebagai berikut: • Koefisien-koefisien b1, b2, b3 dan seterusnya dihitung dengan:

37. Syarat perlu dan cukup bahwa semua akar-akar persamaan berada disebelah kiri sumbu khayal bidang s adalah bahwa semua koefisien persamaan harus positif dan semua suku pada kolom pertama dari susunan tersebut harus bertanda positif.

38. Soal Tinjau polinomial berikut: s3 + 6s2 + 12s + 8 = 0 Tentukan kestabilan sistem berdasarkan kriteria kestabilan Routh. Jawab: • Karena tidak ada perubahan tanda koefisien pada kolom pertama dari tabel, berarti seluruh akar-akar persamaan adalah bagian nyata negatif (sistem stabil).