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TEMA 4

TEMA 4. ECUACIONES Y SISTEMAS. TEMA 4.2 * 1º BCS. ECUACIONES POLINÓMICAS. ECUACIONES POLINÓMICAS. Al resolver ecuaciones de grado 3 o mayor se nos pueden presentar varios casos. En todos ellos las raíces del polinomio característico serán las soluciones de la ecuación. PRIMERO:

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  1. TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS Matemáticas Aplicadas CS I

  2. TEMA 4.2 * 1º BCS ECUACIONES POLINÓMICAS Matemáticas Aplicadas CS I

  3. ECUACIONES POLINÓMICAS • Al resolver ecuaciones de grado 3 o mayor se nos pueden presentar varios casos. En todos ellos las raíces del polinomio característico serán las soluciones de la ecuación. • PRIMERO: • Que haya ecuaciones de grado 3, donde falte el término independiente. • Sacaremos factor común a x y factorizamos el cociente resultante. • EJEMPLO • x3 + 3.x2 + 2.x = 0  x (x2 + 3.x + 2) = 0  x.(x+1).(x+2) = 0  •  x = 0, x = - 1 y x = - 2 son las tres soluciones. • SEGUNDO: • Que haya ecuaciones de grado 3, donde no falte el término independiente. • Obtenida la raíz existente, factorizamos el cociente resultante si se puede. • EJEMPLO • x3 + 3.x2 + 2.x – 6 = 0  (x – 1) (x2 + 4.x + 6) = 0  x = 1 es la única solución real. Matemáticas Aplicadas CS I

  4. TERCERO: • Que haya productos de ecuaciones de segundo o tercer grado. • Cada factor se trata por separado, aplicando lo visto en los casos anteriores. • EJEMPLO • (x3 + 3.x2 + 2.x).(x2 - 3.x + 2) = 0  • [ x (x2 + 3.x + 2) ].[(x – 1).(x – 2)] = 0  • x.(x+1).(x+2).(x – 1).(x – 2) = 0  •  x = 0, x = - 1, x = - 2 , x = 1 y x = 2 son las cinco soluciones. • CUARTO: • Que haya ecuaciones bicuadradas de grado 4 o de grado 6. • Se resuelven como veremos a continuación. • EJEMPLO • x4 - 13.x2 + 36 = 0  • (x – 3) (x + 3). ( x – 2 ). (x + 2) = 0  •  x = -3, x = - 2, x = 2 y x = 3 son las cuatro soluciones. Matemáticas Aplicadas CS I

  5. Ecuaciones BICUADRADAS • ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ • Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. • Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 • Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: • a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. • También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 • Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: • a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. • IMPORTANTE: En ambos casos hay que deshacer el cambio, pues hay que hallar el valor de la variable x , no de la variable y. Matemáticas Aplicadas CS I

  6. EJEMPLO_1 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ • Sea x4 - 13.x2 + 36 = 0 • Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: • y2 - 13. y + 36 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. • -(-13) +/- √[(-13)2 – 4.1.36] • Resolviéndola: y = -------------------------------------- = • 2.1 • 13 +/- √[169 – 144] 13 +/- √ 25 13 +/- 5 • = ---------------------------- = ------------------ = -------------- = 9 y 4 • 2 2 2 • Deshacemos el cambio: • Si x2 = y = 9  x = +/- √ 9 x = +/- 3  x1 = 3 , x2 = -3 • Si x2 = y = 4  x = +/- √ 4 x = +/- 2  x3= 2 , x4 = -2 • Que son las 4 raíces, ceros o soluciones de la ecuación dada. Matemáticas Aplicadas CS I

  7. EJEMPLO_2 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ • Sea 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0 • Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: • 3.y2 - 74. y - 25 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. • -(-74) +/- √[(-74)2 – 4.3.(-25)] • Resolviéndola: y = ----------------------------------------- = • 2.3 • 74 +/- √[5476 + 300] 74 +/- √ 5776 74 +/- 76 • = ---------------------------- = ---------------------- = -------------- = 25 y - 1 / 3 • 6 6 6 • Deshacemos el cambio: • Si x2 = y = 25  x = +/- √ 25 x = +/- 5  x1 = 5 , x2 = - 5 • Si x2 = y = - 1/3  x = +/- √ - 1/3  x3 y x4 no son reales • Que son las 4 raíces, dos reales y dos no reales. Matemáticas Aplicadas CS I

  8. EJEMPLO 3 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ • Sea x6 - 9.x3 + 8 = 0 • Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: • y2 - 9. y + 8 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. • -(-9) +/- √[(-9)2 – 4.1.8] • Resolviéndola: y = ---------------------------------- = • 2.1 • 9 +/- √[81 – 32] 9 +/- √ 49 9 +/- 7 • = ----------------------- = ------------------ = -------------- = 8 y 1 • 2 2 2 • Deshacemos el cambio: • 3 • Si x3 = y = 8  x = √ 8 x = 2  x1 = 2 , x2 y x3 no reales • 3 • Si x3 = y = 1  x = √ 1 x = 1  x4= 1 , x5 y x6 no reales • Que son las 6 soluciones de la ecuación dada, de ellas sólo 2 son reales. Matemáticas Aplicadas CS I

  9. EJEMPLO 4 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ • Sea x 8 – 81.x4 = 0 • Si hacemos x 4 = y , tenemos que x 8 = y 2 quedando: • y 2 – 81. y = 0 , que es una ecuación de segundo grado incompleta. • Resolviéndola: y.(y – 81) = 0  y = 0  x 4 = 0  •  x1 = x2 = x3 = x4 = 0 • y = 81  x4 = 81  x2 = ± 9 x = ± 3  x5 = 3 , x6 = – 3 • y = 81  x4 = 81  x2 = ± 9 x = ± √(-9)  x7 y x8 no reales • Al ser productos notables, se puede factorizar para resolverlo. • Factorizando sería: • x 8 – 81.x4 = x.x.x.x.(x4 – 81) = x4.(x2 + 9).(x2 – 9) = • = x4.(x2 + 9).(x + 3).(x – 3) = 0 • (x2 + 9) No se puede descomponer más. Matemáticas Aplicadas CS I

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